对数函数运算法则

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1、对数函数运算法则对数函数运算法则1 对数的概念 如果 a(a0，且 a1)的 b 次幂等于 N，即 ab=N，那么数 b 叫做以 a为底 N 的对数，记作：logaN=b,其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 由定义知： 负数和零没有对数; a0 且 a1,N0; loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以 10 为底的对数叫常用对数，记作 log10N,简记为 lgN；以无理数 e(e=2.718 28)为底的对数叫做自然对数，记作 logeN，简记为 lnN. 2 对数式与指数式的互化 式子名称 abN 指数式 ab=N(底数)(指数)(幂值)对数

2、式 logaN=b(底数)(对数)(真数) 3 对数的运算性质 如果 a0,a1,M0,N0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (nR). 问：公式中为什么要加条件 a0,a1，M0,N0? logaan=? (nR) 对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子 ab=NlogaN=b 名称 a幂的底数 b Na对数的底数 b N运 算 性 质 aman=am+n aman= (am)n= (a0 且 a1,nR)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(nR) (a

3、0,a1,M0,N0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定 a0,，且 a1? 理由如下： 若 a0，则 N 的某些值不存在，例如 log-28? 若 a=0，则 N0 时 b 不存在；N=0 时 b 不惟一，可以为任何正数? 若 a=1 时，则 N1 时 b 不存在；N=1 时 b 也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于 1 的正数? 解题方法技巧 1 (1)将下列指数式写成对数式： 54=625；2-6=164；3x=27；13m=5?73. （2）将下列对数式写成指数式： log1216=-4；log2128=7； log327=x；lg0.

4、01=-2； ln10=2.303；lg=k. 解析由对数定义：ab=N?logaN=b. 解答(1)log5625=4.log2164=-6. log327=x.log135.73=m. 解题方法 指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)12-4=16.27=128.3x=27. 10-2=0.01.e2.303=10.10k=. 2 根据下列条件分别求 x 的值： (1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0； (3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1. 解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?

5、(2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=33log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1，x=51=5. (3)logx27=33log32=32=6， x6=27=33=(3)6,故 x=3. (4)2+3=x-1=1x,x=12+3=2-3. 解题技巧 转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化. 熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知 logax=4

6、,logay=5，求 A=x3x-1y212 的值. 解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值； 思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值? 解答解法一logax=4,logay=5, x=a4,y=a5, A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以 a 为底的对数得 logaA=loga(x512y-13) =512logax-13logay=5124-135=0, A=1. 解题技巧 有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法

7、，把指数运算转化为对数运算.4 设 x,y 均为正数，且 xy1+lgx=1(x110),求 lg(xy)的取值范围. 解析一个等式中含两个变量 x、y，对每一个确定的正数 x 由等式都有惟一的正数 y 与之对应，故 y 是 x 的函数，从而 lg(xy)也是 x 的函数.因此求 lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数? 解答x0,y0,xy1+lgx=1, 两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0. 即 lgy=-lgx1+lgx(x110,lgx-1). 令 lgx=t, 则 lgy=-t1+t(t-1). lg(

8、xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律 对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于 t 的方程 t2-St-S=0 有实数解. =S2+4S0，解得 S-4 或 S0, 故 lg(xy)的取值范围是(-,-40,+). 5 求值： (1)lg25+lg2lg50+(lg2)2； (2)2log32-log3329+log38-52log53； (3)设 lga+lgb=2lg(a-2b)，求 log2a-log2b 的值; (4)求 7lg2012lg0.7 的值. 解析(1)25

9、=52,50=510.都化成 lg2 与 lg5 的关系式. (2)转化为 log32 的关系式. (3)所求 log2a-log2b=log2ab 由已知等式给出了 a,b 之间的关系，能否从中求出 ab 的值呢? (4)7lg2012lg0.7 是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数， 设 x=7lg2012lg0.7 能否先求出 lgx，再求 x? 解答(1)原式=lg52+lg2lg(105)+(lg2)2 =2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =lg5(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =lg102(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2

10、+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知 lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0), ab=(a-2b)2, 即 a2-5ab+4b2=0. ab=1 或 ab=4，这里 a0,b0. 若 ab=1，则 a-2b0,a1,c0,c1,N0)； (2)logablogbc=logac； (3)logab=1logba(b0,b1)； (4)loganbm=mnlogab. 解析(1)设 logaN=b

11、得 ab=N,两边取以 c 为底的对数求出 b 就可能得证. (2)中 logbc 能否也换成以 a 为底的对数. (3)应用(1)将 logab 换成以 b 为底的对数. (4)应用(1)将 loganbm 换成以 a 为底的对数. 解答(1)设 logaN=b，则 ab=N,两边取以 c 为底的对数得：blogca=logcN, b=logcNlogca.logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logaclogab. 所以 logablogbc=logablogaclogab=logac. (3)由(1)logab=logbblogba=1logba. 解题规律 (1

12、)中 logaN=logcNlogca 叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab. 7 已知 log67=a,3b=4,求 log127. 解析依题意 a,b 是常数，求 log127 就是要用 a,b 表示 log127，又3b=4 即 log34=b，能否将 log127 转化为以 6 为底的对数，进而转化为以 3 为底呢? 解答已知 log67=a,log34=b, log127=log

13、67log612=a1+log62. 又 log62=log32log36=log321+log32, 由 log34=b,得 2log32=b. log32=b2,log62=b21+b2=b2+b. log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解题技巧 利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8 已知 x,y,zR+，且 3x=4y=6z. (1)求满足 2x=py 的 p 值； (2)求与 p 最接近的整数值； (3)求证：12y=1z-1x. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量 m，再用m 分别表示

14、 x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答? 解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316, p=log316. 解法二设 3x=4y=m,取对数得： xlg3=lgm，ylg4=lgm, x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4. 由 2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4, p=2lg4lg3=lg42lg3=log316. (2)2=log39 2 又 3-p=log327-log316=log32716, p-2=log316-log39=log3169, 而 2

15、7161，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令 3x=4y=6z=m,由于 x，y，zR+， k1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6, 所以 1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12lg4lgm=lg2lgm， 故 12y=1z-1x. 解法二 3x=4y=6z=m， 则有 3=m1x,4=m1y，6=m1z， ，得 m1z-1x=63=2=m12y. 1z-1x=12y. 9 已知正数 a,b 满足 a2+b2=7ab

16、.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m0且 m1). 解析已知 a0,b0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含 a,b 的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用 a2+b2=7ab? 解答 logma+b3=logm(a+b3)212= 解题技巧 将 a+b3 向二次转化以利于应用 a2+b2=7ab 是技巧之一. 应用 a2+b2=7ab 将真数的和式转化为 ab 的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9. a2+b2=7ab, logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb), 即 logma+b3=12(logma