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1、仲恺农业工程学院仲恺农业工程学院数学建模课程论文数学建模课程论文题目： 洁具流水时间设计 姓名姓名学院学院专业班级专业班级学号学号指导老师指导老师1洁具流水时间设计洁具流水时间设计目录：目录：一、摘要.2二、问题的提出.3三、问题的分析.4四、模型假设与符号假设.44.1 模型的假设.44.2 符号假设.5五、模型的建立与求解.55.1 模型一的建立.55.2 模型一的简化与求解；.65.3 模型二的建立.8六、结果分析与检验.12七、模型推广.12八、模型的优缺点.12九、参考文献.12附录部分：.132一、摘要一、摘要本文是关于洁具流水时间的优化设计问题，从数学建模和节约能源的角度基础上出
2、发,对男性用的全自动洁具目前主要采用的两种控制放水时间的设计方案进行了分析比较，并且得到了最优解，并利用 MATLAB 软件检验出题目所提供数据符合正态分布，进而将样本容量扩大，拟合出更精确函数图像。在模型一中，假设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影响。如果只从节约能源的角度来考虑的话，可以求解出最优解 T=6 秒，是最佳的选择。如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，T=22 秒，最佳的选择。在模型二中，假设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。如果从节约能源的角度来设计最优化模型，此时 T=6 秒。如
3、果还从清洁度和洁具的寿命角度来设计最优化模型，此时 T=11秒。并在此基础上，考虑到清洁因素，又对洁具的流水时间进行了优化设计，给出了一套既节水又卫生的流水方案。 关键词：流水时间 节能 线性比较3二、问题的提出二、问题的提出我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出 60%以上。 某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具
4、，它的单位时间内流水量为常数 v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。 方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为 T，然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5 秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为 10 秒。 方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为 T，然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5 秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到 2T 时刻再开始第二次放水，持续时间也为 T。但若使用时间超过 2T-5 秒，则到 4T 时刻再开始第三次放水，持续时间也是 T在设计时，
5、为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过 2次。 该厂家随机调查了 100 人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表： 时间（秒）12131415161718人次1512601363（1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数 T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的； （2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。4三、问题的分析三、问题的分析该问题提出了对于洁具放水问题方案的合理假设。从既保持清洁又节约能源
6、的角度出发，我们主要从放水时间上对两种方案进行了比较和优化。3.1、根据题目的特点，首先对两个方案中使用时间和放水时间的联系，列出函数关系式，得出两个分段函数。然后对题目所给的男性使用洁具时间的数据用 MATLAB 软件进行了检验，得出了使用者每次使用时间符合正态分布的结果，求得期望、方差，并用区间估计得出不拒绝域假设。之后产生出随机数将数据一般化，这样我们就可以在一个更合理的区间将函数关系式作为目标函数，以及将一般数据的规律作为限制条件建立规划的数学模型，得出最优解。3.2、最后再用 MATLAB 软件对区间内的各数据绘图，之后可从图像上清晰的看出两个方案用水量在不同区间内的差异，找出最优的
7、情况，达到最大限度节能的目的。3.3、在模型一的设计中，我们是假设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，我们已经看出了其中结果的优越性。从既能保持清洁又能节约能源出发，我们小组又设计出模型二，在的设计中，我们假设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，进而调整了两种方案的时间计算公式，用同样的方法找出最优的情况，达到最大限度节能的目的。四、模型假设与符号假设四、模型假设与符号假设4.1 模型的假设模型的假设（1）厂家随机调查的 100 人次男性可以代表普遍男性使用时间的规律,反映出现现实情况；（2）一般电子控制水龙头的开关采用继电器，计时系统的耗电可以忽略，
8、只考虑继电器的耗电，因此耗电量与冲水次数和流水时间有关。（3）用水量与只与用水时间成正比；（4）洁具的寿命与冲水次数和冲水时间有关；5（5）使用者每次使用时间属于正态分布。（6）前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立的事件。 4.2 符号假设符号假设T:洁具中设计的放水时间参数（单位秒）;t:使用者使用的时间;F:用水量f:每个人使用后冲水的时间；v:放水过程单位时间内流出的水量；R:所有使用者使用的冲水时间的累加；r:每位使用者平均使用的冲水时间；c:每个使用者使用洁具时，平均冲水的次数；为简化中间迭带和运算，其他中间变量，其含义见文中。五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解5.1 模型
9、一的建立模型一的建立设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影响。方案一时间的计算如下：当使用时间不超过 T-5 秒时，放水一次，时间为T 秒。否则放水时间为 T+10 秒。数学表达式如下：(1)其中f代表冲水时间。则用水量为*Ffv方案二时间的计算如下：使用时间不超过5T 秒时，放水一次，时间为T秒。否则，到2T时刻再开始第二次放水，总的放水时间为2T。依次类推，使用时间超过5nT 时，到第2nT的时刻再开始第 n+1 次放水，时间为1nT。其函数关系式如下：(2)tTTTtTf5105 5) 1(5) 1()4 , 3 , 2(52525T
10、ntnTTnnTtTTTtT f6其中 f 代表冲水时间。则用水量为 *Ffv从而，我们可以得到如下规划：(3)5.2 模型一的简化与求解；模型一的简化与求解；首先用 Matlab 软件中的 BAR 函数对所给的数据进行绘图，从图可以看出使用者每次使用时间属于正态分布。然后用 NORMPLOT 函数画出其概率图。使用者使用时间的直方图（图 1）及正态分布概率图(图 2)。由 NORMPFIT 函数算出其均值为 15.0900,标准差为 1.0259。已知使用者的每次使用时间服从正态分布，用 TTEST 函数检验其均值 m 是否等于 15.0900。结果：H=0，P=1，CI=14.8864，1
11、5.2936。检验结果说明:（1）布尔变量 H=0, 表示不拒绝零假设。说明提出的假设使用时间的均值15.0900 是合理的；（2）95%的置信区间为14.8864，15.2936,它完全包括 15.0900, 且精度很高；（3）P 值为 1,远超过 0.5,不能拒绝零假设。我们用 NORMRND 函数产生服从正态分布的随机数，可以对 1000 人进行统计他们总的使用时间和冲水次数，即：图 3(1000 人冲水时间的累加图)和图4（1000 人冲水次数的累加图） 。min . .0,1,zfv st cL 7图 1 使用者使用时间的直方图图 2 使用者使用时间的正态分布概率图8图 3 1000
12、 人冲水时间的累加图图 4 1000 人冲水次数的累加图9比较两种方案，方案一较好。 由图 3 与图 4 可知：在 T=22 秒以前，方案一冲水时间要明显小于方案二的冲水时间。在 T=22秒以后，方案一冲水时间与方案二的冲水时间一样的。在 T=11 秒以前，方案一冲水次数要明显小于方案二的冲水次数。在 T=11 秒以后，方案一冲水次数和方案二的冲水次数无区别。综上所述，无论从节约能源的角度还是从洁具寿命的角度上来看，方案一都比方案二好。如果只从节约能源的角度来考虑的话，T=6 秒，是最佳的选择。如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，T=22 秒，是最佳的选择。5.3 模型二的建立模型二的建立假设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。由于洁具可以根据用户要求，设定不同的程序。为了节约用水，一般洁具
