《湘大版矩阵论 第四章 修改作业答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湘大版矩阵论 第四章 修改作业答案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1. 判定矩阵和能否进行 LU 分解，为什么？若能分 031001123 B 531041120 C解，试分解之。解：对于 B 矩阵，因为，所以 B 能进行 LU 分解。312233 031001123 B31 311031 320123230031 320123存在消元矩阵1211 3101310011L1211 310131001L则 LUB1211 310131001230031 320123对于矩阵 C,由于，故 C 不能进行 LU 分解01正确 100 分2(1) 解： 100721043282107210432621911432 A得 112101210011L1121012100
2、1L 1212D 100710431 UA 的 LDU 分解为 171431121211211211LDUA（2）解： 12004210432123042104322034253432A得 16201230011L 1620123001L 12212D 100410431UA 的 LDU 分解为 141431122121621231LDUA正确 100 分第三题明天发4、对矩阵 A=进行 Cholesky 分解。 224-84-548416解：解：由于 A 为正定矩阵，则由 Cholesky 分解的紧凑计算格式，得g11=4, g21=1, g31=211a 1121 ga1131 gag22
3、=2 g32=-321222ga 221 g213132ggag33=332231233gga从而 A= 33-20210043003-20214正确正确 100 分分5.设 A,B，证明 rank（A+B）rank（A）+rank（B） 。m nC证明：根据矩阵的满秩分解定理可知，对任何一个矩阵A，存在矩阵 F1m nC及 G1；对任何一个矩阵 B，存在矩阵 F2及 G2m r rCr n rCm nCm s sC；12FF，由上可得 A= F1 G1； B= F2 G2A+B= 12FF，12GG rank（A+B） rank rank（F1）+rank（F2）= rank（A）+rank
4、（B）12FF，正确正确 100 分分7.求下列矩阵的求下列矩阵的 QR 分解：分解：（1） A= （2）A= （3） A=1123 21 221022 212 1111 1 1 11111 1 解：2. 将两列向量正交化得：, 11122TPa, 21 22121 11011TaPPaPaPPP再单位化 = , =111 3QP122 333T221 2QP11022T于是 ，1113aPQ2121232aPPQQ故 A=123302QQ 1 03 3321 3202 21 32 (2) 将两列向量正交化得：，11202TPa， 21 22121 113112422TaPPaPaPPP, 3
5、132 3312312 112237848 49999TaPaPPaPPaPPPPPP 再单位化得：= 111 2 2QP，11022T 222141 33 23 23 2T QP= ，333 4QP212 333T于是 ， ，1112 2aPQ21212333 422aPPQQ，312312337374 49323 2aPPPQQQ故 A=123332 222 37023 2 4003QQQ 112332 2323 222 41370033 223 2 1124003323 2 (3) 将两列向量正交化得： ,1111 1 1TPa, 21 22121 1111311 22222TaPPaP
6、aPPP， 3132 3312312 112211224023333TaPaPPaPPaPPPPPP 再单位化 ，1111111 22222T QP，2211311 232 32 32 3T QP，33311202 6666T QP 于是 , , 1112aPQ21212132aPPQQ,31231231132 6 2333aPPPQQQ 故 A=1231112 32611131122011220303111330000622 32 62 621133622 3QQQ 正确 100 分8、设 A 是正规矩阵，若 A 是上三角矩阵，则 A 一定是对角阵。证明：由 A 是上三角矩阵 则可设, An
7、nnLMOML0111Annn1110LMOML又 A 是正规矩阵，则 AAAA nnn111nnn111nnn111nnn1110000LMOMLLMOMLLMOMLLMOML即：比较两边的对角元素：由可得 ，此处太简单，应该求出矩阵的乘积，再去比较元素，0ijijjiij , 0并且把比较的元素写出来得： 所以 A 是对角阵nndiagAL22119、设，011 101 110A （1）验证 A 是正规矩阵（2）将 A 进行谱分解解：（1）因为,A 为对称矩阵011 101 110HAA AHA=AAH所以 A 是正规矩阵正确（2）211111111110111111011EA =( +1)2( -2)A 的 值为-1、-1、和 2=-1 时，特征向量12(101),(110)xx=2 时，特征向量为 x3=(1,1,1)将 x1、 x2和 x3正交化12 1122133 11()11(101) ,(1) ,1 1 1()22TTTxxxx标准正交化后为123111211110,22666333TTT 所以，A 的特征矩阵为 U=111 263 21063 111 263 因为,1 12HUAU 所以 A=UH U 错误
