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1、立体几何解答题（详解）1.在如图所示的多面体中，四边形11ABB A和11ACC A都为矩形。DEB1C1ACBA1（）若ACBC，证明：直线BC 平面11ACC A；（）设D，E分别是线段BC，1CC的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线/ /DE平面1AMC？请证明你的结论。2如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点为侧PABCDPAABCDABCDF 棱上一点.PC （1）若，求证：平面；PFFC/ /PABDF （2）若，求证：平面平面.BFPCBDFPBC3如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，侧面 PAD底面 ABCD，若点 E，F 分别是 PC，BD 的中点。
2、ABCDEFP（1）求证：EF平面 PAD； （2）求证：平面 PAD平面 PCD4如图，长方体1111DCBAABCD 中，1 ADAB，21AA，点P为1DD的中点。PD1C1B1A1DCBA（1）求证：直线1BD平面PAC；（2）求证：平面PAC平面1BDD；5在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点 D 在棱 AB上(1)求证：ACB1C； （2）若 D 是 AB 中点，求证：AC1平面 B1CD.6如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，PABCDABAC 平面，且，点是的中点.PA ABCDPAABEPD（1）求证：；ACPB （2）求证:
3、平面；/PBAEC （3）求二面角的大小.EACB7如图 1，在直角梯形ABCD中，CDAB/，ADAB ，且121CDADAB现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图 2ABCDFE图 2MFEDCBA图 1（1）求证：AM平面BEC;（2）求证：BDEBC平面;（3）求点D到平面BEC的距离.8如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面PABCDABCD2PAD底面，且，、分别为、的中点.ABCD2 2PAPDADEFPCBD（1）求证：平面； /EFPAD （2）求证：面平面； PABPDC（3）在
4、线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由.ABGCPDG1 3参考答案参考答案1 （1）证明详见解析；（2）存在，M 为线段 AB 的中点时，直线平面.DEP1AMC【解析】 试题分析：（1）证直线垂直平面，就是证直线垂直平面内的两条相交直线.已经有ACBC了，那么再在平面内找一条直线与 BC 垂直. 据题意易得，平面 ABC，所1AA 以.由此得平面.（2）首先连结，取的中点 O. 考虑到1AABCBC 11ACC A1AC1ACD，E分别是线段BC，1CC的中点，故在线段AB上取中点M，易得.从而DEMOP得直线平面.DEP1AMCOMEDABCC1A1B1试题解析：（）因为四边形
5、和都是矩形，11ABB A11ACC A所以.11,AAAB AAAC因为 AB，AC 为平面 ABC 内的两条相交直线，所以平面 ABC.1AA 因为直线平面 ABC 内，所以.BC 1AABC又由已知，为平面内的两条相交直线，1,ACBC AA AC11ACC A所以，平面.BC 11ACC AOMEDABCC1A1B1（2）取线段 AB 的中点 M，连接，设 O 为的交点.111,AM MC AC AC11,AC AC由已知，O 为的中点.1AC连接 MD，OE，则 MD，OE 分别为的中位线.1,ABCACC所以，11,22MDAC OEACMD OEPPP连接 OM，从而四边形 MD
6、EO 为平行四边形，则.DEMOP因为直线平面，平面，DE 1AMCMO 1AMC所以直线平面.DEP1AMC即线段 AB 上存在一点 M（线段 AB 的中点） ，使得直线平面.DEP1AMC【考点定位】空间直线与平面的位置关系. 2(1)详见解析; （2）详见解析 【解析】试题分析：(1) 要证证平面，根据线面平行的判定定理可转化为线线平行，/ /PABDF在本题中可取的交点为，转化为证明，且平面，,AC BDO/ /PAOFPABDF平面，即可得证平面;（2）要证平面平面，联想OF BDF/ /PABDFBDFPBC 到面面垂直的判定定理，可转化为证线面垂直，由于底面为菱形，则对角线ABC
7、D ，又底面，可得平面，进而得到平面，BDACPAABCDBDPACPC BDF 再加之平面，即可证得平面平面PC PBCBDFPBC(1) 证：（1）设的交点为，连底面为菱形，为中点，,AC BDOOFQABCDOAC又， 5 分PFFC/ /PAOF 且平面，平面，PABDFOF BDF 平面. 7 分/ /PABDF （2）底面为菱形，底面，QABCDBDACQPAABCDBDPA 平面，BDPAC ，平面，BDPCQBFPCPC BDF又平面，平面平面. 14 分PC PBCBDFPBC 考点：1.线面平行的判定;2.线面垂直的判定和性质;3.面面垂直的判定 3 （1）详见解析， （2
8、）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）证线面平行找线线平行，本题有 G 为 AD 中点，F 为 BD 中点条件，可利用 平行四边形性质.即取 PD 中点 H，AD 中点 G，易得 EFGH 为平行四边形，从而有 EFGH.写 定理条件时需完整，因为若缺少 EF面 PAD， ，则 EF 可能在面 PAD 内，若缺少 GH面PAD，则 EF 与面 PAD 位置关系不定.（2）证面面垂直关键找线面垂直.可由面面垂直性质定 理探讨，因为侧面 PAD底面 ABCD，CD 垂直 AD,而 AD 为两平面的交线,所以应有 CD 垂直于 平面 PAD，这就是本题证明的目标. 试题解析：（1）设 PD 中点为
9、 H，AD 中点为 G，连结 FG，GH，HEG 为 AD 中点，F 为 BD 中点，GF，Q/1 2AB同理 EH，/1 2CDABCD 为矩形，ABCD，GFEH，EFGH 为平行四边形Q/EFGH，又面 PAD.Q,GHPAD EFPADEF面面（2）面 PAD面 ABCD，面 PAD面 ABCDAD，又ABCD 为矩形，QQCDAD，CD面 PAD又CD面 PCD，面 PAD面 PCD.Q考点：线面平行判定定理，面面垂直判定与性质定理 4 （1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OP，则长方体中 O 为 BD 中点，又 P 为
10、DD1的中点，所以三角形 BDD1 中，由中位线定理可知 PO 1BD ，根据线面平行的判定定理即可，得证；（2）根据四边形 ABCD 为菱形，故 BDAC，由题意可知 DD1AC，故 AC 平面1BDD，进而可证明出结论解：（1）设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OP，则长方体中 O 为 BD 中点，又 P 为 DD1的中点，所以三角形 BDD1 中，PO 1BD ，而 1BD 不在平面 PAC 内，OP 在平面 PAC 内，故1BD平面PAC （2）长方体1111DCBAABCD 中，AB=AD，所以 ABCD 为菱形，故 BDAC，又长方体中，DD1面 ABCD，所以DD1AC，从
11、而 AC 平面1BDD，则平面PAC平面1BDD考点：1线面平行的判定；2线面垂直的判定；3面面垂直的判定 5(1)详见解析；（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）要证明 ACB1C，根据线面垂直的判定定理，只要转化证明 AC平面 BB1C1C 即可； （2）要证明 AC1平面 B1CD，根据线面的判定定理，只要转换证明 DE/AC1即可. 试题解析：(1)证明：在ABC 中，因为 AB=5，AC=4，BC=3， 所以 AC2+BC2=AB2，所以 ACBC因为直三棱柱 ABC-A1B1C1，所以 CC1AC， 因为 BCAC=C，所以 AC平面 BB1C1C 所以 ACB1C 6 分 （
12、2）连结 BC1，交 B1C 于 E，连接 DE 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1，D 是 AB 中点，所以侧面 BB1C1C 为矩形， DE 为ABC1的中位线，所以 DE/AC1 因为 DE平面 B1CD，AC1平面 B1CD，所以 AC1平面 B1CD 12 分 考点：空间位置关系的证明. 6 （1）见解析（2）见解析（3）135 【解析】 试题分析：（1）利用三垂线定理可证；（2）直线与平面平行的判定定理（）证，进而找出二面角的平面角EF 平面ABC D试题解析：（1）AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影，QPAABCD 平面，又ABAC，AC平面 ABCD， ACPB.Q （
13、2）连接 BD，与 AC 相交与 O，连接 EO，ABCD 是平行四边形O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点， EO PB.又 PB平面 AEC，EOQP平面 AEC，PB平面 AEC， （3）如图，取 AD 的中点 F，连 EF，FO，则EF 是PAD 的中位线，EFPA 又平面，/PA ABCDEF 平面ABC D同理 FO 是ADC 的中位线，FOABFOAC，由三垂线定理可知EOF 是二面角/EACD 的平面角.又 FOABPAEF。1 21 2 EOF45而二面角与二面角 EACD 互补，EACB 故所求二面角的大小为 135.EACB 考点：利用三垂线定理可证；直线与平面平
14、行的判定定理；出二面角的平面角7 （1）见解析（2）见解析(3)6 3【解析】 试题分析：(1)要证明线面平行,取EC中点N，连结BNMN,其中线段 BN 在面 BEC 中,根据线面平行的判断,只需要证明线段 BN 与 AM 平行即可,根据 MN 为所在线段的中点,利用中位线定理 即可得到 MN 平行且等于 DC 的一半,题目已知 AB 平行且等于 DC 的一半,则可以得到 MN 与 AB 平行且相等,即四边形 ABMN 为平行四边形,而 AM 与 BN 为该平行四边形的两条对边,则 AM 与 BN 平行,即得到线段 AM 平行于面 BEC. (2)题目已知面 ABCD 与 ADEF 垂直且
15、ED 垂直于这两个面的交线,根据面面垂直的性质定理可 得线段 ED 垂直于面 ABCD,再根据线面垂直的性质可得到 BC 垂直于 ED,根据梯形 ABCD 为直 角梯形和边长关系和勾股定理可以得到 BC 与 BD 垂直,即线段 BC 与面 BED 中两条相交的线 段 ED,BD 相互垂直,根据线面垂直的判断即可得到线段 BC 垂直于面 BED(3)要求点面距离可以考虑利用三棱锥体积的等体积法,即分别以 D 点和 E 点作为DBEC 顶点求解三棱锥 D-BEC 的体积,当以 E 作为顶点时,DE 为高,三角形 BCD 为底面,求出高和底 面积得到三棱锥的体积,当 D 为顶点,此时,高为 D 到面 BEC 的距离,而三角形 BEC 为底面,利 用三角形的勾股定理得到 BE 的长度,求出三角形 BEC 的面积,利用三棱锥的体积公式即可得 到 D 到面 BEC 的距离. 试题解析：（1）证明：取EC中点N，连结BNMN,在EDC中，,M N分别为,EC ED的中点，所以MNCD，且1 2MNCD由已知ABCD，1 2ABCD
