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1、信号检测 matlab 分析共 5 页 第 1 页二阶自回归信号模型 AR（2）一 、二阶自回归信号模型二阶自回归信号模型（AR2）：，其中，)()2(2)1(1nnnnwxaxax1a为实数，是零均值，方差的白噪声。2a)(nw2 w由此可以求出滤波器的传递函数为21222 21 111)(azazz zazazH可求得极点：)4(21,22 1121aaapp要使系统稳定，两个极点都必须在单位圆里面，则的取值在（21, pp21,aa,）包含的区域里。 （）112a121aa 121aa 0422 1 aa21,aa分别取（-0.1，-0.8） ， （0.1，-0.8） ， （-0.975
2、，0.95） 。二、通过 matlab 软件运行并分析结果。1、程序及其在 MATLAB 上运行的图1.1、当时8 . 0, 1 . 021aa程序如下：N=1000;x=normrnd(0,1,N,1);b=1;a=1,-0.1,-0.8a=1,-0.1,-0.8;y=filter(b,a,x);x_mean=mean(x);x_variance=var(x);y_mean=mean(y); y_variance=var(y);x_autocorr=xcorr(x,x,biased);y_autocorr=xcorr(y,y,biased);x_Psd=abs(fft(x).2/N;y_Ps
3、d=abs(fft(y).2/N;subplot(3,2,1);plot(x(1:200);title(经过滤波器前的x的波形图);xlabel(n);ylabel(x);subplot(3,2,2);plot(y(1:200);title(经过滤波器后的y的波形图);xlabel(n);ylabel(y);subplot(3,2,3);plot(-100:100,x_autocorr(900:1100);title(x的自相关图);xlabel(x);ylabel(x-autocorr);subplot(3,2,4);plot(-100:100,y_autocorr(900:1100);ti
4、tle(y的自相关图);xlabel(y);ylabel(y-autocorr);subplot(3,2,5);plot(x_Psd);信号检测 matlab 分析共 5 页 第 2 页title(x的功率谱密度图);xlabel(n);ylabel(x_Psd);subplot(3,2,6);plot(y_Psd);title(y的功率谱密度图);xlabel(n);ylabel(y_Psd);在 matlab 上运行的图如下：图一1.2、当时8 . 0, 1 . 021aa程序与 1.1 相同，只是将黑体加下划线的 a 改为 a=1,0.1,-0.8。 在 matlab 上运行的图如下：图
5、二1.3、当时95. 0,975. 021aa信号检测 matlab 分析共 5 页 第 3 页程序与 1.1 相同，只是将黑体加下划线的 a 改为 a=1,-0.975，0.95。在 matlab 上运行的图如下：图三2、结果分析2.1、自相关分析可以用r,p,k=residue(1,0,1,a1,a2)函数求出 H(z)的极点和系21, pp数，则 H(z)可以分解为：，系统的冲击响应：21,rr2211)(pzzr pzzrzH，可以求出其自相关为：)()()(2211nuprprnhnn。)p-(1)( )p-(1)p-(1)( 21| 2| 1212 2| 22 22 1| 12 1
6、ppprrprprmrhhmmmm根据极点计算公式，可求出三种情况下不同的极点： 当 a1=-0.1 a2=-0.8 时，利用 residue 函数求出传递函数 H(z)的极点 r,p,k=residue(1,0,1,-0.1,-0.8)，得到： r = p = k =0.5279 0.9458 0.4721 -0.8458 此时，H(z)=0.5279z/(z-0.9458)+0.4721z/(z+0.8458)，由此可以得到系统的 冲击响应：h(n)=(0.5279*0.9458n+0.4721*(-0.8458) n)*u(n) 冲击响应函数的自相关函数为：rhh(m)=0.52792*
7、0.9458|m|/(1-0.94582)+0.47212*(-0.8458)|m|/1-(-信号检测 matlab 分析共 5 页 第 4 页0.8458)2+0.5279*0.4721*0.9458|m|+(-0.8458)|m|/(1+0.9458*0.8458)=2.7808*0.9458|m|+0.9215*(-0.8458)|m|由于极点的绝对值小于 1，而且 rhh(m)为 0.9458|m|和(-0.8458)|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝对值较大，则自相关函数在衰减的同时出现小幅度波动，且大部分波动都是在零以上波动。当
8、a1=0.1 a2=-0.8 时， r,p,k=residue(1,0,1,0.1,-0.8)，得到 r = p = k =0.5279 -0.9458 0.4721 0.8458 则同理可以得到rhh(m)= 2.7808*(-0.9458)|m|+0.9215*0.8458|m|由于极点的绝对值小于 1，而且 rhh(m)为(-0.9458)|m|和 0.8458|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝对值较小，则自相关函数在衰减的同时出现波动，且波动都是在零上下波动。当 a1=-0.975 a2=0.95 时： r,p,k=residue(1
9、,0,1,-0.975,0.95) r = p = k = 0.5000-0.2888i 0.4875 + 0.8440i 0.5000+0.2888i 0.4875 - 0.8440i此时 p1=p2*，p1=0.9747e1.049i，p2=0.9747e-1.049i。)p-(1)( )p-(1)p-(1)( 21| 2| 1212 2| 22 22 1| 12 1ppprrprprmrhhmmmm其中:r1=0.5774e-0.5238i,r2=0.5774e0.5238i,p1=0.9747e1.049i,p2=0.9747e-1.049i。此时极点为一对共轭复极点，极点的模值小于
10、1，rhh(m)是复极点的的|m|次方的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减，幅度会越来越小。共轭极点的模为 r=0.9747，幅角频率 =1.049，则自相关函数会按照模 r 指数同时以频率 振荡衰减。2.2、功率谱分析信号检测 matlab 分析共 5 页 第 5 页功率谱密度为0到2间的频率分布，图中相当于把2分为1000等份，起点为1对应低频，终点为1000对应低频，中间点501对应高频（）。 当a1=-0.1 a2=-0.8时)(| )()(212 pepeezHeHjwjwjwezjw wj 则：|8458. 0|9458. 0|1)(jwjwjw eeeH由于极点一个为
11、正，一个为负，所以功率谱在 w=0 和 2)()(wjw xxeHwp出现峰值，w=0 时极点 0.9458 离单位圆距离比 w= 时极点-0.8458 离单位圆的距离小，则此时正极点作用大，w=0 时|H(ejw)|最大。即|H(ejw)|在低频时分量较大，可以看作其具有低通性质。得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。 当a1=0.1 a2=-0.8时)(| )()(212 pepeezHeHjwjwjwezjw wj 则：|8458. 0|9458. 0|1)(jwjwjw eeeH由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱在 w=0 和 2)()(wjw xxeHwp出现峰值，w=0 时极点-
12、0.9458 离单位圆距离比 w= 时极点 0.8458 离单位圆的距离小，则此时负极点作用大，w= 时|H(ejw)|最大。即|H(ejw)|在高频时分量较大，可以看作其具有高通性质。得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。 当a1=-0.975 a2=0.95时)(| )()(212 pepeezHeHjwjwjwezjw wj 则：|0.9747e|0.9747e|1)(1.049i-1.049ijwjwjw eeeH此时极点是一对共轭极点，所以功率谱在 w=1.049 和-2)()(wjw xxeHwp1.049 处出现峰值。在本次实验中，可以计算出在 n1=(1.049/2)1000=167,n2=(2-1.049)/21000=833 处出现峰值，由此可以得到的功率谱密度曲线和理论分析一 致。
