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1、等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式推导教学案例分析项和公式推导教学案例分析奉贤区曙光中学数学组 张居富 一、课例背景：一、课例背景： 俗话说万事开头难，数学课的教学也是如此。上课伊始的第一句话讲什 么？第一件事做什么？如何恰到好处地引出课题，从而能抓住学生的思绪， 尽快地进入学习的高潮？这确实很有必要去研究探讨。早在春秋战国时期， 孔子在谈如何进行启发教学时就讲过：“不愤不启，不悱不发” （论 语述而 ） 。 愤者，心求通而未得；悱者，口欲言而未达。因此，在教学中教师应该设法 创造一种情景，使学生变得“心求通，口欲言” 。创设情景的办法很多，主 要是一个“疑”字，学生有疑之后便要“求通
2、欲言”了。 一般认为，课题的引入是否成功，主要体现在以下四个方面：(1)是否 自然合理，既是前面知识的继续，又是后续知识的开端，以一定的积累为基 础；(2)能否引起学生的兴趣，使他们聚精会神地投入进来，在情感上与教 师和教材贴得更近；(3)使学生初步了解这节课的教学任务，无论是在操作 层面上，还是在思维层面上，做好迎接挑战的准备；(4)让学生面临一个似 曾相识，己有一些感性认识、但理性认识欠缺的问题，形成一个欲罢不能的 追求目标。二、教学过程：二、教学过程： 在现行高中数学教材中，无论是一期还是二期教材，在引入等差数列的 前项和的这一节课中都是用了高斯计算：1+2+3+100 作为引例。而这个
3、 引例只是说明了怎样做的问题，却没有道出为什么要这样做，没有触及到思 维层面的东西。没有使学生的思维上升到理论的层面，不能让学生的知识深 度迁移能力得到发展。因此，我在上这节课时作了如下的设计： 复习：等差数列an的通项公式及其性质：(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d；(2)am+an=ap+aq.(其中 m、n、p、qN，d 为公差) 例：如图，函数 y=2cosx(0x)的图象和直线 y=2 及 x= 围成一个封闭的 平面图形，求这个封闭图形的面积。分析：提示回忆初中求三角形的面积公式 时做法，通过补形求平行四边形面积，而 三角形的面积为平行四边形面积的一半求 得三角形面积
4、公式。类比得出，利用“补 形”的方法可求出封闭图形的面积。其中 关键是用了对称性得知所求图形面积与所 补图形的面积相等，而补形后的图形是可O2-2xy求面积的规则图形。其中也体现了数学的 对称美的价值。 解：如图，补形后的图为一个矩形：S=4矩形而由函数 y=2cosx(0x)的图象关于点(,0)成中心对称，所以阴2影部分占整个矩形的一半，所以S=2，即这个封闭图形的面积为 2.阴影问题：等差数列an中，若首项为 a1，公差为 d，则其前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+an用 a1、an、 n 怎样表示？ （板书课题：等差数列的前 n 项和公式） 分析：上面我们通过“补形”的方法，将一个本
5、身不易求面积的图形的面积 求解问题解决了，现在我们来求一个等差数列的前 n 项和，怎么来求这些数 的和呢？这时有一个学生提出了“补数”的想法，我说很好！我们再补一个 Sn。但此时这个数列的前 n 项怎么排列呢？通过学生讨论，得出项数从大到 小排列的结果如下：Sn= an + an-1 + an-2 + a1Sn= a1 + a2 + a3 + an如此利用等差数列的性质可知：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1,所以得到2Sn=n(a1+an)，从而得出结论：Sn=.2)(1naan三、教后反思：三、教后反思： 从二期课改的新教材内容的安排来看， 数列安排在三角之后， 因而此
6、设计可以说既是前面知识的继续，又是后续知识的开端。让学生在思 维层面上为研究新知作好准备，让学生从“补形”到“补数”作准备。二期 课改的课程理念是：一要注重让学生学习自行获取数学知识的方法，学会自 主学习，获得终身受用的数学基础能力和创造能力；二是要展现知识的生成、 发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会，在数学教学中，教师 应从学生己有的知识经验出发，激发学生探求新知识的兴趣，帮助学生在自 主探索和合作交流的过程中构建知识、训练技能、领会数学思想方法、获得 数学知识的经验；三是要在数学活动过程中，理解数学美在方法论上的价值。 在后面的组内研讨时，也有老师提出用求三角形的面积去引入，但
7、这样学生 己经有了三角形的面积公式，就没有了必要想“补形”的方法。 “补数”的方法我们在后面的二项式系数里也有非常重要的作用， 例如，己知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a1+a2+a6=_.在）+本例中，要直接求得 a1+a2+a6的值是不行的，我们要先“补加上一个 a0” ， 这样就可以在原式中给 x 赋值 1，先求得 a0+a1+a2+a6=1，再给 x 赋值 0，求得 a0=1，从而求出 a1+a2+a6等于(a0+a1+a2+a6)-a0等于 0。在 2003 年全国高中数学联赛中，有这样一道立体几何题：在四面体ABCD 中，设 AB=1,CD=，直线 AB 与
8、 CD 的距离为 2，夹角为.则四面体33ABCD 的体积等于( ) (2003 年全国)(A)； (B)； (C)； (D).23 21 31 33这道题中，就是考察学生对棱锥的体积 公式的推导过程中的“补形”的思想方法。过 点 B 作 BE 平行且等于 CD，过点 C 作 CF 平行且 等于 AB，连接 AE、ED、AF、DF，则原三棱锥补为一个以三角形 ABE 和三角形 FCD 为底面的三棱柱，SABE=ABBEsinABE=1sin=,而21 2133 43异面直线 AB 与 CD 的距离即为棱柱的高。所以V=2=,FCDABE三棱柱43 23V= V=.BCDA三棱锥31FCDABE
9、三棱柱21所以答案为(B). 数学教学内容贯穿着两条主线，即数学 基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字形式写在 教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线，反映着知 识间的横向联系，常隐藏在基础知识的背后，需要加以分析、提炼才能使之 显露出来。数学教学中对提高学生的素质起着重要作用的，是在长期的数学 学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法。因此，在数学教育中要重视数 学思想方法的教学。在本案例中，我们在培养学生的数学思维能力上作了一 些尝试，当然一节课是不能改变一个人的思想，但只要我们时常注重在教学 中培养学生一些解决问题的方法-数学思想方法，这将使学生终身受益。 最后我们用数学家华罗庚教授的一首诗与广大师生共勉： 数形本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉，形缺数时难入微。 数形结合百般好，隔裂分家万事休。 几何代数统一体，永远联系莫分离。参考文献： 1夏炎， 让学生在愤悱状态中学习 （中学数学教学参考，4/2001）ABCDABCDEF2上海市中小学数学课程标准（征求意见稿） 3朱成杰， 数学思想方法教学研究导论
