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1、第第 1 课课 算法的含义算法的含义教学目的：教学目的：理解并掌握算法的概念与意义，会用理解并掌握算法的概念与意义，会用“算法算法”思思想编制数学问题的算法。想编制数学问题的算法。教学重点：算法的设计与算法意识的的培养教学重点：算法的设计与算法意识的的培养教学过程：教学过程： 一、一、 问题情景：问题情景：1假如你的朋友不会发邮件假如你的朋友不会发邮件,你能教他吗你能教他吗?发邮发邮件的方法很多件的方法很多,下面就是一种操作步骤下面就是一种操作步骤:第一步第一步:打开电子信箱打开电子信箱; 第二步第二步:点击点击“写邮件写邮件“;第三步第三步:输入发送地址输入发送地址;第四步第四步:输入主题输
2、入主题; 第五步第五步:输入信件内容输入信件内容;第六步第六步;点击点击“发送邮件发送邮件“.2 电视节目中电视节目中,有一种有趣的有一种有趣的“猜数猜数”游戏游戏: 现有现有一商品一商品,价格在价格在 08000 元之间元之间,釆取怎样的策略才能釆取怎样的策略才能在较短的时间内说出正确的答案呢在较短的时间内说出正确的答案呢?如果从报如果从报 1 开始若不对再报开始若不对再报 2 若不对再报若不对再报 3 直到直到报到正确答案报到正确答案. 这样行不行这样行不行? 这是不是最好的策略这是不是最好的策略?策略：策略：第一步第一步:报报“4000”；第二步第二步:若答若答“高了高了“,就报就报“2
3、000”;否则报否则报“6000”；第三步第三步:重复第二步的报数方法重复第二步的报数方法,直至得到正确结果直至得到正确结果.我们做任何一件事，都是在一定的条件下按某种我们做任何一件事，都是在一定的条件下按某种顺序执行的一系列操作。解决数学问题也常常如此。顺序执行的一系列操作。解决数学问题也常常如此。例如：用加减消元法解二元一次方程组时，就可以按例如：用加减消元法解二元一次方程组时，就可以按照某一程序进行操作照某一程序进行操作；用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程，也也是按一定程序操作的。是按一定程序操作的。将上述程序换成计算机能识别的语言后，就能借将上述程序换成计算机能识别的语言后，
4、就能借助计算机极大地提高解决问题的速度。因此探索解决助计算机极大地提高解决问题的速度。因此探索解决问题的统一程序的思想是十分重要的，问题的统一程序的思想是十分重要的，对一类问题的对一类问题的机械的、统一的求解程序就是算法。机械的、统一的求解程序就是算法。面对一个需要解决的问题面对一个需要解决的问题 如何如何设计解决问题的操作步骤设计解决问题的操作步骤? 怎样怎样用数学语言描述这些操作序列用数学语言描述这些操作序列?“;“;二、二、 建构数学建构数学1.算法的概念算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解程序就是算法。对一类问题的机械的、统一的求解程序就是算法。在数学上，现代意义上的在数学上，现代
5、意义上的“算法算法”通常是指可以用计算通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2 算法的特点算法的特点:(1)有限性：有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
6、三、数学应用三、数学应用例例 1 给出求给出求 1+2+3+4+5 的一个算法的一个算法.利用循环计算利用循环计算第一步第一步:使使 s=1;第二步第二步:使使 n=2;第三步第三步:使使 s=s+n ;第四步第四步:使使 n=n+1第五步第五步:若若 n5 则返回第三步则返回第三步,否则输出否则输出 s例例 2 解二元一次方程组：解二元一次方程组： yxyx1212分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程消元法写出它的求解过程.
7、解：第一步：解：第一步： - 2，得：，得： 5y=3； 第二步：解第二步：解得得 ； 53 y第三步：将第三步：将代入代入，得，得 .53 y51 x学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？述步骤应该怎样进一步完善？引伸：引伸：写出求方程组写出求方程组的的 01221 222111 babacybxacybxa解的算法解的算法. 解：第一步：解：第一步：a1 - a2，得：，得： 12211221cacaybaba 第二步：解第二步：解得得 ； 12211221 babacacay 第三步：将第三步：将代入代入，得，得12
8、211221 babacacay 111-=cb yx a例例 3 写出解方程写出解方程 x2-2x-3=0 的一个算法的一个算法分析分析 求一元二次方程的根的问题，解法较多，可有求一元二次方程的根的问题，解法较多，可有配方法、判别式法等本题便用这两种方法写出两个配方法、判别式法等本题便用这两种方法写出两个算法算法解解 算法算法 1 第一步第一步 移项，得移项，得 x2-2x=3； 第二步第二步 将将两边同时加两边同时加 1 并配方，并配方，得得 (x-1)2=4； 第三步第三步 式两边开方得式两边开方得x-1= 2； 第四步第四步 解解得得 x=3 或或 x= -1算法算法 2 第一步第一步
9、 计算方程的根的判别式计算方程的根的判别式=22+43=160；第二步第二步 将将 a=1，b= -2，c= -3 代入求根公式代入求根公式 ， 得得 x=3， x= -12-bb - 4 a cx =2a 例例 4 一位商人有一位商人有 9 枚银元，其中有枚银元，其中有 1 枚略轻的是假枚略轻的是假银元你能用天平银元你能用天平(不用砝码不用砝码)将假银元找出来吗将假银元找出来吗?解法解法 1 按照下列步骤，就能将假银元找出来：按照下列步骤，就能将假银元找出来：第一步第一步 任取任取 2 枚银元分别放在天平的两边，如枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天果天
10、平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第二步平平衡，则进行第二步第二步第二步 取下右边的银元放在一边，然后把剩余取下右边的银元放在一边，然后把剩余的的 7 枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元偏轻的那一枚就是假银元初评初评 上述算法最少要称上述算法最少要称 1 次，最多称次，最多称 7 次，我次，我们可以采用下面的办法，使称量次数少一些们可以采用下面的办法，使称量次数少一些解法解法 2 第一步第一步 任取任取 2 枚银元分别放在天平的枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；两
11、边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第二步如果天平平衡，则进行第二步第二步第二步 从余下的从余下的 7 枚银元中再任取枚银元中再任取 2 枚分别放枚分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第三步是假银元；如果天平平衡，则进行第三步第三步第三步 从余下的从余下的 5 枚银元中再任取枚银元中再任取 2 枚分别放枚分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第四步是假银元；如果天平平衡，则进行第四步第
12、四步第四步 从余下的从余下的 3 枚银元中再任取枚银元中再任取 2 枚分别放枚分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则最后剩下的还未称的是假银元；如果天平平衡，则最后剩下的还未称的 1枚银元就是假银元枚银元就是假银元再评再评 上述算法最少要称上述算法最少要称 1 次，最多称次，最多称 4 次那次那有没有办法使得称的最多次数少于有没有办法使得称的最多次数少于 4 次的呢？次的呢？解法解法 3 第一步第一步 任取任取 4 枚银元分别放在天平的枚银元分别放在天平的两边各两边各 2 枚，如果天平左右不平衡，则轻的一边中
13、含枚，如果天平左右不平衡，则轻的一边中含有假银元，并进行第二步；如果天平平衡，则进行第有假银元，并进行第二步；如果天平平衡，则进行第三步三步第二步第二步 将轻的一边的两枚银元各将轻的一边的两枚银元各 1 个分别放入个分别放入天平的两边，则轻的一边的那枚银元就是假银元称天平的两边，则轻的一边的那枚银元就是假银元称法结束法结束第三步第三步 从余下的从余下的 5 枚银元中再任取枚银元中再任取 4 枚分别放枚分别放在天平的两边各在天平的两边各 2 枚，如果天平左右不平衡，则轻的枚，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元，并转第二步；如果天平平衡，则最一边就是假银元，并转第二步；如果天平平衡，则最后剩
14、下的还未称的后剩下的还未称的 1 枚银元就是假银元，称法结束枚银元就是假银元，称法结束又评又评 上述的算法最少要称上述的算法最少要称 2 次，最多要称次，最多要称 3次上面的算法是一种理想的算法我们还可以给出次上面的算法是一种理想的算法我们还可以给出如下的算法：如下的算法：解法解法 4 第一步第一步 把银元分成把银元分成 3 组，每组组，每组 3 枚枚第二步第二步 先将两组分别放在天平的两边，如果天先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第右平衡，则假银元就在未称的第 3 组里组里第
15、三步第三步 取出含假银元的那一组，从中任取两枚取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一银元放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元就是假银元解法解法 5 第一步第一步 把银元分成把银元分成 3 组，每组分别为组，每组分别为4 枚、枚、4 枚、枚、1 枚枚第二步第二步 将两个将两个 4 枚的组分别放在天平的两边，枚的组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第天平左右平衡，则假银元就在未称的第 3 组里组里第三步第三步 取出含假银元的那一组，从中任取两枚取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元分别放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的银元分别放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那两枚中一定有两枚中一
