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1、 6-4 按叠加原理求梁的弯曲变形6-4 按叠加原理求梁的弯曲变形6-4 按叠加原理求梁的弯曲变形6-4 按叠加原理求梁的弯曲变形一、叠加法：一、叠加法：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)(P)(P)(P)PP(Pnnn 221121)(Pw)(Pw)(Pw)PPw(Pnnn 221121)(PM)(PM)(PM)PPM(Pnnn 221121)PPM(P)PPEIw“(Pnn2121 “EIw“EIw“EIw)(PM)(PM)(PMnnn 212211例例按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变
2、形。P1886EIPaw3PC4EIPa2PA24EIa5qw4qC3EIqa3qAqqPP=+AAABBBC aaEI6Paf3PC EI4Pa2PAEI24qL5f4qCEI3qa3qAqqPP=+AAABBBC aa叠加qAPAA)43(122 qaPEIaEIPa EIqawC624534 例例叠加：结构逐段刚化原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价xyxy21wwwwPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC 刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxy曲线直线曲线F2ABDL/2L/2CF1aABDL/2L/2CF1a=BCawc1+F2ABDL/2L/2CaF1
3、M=F1aABDL/2L/2CF1a=CBa+ A BDL/2L/2CaF1M=F1a+F2ABDL/2L/2Ca直线EI3aFW2EIaF03 1 1C2 1 C11BEILaFaEIML(B)aWEIaLF EIMLCB33332 1 21 2EIaLFaEIL(B)aWEILCB1616F16F2 22 2 32 2 316EIalF 3EIalFaFw16EIalF 3EIalF 2EIaF2 22 13 1 C2 212 1 CABL/2L/2Ca+ A BL/2L/2CaF1MCBa类似地：诸如：ABL/2L/2Ca+ A BL/2L/2CaF10.5qa2BCaqqaq例已知：悬
4、臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。Cy解解解解2Cy1Cy2ByCy,8EIqly4C1,2l 48EIql 128EIql2lyy34B2B2C2EIqlC63148EIql3C2EI384ql41yy421iCiC3）将结果叠加EIqliCiC487321 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。EX P191 6.6例：例：求图示组合梁求图示组
5、合梁C截面的挠度和截面的挠度和D截面的转角。截面的转角。（二）求（二）求,CDy 121333331 2()( )122 482 3(2)48192 5( )192CCCCByyyyyPl Pl EIEIPlPl EIEI Pl EI 解解（一）先在原梁上绘出挠曲线的大致形状，再将原梁分解成如图所示：（一）先在原梁上绘出挠曲线的大致形状，再将原梁分解成如图所示：( )121332()( )22 163(2)7 96DDDB Dy l Pl Pl EIEI lPl EI wwmax max二、梁的刚度条件二、梁的刚度条件其中w和分别称为称为许用扰度和许用转角。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、
6、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。 wwmax maxPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的w=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图1图2图3图1图2图316EIaLPaw2 1 1B1C16EILP2 1 1BEILaP EIMLB332 33EILaPaw2 2 3B3C解：结构变换，查表求简单载荷变形。02B3EIaPw3 2 2CPL
7、=400mmP2 =2kNACa=0.1m200mmDP1 =1kNBP1 =1kNABDCP2BCDAMxyP2BCa=+图1图2图3图1图2图3PL=400mmP2 =2kNACa=0.1m200mmDP1 =1kNBP1 =1kNABDCP2BCDAMxy3EILaP 3EIaP 16EIaLPw2 23 22 1 C3EILaP 16EILP22 1 B叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)40(80643.14)d(D64Im105.193EILaP 3EIaP 16EIaLPw62 23 22 1 C)(100.423)3200 16400(18802100.4
8、 3EILaP 16EILP422 1 B弧度 001.010423.04 max m10wm1019. 5w56 max校核刚度6-5 简单超静定梁的求解方法简单超静定梁的求解方法6-5 简单超静定梁的求解方法简单超静定梁的求解方法处理方法：选择静定基，建立平衡方程变形协调方程物理方程补充方程=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxy静定基：静定基：确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的静定结构。注意静定基：约束图示平面内所有自由度；未知量不超过独立的平衡方程数注意静定基：约束图示平面内所有自由度；未知量不超过独立的平衡方程数=几何方程变形协调方程 0BRBqBwww+q0LRBA
9、B=RBABq0AB物理方程变形与力的关系 （P188）补充方程EILR；wEIqLwB BRBqB383403834 EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、内力图、应力、变形等）解：建立静定基几何方程变形协调方程：解：建立静定基BCBRBqBLwww=例例结构如图，求B点反力。LBCEAxyq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB=LBCEAxyq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、内力图、应力、变形等）EILR;wEIqLwB BRBqB3834 EALREILREIqLBCBB3834)3(834EIL ALIqLR
10、BCB EALRLBCB BC例：例：求图示梁的约束反力，并绘求图示梁的约束反力，并绘 Q、M图图解：解：（一）解除多余约束（一）解除多余约束（ B处支做座）以多余约束来代替，基本静定梁的受力形式见图处支做座）以多余约束来代替，基本静定梁的受力形式见图a所示 。所示 。BR（二）建立变形协调方程，求出多余约束反力。（二）建立变形协调方程，求出多余约束反力。先将图先将图a受力形式分解成单独荷载下的受力形式（图受力形式分解成单独荷载下的受力形式（图b、c）变形协调方程为：）变形协调方程为：0,By 即：即：0BPBRyy 代入中得：代入中得：3350483BR lPl EIEI 解出：解出：5 1
11、6BRP 其中：其中：32332( )( )22.322 5( )48( )3BPCCB BRlyyllPPl EIEI Pl EI R lyEI 0BPBRyy 0,11 160.0,2 3 16ABAAABAYRRPRPlMMR lPMPl ，（三）由静力平衡 方程解出其余的表反力并绘（三）由静力平衡 方程解出其余的表反力并绘 Q、M 图图CD杆如为刚性杆，求杆如为刚性杆，求CD杆内力。如杆内力。如CD杆刚度为杆刚度为EA，求，求CD杆的内力。杆的内力。2,IAa 例：例：图示结构图示结构AC梁在梁在C处的挠度为：处的挠度为： 4383CCqCNqaNayyyEIEI DB梁在梁在D处的挠
12、度为处的挠度为33(2)DNayEI 解：解：（一）（一）CD杆为刚性杆时的内力。先将结构分解成图杆为刚性杆时的内力。先将结构分解成图a形式。此时形式。此时 CD 杆为刚性，变形为零。杆为刚性，变形为零。变形协调条件为：变形协调条件为：CDyy 即即433836qaNaNa EIEIEI 可解出：可解出：1 4Nqa 建立变形协调方程时，还需考虑建立变形协调方程时，还需考虑CD杆的变形。此时杆的变形。此时CD 杆变形为：杆变形为：2 3NlNalEAEA 此时此时C、D处的挠度表达式仍为式、处的挠度表达式仍为式、 4383CqaNayEIEI 33(2)DNayEI （二）（二）CD杆刚度为杆
13、刚度为EA时的内力时的内力即即34332 3()836NaqaNaNa EIEIEIEI 解得：解得：3 28Nqa l C处位移和处位移和D处位移之差即为，变形协调方程为：处位移之差即为，变形协调方程为：CDyyl 例：例：由于安装问题，由于安装问题，AB直梁被安装成图示情况（为已知），试求约束反力，并绘直梁被安装成图示情况（为已知），试求约束反力，并绘Q、M 图。图。B 例例7图图解：解：（一）解除多余约束，建立基本静定梁。如果以固定端（一）解除多余约束，建立基本静定梁。如果以固定端B为多余约束，解除约束后应有二个多余约束反力，故此梁为二次超静定问题。基本静定梁受力图如图示。（二）建立变形
14、协调方程，求出多余约束反力。先分解（见分解图）为多余约束，解除约束后应有二个多余约束反力，故此梁为二次超静定问题。基本静定梁受力图如图示。（二）建立变形协调方程，求出多余约束反力。先分解（见分解图）(1)(2)式可表达为：(1)(2)式可表达为：322(1)320(2)2BB BBBR lM l EIEI R lM l EIEI 联立方程(1)(2)求出：根据支座联立方程(1)(2)求出：根据支座B处的变形情况 ，变形协调条件为：即处的变形情况 ，变形协调条件为：即0BBBy (1) 0(2)BRBMBBRBMyy 0,0ABYRR 312( )ABBEIRRl （三）根据静力平衡条件求出其余约束反力，并绘（三）根据静
