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1、理性至尊与灵感女神的划时代冲撞数学与艺术完美结合之分形数学是什么?抽象的思辨，严密的推理，逻辑的论证，精确的计算，总揽全局而又步步 为营的思维方式，构造起号称为“思维的体操”的数学大厦的宏基。艺术是什么?浮想联翩， 潇洒不羁，蔑视规律，跳跃的思维律动，弥漫出若即若离的艺术图景。此二者看似水火不 容，但正如辩证唯物论所描述的，任何事物都是辩证统一的。看到了数学与艺术的矛盾， 自然也要想去发掘其内在蕴涵的统一。所谓正，反，合。一、眼中的世界一、眼中的世界谈抽象谈抽象抽象是人类认识世界的方式之一。用头脑重构世界，仁者见仁，智者见智。抽象于数学，如同大脑于人一般重要。从对事物个数多寡的判断，诞生了自然
2、数的概 念；从对自然景物形状的辨别，出现了丈量学。代数，几何数学的两大源流由此而发， 自此一发不可收拾。把原因抽象为自变量，把事物间普遍联系抽象为函数关系，把结果抽 象为函数值，函数的概念由此而生。正如数学与艺术是人类思维的不同框架，艺术同样也有其对世界阐释的一套系统。艺 术采用另一种方式的编号，即用音符作为属性的标识，以此区分彼此，由此音乐悠悠流传 了几千年；用笔，用泥，用一切可以找到的材质，抽象出世间万象，也孕育了绘画，雕塑， 建筑。数学的抽象与艺术的抽象是从不同的侧面观察事物，数学强调定量的分析，而艺术偏 重定性的感知。人的认知过程应是这两者的交替上升，从而离真理更近。二、从抽象到现实二
3、、从抽象到现实谈运用谈运用数学抽象出了一整套的体系，以公理、定义、定理为基础出发，运用完备的逻辑推理 体系，导引出艰深的放之于四海而皆准的工具，成为人类改造自然的利器。数学模型是用 自然世界中的原因抽象为符号表示的变量，引入模型，模型是自身完备的一套体系，运用 数学的抽象工具加以解决，再将抽象的结果还原为现实的结果。现实的复杂浮躁，因果联 系的盘根错节，都可略去，数学模型提供了一条超越现实的捷径而直达目标。同时，抽象 略去了细枝 末节的繁芜，直接提取核心，因此，数学模型有着极为普遍的意义。这一点又与艺术是如 此接近，艺术不是倡导“来源于生活而高于生活”么?艺术的精妙之处也在于发掘出生活平 淡中
4、的经典，使其魅力如星星之火，呈燎原之势。艺术形象与生活原型在似与不似之间， 才使艺术有着普遍性和恒久性。数学的普遍性与恒久性也如此，公式不会百分之百吻合于 实际，但可修正，可在误差允许范围内逼近。三、人性的追求三、人性的追求谈美谈美说到境界，数学与哲学、艺术一样，是人性建构自身的理性需，抽象是高级思维的一 个标志，理性思维、严密推理中同样会有灵感巧思的不期而至。思路全无时，也不妨来个 浮想联翩，创造由此而生。若干痴迷于数学的人，从第一个为科学献身的阿基米德，到摘 取数学皇冠之珠的陈景润，征服他们的是数学中朴实纯粹的美，这是一种艺术的境界。看 似凌乱繁杂的一堆符号、公式，当条分缕析后，才如同“山
5、重水复疑无路，柳暗花明又一 村” ，发现隐藏其中的奥秘时的那种欣喜若狂的快感，非置身其中而不能领会。如桃花源记 “初入，小孔豁然开朗” 。古希腊，古埃及及其他时代的文明中，数学与艺术 总如孪生兄弟般一同出现。朱光潜先生曾谈到“寻美的首要条件就是无功利性” 。数学与艺 术的纯粹的美也来源于此。艺术中同样潜藏着数学的灵气。黄金点，一个美妙的数字带来了无处不在的美感。文 艺复兴前的绘画雕刻，浓郁的宗教色彩也难以掩盖其稚气的笔触。文艺复兴中对透视学的 研究计算，对色彩学的量化，才使美得以升华。达芬奇就是个艺术家兼数学家的双料角 色。建筑，艺术的神采韵味与数学的量化加工才得以巧夺天工。四、计算机中的数学
6、与艺术四、计算机中的数学与艺术计算机是数学的艺术品。现实世界的二进制数化得以在计算机中重构其镜像的虚拟世 界。数字直接求其二进制形式；字符通过字库得以编号，获得在计算机世界中的识别号； 声音通过间断点采集的方式，从连续型转换为离散型，得到.wav，.mpeg，.mp3 等文件形 式；图像也通过数学计算，得以数字化。现实世界的数字化包括了艺术的数字化。艺术要得到数学工具的辅助，才能更广泛地 传播，如今，只要鼠标轻点，凡尔赛宫的艺术珍宝就可尽收眼底。我们用计算机来完成艺 术品，Photoshop，Photocompact 用函数的计算表达作者对图片的修改创意；音乐合成软件， 通过对音符的数字化模拟
7、，大可动用整个交响乐团的特效演奏您的曲谱。美国芝加哥 Bruce 研究所的一项创意，将舞蹈过程数字化，通过一定的函数对应法则转化，得到的结 果以音符的形 式演绎出，发现那种音乐有着史无前例的艺术美感。看来，不同艺术形式的潜在的美是共 同的。而计算机同样仰仗艺术的支持，从令人望而生畏的 DOS 黑屏界面，变到 Windows，Linux 等图形化的人机交互界面，这不光是简单的表面功夫，而是一种设计理念 上的变革。数字化的纯粹简单是美，但要让更多人接受，要普及，需要形象的空间，需要 几何图形的传情表意。越来越复杂的界面，从静态到动态，从二维到三维，表达的是数字 化的信息，同时又需要数学的计算处理，
8、可见数学与艺术结合得多么紧密。 广告、海报、宣传品等实用艺术，新兴出现的现代艺术中的媒体艺术中，都可见到数 学鬼斧神工的创造力。各种艺术性的曲线也应用的更为广泛。下面介绍两种艺术曲线：连 锁螺线和外摆线。1连锁螺线方程：8/22ar2外摆线方程：) 1/cos(cos)(tbabtbax) 1/sin(sin)(tbabtbay五、分形中看数学与艺术的融合五、分形中看数学与艺术的融合普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、 二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近三十几年，产生了新兴的分形学，空间具 有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，分形学的基本思想是：客
9、观事物具有自相似 的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似 性，称为自相似性。自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。 适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着 这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太 短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度， 就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度(或者叫标度)，这叫做“无标度性”的问题。 分形艺术(Fractal Art)(FA)到目前为止约有 15
10、20 年的历史，它第一次引起公众注意的 是科学美国人(1985 年)上关于曼德勃罗(Mandelbrot)集的一篇文章，自那以后，分形在 表现形式和分形几何的理解等方面得到许多进展。 分形艺术是一种关心分形在所有的尺度上用自相似(图形的部分与整体相似)描述 的形状或集合，并具有无限细节结构的流派。分形是计算机利用反复的数字处理的一个典 型的实例，有些图像不是专门的分形，但由于利用了相同的基本生成源和生成步骤，而被纳入到分形艺术的世界中。 分形艺术是二维可视艺术的子类，在许多被人关注的方面类似于摄影一个被怀疑 论者称之为另类艺术的艺术。分形图像作品一般是通过打印机来展现的，分形艺术家已深 入到画
11、家、摄影师和打印师之中。分形自然是一种电子图像，但它很快地被一些视觉艺术 家们所接受，从而促使他们进入分形艺术的数字王国。 分形的产生可以说是数学家的探索、艺术家的创造或仅仅是一些爱好者的移情。 分形艺术有如下特点： 表现表现 通过画家的颜色、摄影师的光影或舞蹈演员的动作，艺术家学习、表现和唤起所有思 想和情感的方式。分形艺术家不缺乏用他们的媒体语言来表现的能力，同样地，它们被装 入所有传统艺术家可能使用的工具。 创造创造 决定性的分形图像必然被建立，就像照片或绘画一样，他们能够创作出有表现力的作 品和抽象的基本分形形式，或类似于非写实主义的碎片。分形艺术家具有一个空白的“油 画布” ，并且创
12、立一个图像，产生颜色、结构、平衡等由传统的可视艺术家所使用过的一些 基本原理上的和谐。 输入的需要、努力尝试和智慧输入的需要、努力尝试和智慧 分形艺术家必须管理参数公式、映射、着色方案、调色板和它们的必需的参数的集合。 各自的且每一个组成部分，能够并将调整了的、对齐的和反复用力拉的组合图，自主操作 所有这些分形图的平面带来了对理解它们的应用，这些理解需要来自数学家的智慧和艺术 家的冥思。 分形艺术中的另一个重要部分便是分形音乐，分形音乐是由一个算法的多重迭代产生 的。自相似是分形几何的本质，有人利用这一原理来建构一些带有自相似小段的合成音乐， 主题在带有小调的三番五次地反复循环中重复，在节奏方
13、面可以加上一些随机变化。它所 创造的效果，无论在宏观上，还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐，尽管它听起来不 那么宏伟，但至少听起来很有趣。有人甚至将著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为倾 听曼德 勃罗集(HeahnZ the Mandelbrot Set)。他们在曼德勃罗集上扫，将其得到的数据 转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式表现出曼德勃罗集的结构，极具音乐表现力。 实际上，分形音乐已成为新音乐研究的最令人兴奋的领域了。 以下图形是部分用计算机软件 Matlab 产生的函数图像，从中可见数学与艺术结合之美。下面的两幅美丽图案(蝶恋花)是极坐标函数图形，其中蝴蝶函数与花函数的数学表达 式分别为8cos)10cos(5 . 3sin3p)11sin()9sin(2 . 0)7sin(9 . 1)5sin(2)4sin()3sin(2 . 0p下面是著名的混沌理论中的洛伦兹引子的例子。洛伦兹吸引子方程如下：3828)(10zxydtdzxzyxdtdyyxdtdx下面函数图形（天鹅）是庞加莱截面映射，映射方程为nnYX1nnnnXXYY6999. 0)sin4sin9999. 0sin(16. 11下面图形(稻草)是描述植物生长的 PL 规则图案。其公理为 G。 产生规则为 GFX+GFG-GFG
