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1、1984年第二 期乃L“1,a,a一玄共二十三 种情况,这里 只画出三种)a),则B(s e c 。,a),A(c s ea,B P AEa一愁).匕故seca一C osa_C SC以一S ln叹see3ae s e3aBC3=-AC例2.如图2,任一 点,证明若P是正ABC外AC上1,1 “户A. 一豆亡证 明设动一点P为极点,弦PC为极轴,圆方程图3证 明在 2 3 种情况中,均 设公共点A为1P D极点、公共弦AB为极轴。点F、D、E的极P二eo 。(8一0。).(ZR=1)分别 令0=角分别为。、月、丫,C共线).则由P、点C的极角为尽( D、A、B、E共线,有斜率相等,即百允得p。=
2、P C“eoso。,p,=PA一etg(“一a。)二一 e七g(丫一0。l /)= =CO S号二一“。,贝口过两点Cp,_2 八L尸人,厄二)的直线方程为、.20一介23PP。一51110+pP.sin(=pe.PS n百兀(见本文附注斜率公式第二式):.下=a一a。十0。“+k忙.( K任J)又k。=一c七g甲=一c七g(月十下一。 “):.kc:二一 etg(月+“ 一。+0。“+k二一0。l /)= =一etg(月+a一o。)=knF.:.CE/ /D F.例3选自许药舫编初等几 何四种一书第126一1 31页“图形的连续演变”一节,该令。=落,解得OPo=PCP、/P。+题用平面几何
3、方法 证明时,因所设角的位置1 十二二吮共了. 尸U-各异,则所引用几何定理也不相同;若用“直角坐标法”证明,化,则方程求解 会很繁因圆和直线的位置变。用上述的广义极坐1一A 一P。1 p,以ljP百-例3.已知A、B是两圆的公共点(A、B可 能重合),过公共点各作一直线CAD和E B F止于两圆。求证:C E/ /D F.(本题标方法证明,则给 出了 一个统一的证明。(作 者单位:江苏省淮阴一中)用极坐 标法证明三点共线于志洪本文应用极坐 标法对 三点共线问题进 行归类证明。题:在半圆O内,直径A OB和半径OC互相垂直,00和OB、O C相切 于D、E,并与半圆0内切于F.求证:A、E、F
4、三 点共 线.证 明如 图,以O为极 点,OA的反向延长线为 极轴建立极坐 标系。设半圆O的半.34.甲寺数与己. . . . . . . . . . . . . .数学径为R,00尹的半 径 为r,则A(R,1 80“)、F (R,45“)., . OD=O,D=O,E=r,O,D上OD,程。过A、F两点的直线方程为:5in(18 0“一45“)P_5in(18 0“一8)R5in(8一45.)R: 0 0,=侧Zr,且 匕O,OD=4 50.又因00和半圆O相内切,故O、O、F共线,且0 0,=R一 r,因此R一r二、/Zr,也 就故5in4 5。_sins+sin(8一45.)pR(1)
5、90。)点坐标代人是rR了2+1:.E点的坐标 为(侧2一1)R二OE方程左边把E(侧2一1)R,(1)得8in45。in4 5“(了f千l) (了2一1)R, (亿百一1 )RR9 0。)。第一法先 求出其 中一点A分别与其他两点E、F连线 的针率,然后证得k、 E=kAF,就可判定三点共线。侧2sin45。+sin45.二 二 一.:k*E=(侧2一1)Rsin90。一Rsln180“(侧百一z)Rsing o“一Re oozs砰1+5in45.R二了2一1Rsin45。一Rsinl80“Re o 84 5“一Re o81 8 0。右边=sin9 0。+sin(90。一45.)RkAF1+
6、5if l4 5。二一一瓦一一一:.k .=了2一1。k人 F,故A、E、F三 点共线。第二 法先建立过任 意两点(如A、F)的直线方程,再验证E点的坐标适合此方:.E点在直 线AP上,故A、E、P三点共线。第三法证得AE+!E F!=IAFI,即可判 定三点共线。R“+(了2一1)“R“一ZR.(训2一1)Re os(180。一90。)=R丫2(2一了2),/一一一一AER“+(、/2一1)“R“E F,=丫亩石而巧万万五2一2了了一,“。s9 ”。一5”=R丫2一、/2AF=、/R“+R“一ZR“eo s(1 50“一45。)2+了2了/丫R=侧ZR“(1+eo 84 5“)二一2一了一一
7、 。自./丫FA R一一|AE+1E F(而+,二R丫(2一侧2)(了2+1)艺丫2+、/2:.A、E、F三 点共线。第四 法应用三点共线的充要 条件 证明。1984年 第二期Re osl8O“Re o845“(、/2一1)Re o s90Rsin1 80”Rsin4 5“(了2一1)Rsin90 :-一R01Reos45“Rsin4 5OI0(了2一1)Rl=(侧2一=R“(了21) R“+(、/2一1)R2eo 845“一RZsin4 5。1十了2,了22了2了2、一, 艺=O:.A、E、F三点共线。(作 者单位:江苏省泰州稼胶 总厂职 工中学)一类平面几何问 题的极坐 标证法俞项 置林青
8、一、有关 圆内共端点诸弦的长度问题解这类问题一般取以公共端点为 极 点、圆的直径或切线为极轴建立极坐标系,则弦的另一端点所对应的极径可视为 圆内的弦的长度。例1.如图,OP是 00P=Zc o so.令0分别为5 4。 、1 8“,则A。A,二Zeos5 4。,A。A:=2e o818“.: (A。A工.A。AZ)2=(Ze os5 4。的半径以O P为 直径的00产与 00的弦P B交于C.求证:C是P B的 中点证明以P为 极 点,过P的切线所在射 线 为极轴,建立极坐标系。设 00的半径为R,2eo 818。)“=(48in36“e o s18。)“=85n8。“2 8”2=2(气二生)
9、“产_ /了5一1、2、11一l冲l二5。k、4/夕 此题也可用余弦定理或 正弦定理证 明,但较麻烦。则00的 方 程为P=ZRsino.OO,的方程为P=Rsino,乙BPx=a.令0=a,则PB=ZRsina,PC二Rsin。,:.P B=ZP C,即C为P B的中点.例2.已知A。、Al、A:、A3、A为单 位圆上的五个等分点.求证:(A。A,A。A:)“=5.证 明A。A,、A。例3.已知AP是ABC的BC边上的高,以AP为直径作圆分别交AB、AC于D、E.求证:B、D、E、C四点共圆.证明以A为 极点,高AP(即直 径)所在射线为极轴建立极坐标系。设AP二ZR,节乙PAB=a,乙PAC二日,则圆方程为p二ZR。s。(1).直线B e方程为p=磊(2).人厂沪、八声乙产r尸、A:是圆内 共端点 的 弦,以A。为 极 点,直径A。A所在射线为极轴建立极坐标系。据题意,艺A,A。A:二3 6“ ,乙AZA。X=1 8“,00的方程为在(1)、(2)中分别令8AD=ZReosa,AB=a和0=2RC OS众一p,得AE=ZReos(一p)=ZReos月,AC=2Re os户
