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1、20112011 数学中考最新压轴题预测提炼数学中考最新压轴题预测提炼1、（2010 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= x2xm23m2 与 x 轴41m 45m的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上。（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E。延长 PE 到点 D，使得 ED=PE，以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当 P 点运动时，C 点、D 点也随之运动） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 若 P 点
2、从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一 点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动，速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F。延长 QF 到点M，使得 FM=QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当 Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值。解：（1）拋物线 y= x2xm23m2 经过原点，41m 45mm23m2=0，解得 m
3、1=1，m2=2，由题意知 m1，m=2，拋物线的解析式为 y= x2x，41 25点 B(2，n)在拋物线 y= x2x 上，41 25n=4，B 点的坐标为(2，4)。（2） 设直线 OB 的解析式为 y=k1x，求得直线 OB 的解析式为 y=2x，A 点是拋物线与 x 轴的一个交点，可求得 A 点的坐标为(10，0)，设 P 点的坐标为(a，0)，则 E 点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形 PCD，如图 1。可求得点 C 的坐标为xyO11OABCDEPyx图 1（3a，2a），由 C 点在拋物线上，得 2a= (3a)23a，即a2a=0，解得41 25 49 211a
4、1=，a2=0（舍去），OP=。922 922 依题意作等腰直角三角形 QMN，设直线 AB 的解析式为 y=k2xb，由点 A(10，0)，点 B(2，4)，求得直线 AB 的解析式为 y= x5，当 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三21角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上。如图 2 所示。可证DPQ 为等腰直角三角形。此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示为t、4t、2t 个单位。PQ=DP=4t，t4t2t=10，t=。710第二种情况：PC 与 MN 在同一条直线上。如图 3 所示。可证PQM 为等腰直角三角形。此时 O
5、P、AQ 的长可依次表示为 t、2t个单位。OQ=102t，F 点在直线 AB 上，FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t2t2t=10，t=2。第三种情况：点 P、Q 重合时，PD、QM 在同一条直线上，如图 4 所示。此时 OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位。t2t=10，t=。综上，符合题意的 t 值分别为，2， 。310 710 310Ex OABCyPMQNFD图 2xyOAM(C)B(E)DPQFN图 3 图 4yxBOQ(P)NCDMEF2、（2010 北京）问题：已知ABC 中，BAC=2ACB，点 D 是ABC 内的一点，且 AD=CD，BD=BA。探究
6、DBC 与ABC 度数的比值。请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。(1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB 与 AC 的数量关系为 ； 当推出DAC=15时，可进一步推出DBC 的度数为 ；可得到DBC 与ABC 度数的比值为 ；(2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC 与ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。解：(1) 相等；15；1：3。(2) 猜想：DBC 与ABC 度数的比值与(1)中结论相同。证明：如图 2，作KCA=BAC，过 B 点作 BK/AC 交 CK 于点 K，连结 D
7、K。BAC90，四边形 ABKC 是等腰梯形，CK=AB，DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC，KCD=3，KCDBAD，2=4，KD=BD，KD=BD=BA=KC。BK/AC，ACB=6，KCA=2ACB，5=ACB，5=6，KC=KB，KD=BD=KB，KBD=60，ACB=6=601，BAC=2ACB=12021，1(601)(12021)2=180，2=21，DBC 与ABC 度数的比值为 1：3。3、（2010 郴州）如图（1），抛物线与 y 轴交于点 A，E（0，b）为 y42yxx轴上一动点，过点 E 的直线与抛物线交于点 B、C.yxb（1）求点 A 的坐标；ACBBAC
8、DK123456图 2（2)当 b=0 时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述ABEVACEV4b 关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的 b，使得是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b；若BOCV不存在，说明理由. 解：（1）将 x=0，代入抛物线解析式，得点 A 的坐标为（0，4）（2）当 b0 时，直线为，由解得， yx24yxyxx 1122xy 2222xy 所以 B、C 的坐标分别为（2，2），（2，2） ，14 242ABES V14 242ACES V所以（利用同底等高说明面积相等亦可）ABEACESSVV当时，仍有成立. 理由如下4b ABEACESS
9、VV由，解得， 24yxbyxx 1144xbybb2244xbybb 所以 B、C 的坐标分别为（，+b），（，+b），4b4b4b4b作轴，轴，垂足分别为 F、G，则，BFyCGy4BFCGb而和是同底的两个三角形，ABEVACEV所以. ABEACESSVV（3）存在这样的 b.yxCBAOEyxCBAOE第 26 题图（1）图（2）GFyBCQOR因为90BFCG, BEFCEG, BFECGE 所以，所以，即 E 为 BC 的中点BEFCEGVVBECE所以当 OE=CE 时，为直角三角形，因为OBCV44GEbbbbGC所以 ，而24CEbOEb所以，解得，24bb124,2bb
10、所以当 b4 或2 时，OBC 为直角三角形. 4、（2010 滨州）如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是（0，），以点 C3为顶点的抛物线恰好经过轴上cbxaxy2xA、B 两点（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?解：解：由抛物线的对称性可知 AM=BM在 RtAOD 和 RtBMC 中，OD=MC，AD=BC，AODBMCOA=MB=MA设菱形的边长为 2m，在 RtAOD 中，解得 m=1DC=2，OA=1，OB=3222)2()
11、3(mmA、B、C 三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）3设抛物线的解析式为 y=（2）2+ ax3代入 A 点坐标可得=a3抛物线的解析式为 y=（2）2+3x3设抛物线的解析式为 y=（一 2）2+k，代入 D（0，）可得 k=53x33所以平移后的抛物线的解析式为 y=（一 2）2+5，平移了 5一=43x333个单位 35、（2010 长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数22yaxbx图象经过原点和点（1，b），其中且、为实数0abab（1）求一次函数的表达式（用含 b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的
12、横坐标分别为 x1、x2，求| x1x2 |的范围解：（1）一次函数过原点设一次函数的解析式为 y=kx一次函数过（1，b） y=bx （2）y=ax2+bx2 过（1，0）即 a+b=2 由得 2(2)2ybxyb xbx 22(2)20axa x224(2)84(1)120aaa方程有两个不相等的实数根方程组有两组不同的解两函数有两个不同的交点 （3）两交点的横坐标 x1、x2分别是方程的解 122(2)24aaxxaa122x xa2 121212()4xxxxx x2 2 248164(1)3aa aa或由求根公式得出。 ab0，a+b=2 2a1令函数 在 1 PQ 时，则点 P 在
13、线段 OC 上， CMPQ，CM = 2PQ ，点 M 纵坐标为点 Q 纵坐标的 2 倍，即 2 = 2(2 41x+1)，解得 x = 0 ，t = 2021+ 0 2 = 2 2）当 CM 0)，则2226()( 3)2x ，解得 16 2x ，26 2x (舍去) 点 B 的横坐标是6 2(2) 当5 4a ，1 2b ，3 5 5c 时，得 2513 5 425yxx ()25513 5()4520yx以下分两种情况讨论情况 1：设点 C 在第一象限(如图甲)，则点 C 的横坐标为5 5，3tan30313OCOB 由此，可求得点 C 的坐标为(5 5，2 5 5)，点 A 的坐标为(
14、2 15 5，15 5)， A，B 两点关于原点对称， 点 B 的坐标为(2 15 5，15 5)将点 A 的横坐标代入()式右边，计算得15 5，即等于点 A 的纵坐标；将点 B 的横坐标代入()式右边，计算得15 5，即等于点 B 的纵坐标 在这种情况下，A，B 两点都在抛物线上情况 2：设点 C 在第四象限(如图乙)，则点 C 的坐标为(5 5，-2 5 5)，点 A 的坐标为(2 15 5，15 5)，点 B 的坐标为(2 15 5，15 5)经计算，A，B 两点都不在这条抛物线上 (情况 2 另解：经判断，如果 A，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上所以 A，B 两点不可能都在这条抛物线上) 存在m 的值是 1 或-1OyxCBA(甲)11-1-1OyxCBA(乙)11-1-1(22()ya xmamc，因为这条抛物线的对称轴经过点 C，所以-1m1当 m=1时，点 C 在 x 轴上，此时 A，B 两点都在 y 轴上因此当 m=1 时，A，B 两点不可能同时在这条抛物线上)29、（2010 龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（2，0），点 B（4，0），交 y 轴于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）若直线yx交抛物线
