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1、1球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我 们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过 A、B 两点大圆的劣弧长由球心角 AOB 的大小确定，一般地是先求弦长 AB，然后在等腰AOB 中求AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。 地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法： 规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经 30 为经度 =-30，南纬 40 为 纬度 =-40 ） ，这样简单自然，记球面上一点 A 的球面坐标为 A（经度 ，纬
2、度 ） ，两标定点，清晰直观。 设地球半径为 R，球面上两点 A、B 的球面坐标为 A（1，1） ，B（2，2） ，1、2-，1、2-，如图，设过地球 O 的球面上 A 处的经线与赤2 2道交于 C 点，过 B 的经线与赤道交于 D 点。设地球半径为 R；AOC=1，BOD=2，DOC=1-2。 另外，以 O 为原点，以 OC 所在直线为 X 轴，地轴所在直线 ON 为 Z 轴建立坐标系 O- XYZ（如图） 。则 A（Rcos1,0,Rsin1）,B(Rcos2cos（1-2）,Rcos2sin（1-2）, Rsin2) cosAOB =cosOAOA，OBOB=cos1cos2cos（1-
3、2）+sin1sin2 AOB=arcoscos1cos2cos（1-2）+sin1sin2 其中反余弦的单位为弧度。 于是由弧长公式，得地球上两点地球上两点球面距离公式球面距离公式：=Rarcoscos=Rarcoscos1 1coscos2 2coscos（1 1-2 2）+sin+sin1 1sinsin2 2 （I I） AB 上述公式推导中只需写出 A，B 两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能 得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决 立几问题的不凡表现。 由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦 AB，只需两点的经纬度即可
4、。 公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B 两点的经度或纬度相同时，有：1、1=2=，则球面距离公式为： =Rarcoscos2cos（1-2）+sin2 （II）BA)2、1-2=，则球面距离公式为： =Rarcos（cos1cos2+sin1sin2）=Rarcoscos（1-2） （III）BA)例 1、 设地球半径为 R，地球上 A、B 两点都在北纬 45 的纬线上，A、B 两点的球面距离是2R，A 在东经 20，求 B 点的位置。3分析：1=20，1=2=45，由公式（II）得：R= Rarcoscos245cos（20-2）+sin2453cos= cos（20-2）
5、+3 21 21cos（20-2）=0, 20-2=90 即：2=110 或 2=-70 所以 B 点在北纬 45，东经 110 或西经 70 例 2、 （2002 年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题）北京时间 2002 年 9 月 27 日 14 点，国航 CA981 航班从首都国际机场准时起飞，当地时间 9 月 27 日 15 点 30 分，该航班正 点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间 10 月 1 日 19 点 14 分，CA982 航班在经过 13 个小 时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京-纽约直飞首航成功完成。这是 中国承运人第一次经极地经营北京-纽约直飞航线。从北京至纽约原来的航线飞经上海（北 纬 31 ，东经 122 ）东京（北纬 36 ，东经 140 ）和旧金山（北纬 37 ，西经 123 ）等处， 如果飞机飞行的高度为 10 千米，并假设地球是半径为 6371 千米的球体，试分析计算新航线 的空中航程较原航线缩短了多少。 解：本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长，再计算北京到上海、上海到东京、东京 到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和，然后求它们的差。3参考文献： 1、顾汉忠、徐艳，用向量知识推导球面距离公式，中学数学，2004，6
