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1、第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 本章知识要点本章知识要点 一、切比雪夫不等式 一、切比雪夫不等式 设随机变量的期望和方差均存在,则对任意0,有 2DEP, 其等价形式为 21DEP,有 011lim11= =niiniinEXnXnP, 即随机变量序列服从大数定律. LL,21nXXX2 贝努利(Bernoulli)大数定律 设n为n重独立贝努利实验中事件A出现的次数,而p是事件A在每次试验中出现的次数,则对任意0,有 0lim= pnPnn. 3 辛钦(Xinqin)大数定律 设是独立同分布的随机变量序列,且具有有限的数学期望LL,21nXXXnEX=,则 01l
2、im1= =niinXnP. 即随机变量序列服从大数定律. LL,21nXXX15 三、中心极限定理 、中心极限定理 1 德莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)中心极限定理(二项分布的中心极限定理) 设n为n重独立贝努利实验中事件A出现的次数,而p是事件A在每次试验中出现的次数,则对任意实数x, 有 )()1 (limxxpnpnpPnn= . 2 列维-林德伯格(Levy-Linderberg)中心极限定理(独立同分布的中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列,且具有有限的数学期望和方差LL,21nXXX=nEX,则 02=nDX)(lim1xxnnXPniin= = .
3、 25 常考题型解析常考题型解析 题型一 切比雪夫不等式的应用 题型一 切比雪夫不等式的应用 例 1(1989例 1(1989-M3) ) 设随机变量X的数学期望=EX,方差2=DX,则由切比雪夫不等式,有 3XP . 解解: 由切比雪夫不等式得()91 9)3(3222= DXXP. 例 2(2001例 2(2001-M1) ) 设随机变量X的方差分别为,则根据切比雪夫不等式有估计 2()2)(XEXP21. 解解: 由切比雪夫不等式得()21 42 22)(2=DXXEXP. 例 3(2001例 3(2001-M3) ) 设随机变量X和Y的期望分别为2和,方差分别为和,而相关系数为. 则根
4、据切比雪夫不等式2145 . 0()+6YPX . 例 4例 4 设随机变量独立同分布,nXXX,21L=1EX,81=DX,则概率 ()+44XP . 35 题型二 中心极限定理的掌握和应用题型二 中心极限定理的掌握和应用 例 5例 5(陈文灯) 抽样检查产品时,如发现次品多于 10 个,则拒绝接受这批产品. 设某批产品的次品率为10%,问应抽取至少多少个产品才能保证拒绝接受该批产品的概率达到0.9以上? 例 6(2001例 6(2001-M3) ) 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重50 千克,标准差为 5 千克. 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运,试利用中
5、心极限定理说明最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于?(977. 0977. 0)2(=) 例7(2002例7(2002-M4) ) 设随机变量相互独立,nXXX,21LnnXXXS+=L21,则根据列维-林德伯格(Levy-Linderberg)中心极限定理,当充分大时,近似服从正态分布,只要 nnS(A)有相同的数学期望. (B)有相同的方差. (C)服从同一指数分布. (D)服从同一离散型分布. 解解: 本题考察对列维-林德伯格(Levy-Linderberg)中心极限定理的条件的掌握情况. 列维-林德伯格(Levy-Linderberg)中心极限定理的两个条件是 ()独立同分布;
6、()存在有限的期望与方差. nXXX,21LiX故只有条件(C)是充分的. 注注: 本题也可改变为对列维-林德伯格(Levy-Linderberg)中心极限定理的结论的考察,见教材第五章习题 2. 例 8(1996例 8(1996-M3) ) 假设是来自总体nXXX,21LX的简单随机样本,已知总体前 4 阶矩(kkaXE=)(4, 3, 2, 1=k). 证明: 当充分大时,随机变量n =niinXnZ121近似服从正态分布,并求出分布参数. 45 题型三 有关大数定律的命题 题型三 有关大数定律的命题 例 9(2003例 9(2003-M3) ) 设总体X服从参数为 2 的指数分布,是来自总体nXXX,21LX的简单随机样本,则当n时, =niinXnY121依概率收敛于 . 解解: 由条件知,独立同分布,故也是独立同分布的. 故依(独立同分布的)辛钦大数定律得 nXXX,21L22 22,1nXXXL21)()(12 112 1 12=+= =XEDXXEXnYPniin. 例 10例 10 设是独立随机变量序列,且 L,21XX()nnXPn1ln=, ()nXPn210=, . L, 3, 2=n试证明: 服从大数定律. L,21XX55
