林群院士的《微积分魔术》

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1、本文简介本文简介现在上网的材料微积分魔术 ，是两书微积分快餐 （科学出版社，2009 年 8 月） 、 微积分减肥快跑 （科学普及出版社，2011 年 1 月）的姊妹篇 今年 3 月，日本地震惊动了世人，也惊动了微积分教育：微积分不仅为了高 中、大学阶段做题、考试之用，更重要的是之后用于预测或破解关系人类生存 的大事所以本文一开始就添加一段“微积分何用” ，凸显学习的目的 接下来转入主题，微积分如何像算术或魔术一样，一步一步把困难变走像算术或魔术一样，一步一步把困难变走具 有高中数学程度的读者只要用心都能理解，并进一步引导他们到近代微积分作者简介作者简介林群 中国科学院院士 发展中世界科学院院

2、士中国科学院数学与系统科学研究院研究员，主要从事计算数学研究曾获 全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖，B博尔扎 诺数学科学成就金奖热爱科普和教育事业，著有画中漫游微积分、微分方程与三角测量 、微积分快餐等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任、北京市数学建 模竞赛委员会主任微积分魔术微积分魔术封面图：变走飞机算术，或魔术，拿来与微积分对照：算术里有一招，算术，或魔术，拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改，一步便能改变难度甚或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招变难度甚或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招作者作者 林群林群*（linq

3、lsecccaccn）* 中国科学院院士，发展中世界科学院院士，中国科学院数学与系统科学研 究院研究员主要从事计算数学研究曾获全国科学大会奖、中科院自然科学 奖一等奖、何梁何利科技进步奖，B博尔扎诺数学科学成就金奖 热爱科普和教育事业，著有画中漫游微积分、微分方程与三角测量 、微积分快餐等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任引论引论摘要 算术拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改变难度甚 或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招微积分何用微积分何用 微积分躲不开、绕不过，高中学它为了快速解题、有利减负，何况大学理工科 更要对付难题（如图 0-4） 但文史类就不要学吗？

4、请看托尔斯泰本人对战争 与和平的解读，图 0-1 摘自战争与和平：只有采取无限小的观察单位历史的微分，并运用积分的方法得到这些无限小的总和，我们才能得到问题的答案历史的规律正 是这种微积分，纠正了人类由于只观察个别单位所不能不犯下的和无法避免的错误 最后一句凸显了微积分对人类何用还有一些故事：为什么柏林墙会在 1989.11.9 倒塌？为什么苏联在 1992 年 1 月瓦解？为什么股市在 1929 和 1987 年的 10 月 崩溃？是什么导致 911 的恐怖袭击？图 0-2 不知情 微积分会帮我们得到答案（或知情知情） （见36的报告） 回到更近一些国计民生买菜只用初等算术，但存款利息怎么算

5、？见下图：图 0-3 复利或利滚利，底数每分秒在变化，要用微积分 人口预测的难题能不能快速解出？见下图：图 0-4 2000 年大陆人口普查，挨家挨户总动员，查了一年多，得 12.66 亿，又慢 又费；若用微积分，只要一个大学生花 5 分钟，得 13.45 亿，又快又省，相差 8000 万（6.4%）可解释为人口流动和少报造成此例凸显了微积分的效率 还有天气预报、地震预报更难，图 0-5 2011 年 6 月日本宣布滨冈核电地带在 30 年内发生 8 级地震的概率高 达 87% 该核电因此被叫停，从而可能挽救多少人 但人命关天：像 2011 年 3 月日本地震引发核泄漏，全世界为之买单，中国的

6、菠 菜也测到污染图 0-6 排队买盐（不止中国） 简言之从人间、天上直到地下，许多事都会用到微积分这些事难道不会 影响到你的行为、感觉或感情，甚或生存？尽管你不必亲自写小说，算利息或 作预报，这些都有专家做，但它们怎么来的?为什么是这样？暗藏什么玄机？难 道你不想享有更多的知情权知情权（或知识权）吗？图 0-7 知情权这是生存权的一部分，若你有这意识，生存不光吃喝玩乐，那就应该学一点微 积分 微积分与算术对照微积分与算术对照 计算买菜之类日常只需要初等算术，有加减乘除表：图 0-8 九九歌 但是预报地震之类人命关天之事需要一种全新的算术，叫微积分，专来计算函 数的导数与积分，有 导数与积分表导

7、数与积分表图 0-9 微积分两块门牌 （简称两张表，两张表，见本文第一篇末） ，其功能就像加减乘除表一样，高中学生不可 不知（知其然且知其所以然） 这就是微积分中压倒一切的重头戏，破解微积分先破解两张表 上天偏袒，最重要的东西反而容易：这两张表的真相真相被缩小到 两条代数式两条代数式 （书中式（1-14） （1-15） ）上，完全的证明或推导又缩小到几步高中数学（甚 或几个裸例上）没有更多概念或定理，复杂度猛降甚或变走，高中学生也能明 白（知其所以然） ，微积分高中化了，这是当务之急图 0-10 梦想成真：高中微积分但凭什么有这样大的本领，能把传统的论证从数百页缩小到几页上？秘密 何在？幼儿在

8、计算 2+9 时由 2 出发用手掰 9 下才算出来，一旦变到 9+2 时由 9 出发只要掰 2 下，难度降低了，甚或把困难变走了 图 0-11 变个角度 难度下降 初等算术如此，对比高等的微积分，也有同理：一旦变个角度，偶然的火花火花，图 0-12 思想的火花 能把计算导数/积分的困难（小除数/无穷次相加）变走（见本文第一篇） ，一下 改变形势打破僵局，所以也被比作变魔术：图 0-13 变走飞机我们把上述工作方法工作方法总结为直接法直接法：概念定理少、证明推导短，抄近路速 战速决（图 0-14 右）几页让人知情知情反之，盛行的系统法：先要讲极限、连续 性、实数等，概念定理多、证明推导长，数百页

9、，迂回周折（图 0-14 左）捉不 住要领，让人难以知情知情图 0-14 系统法(盘山公路迂回战) 和 直接法(抄近路速战速决) 这样，几页取代了数百页！我们及早地、简单地破获了两张表，让人及时 知情知情（知其所以然） 这是最原始的资本，以后的微积分便从此展开，不断地使 用和发酵， 图 0-15 发酵 所以有了这两张表，虽不说一劳永逸，也是一通百通、一本万利！ 有人想多学（如考研） 那么，接下来就将前面两张表（或两条代数式）普 遍化（由初等函数扩充到一切可能的函数） ，同时又推到顶级（泰勒展开） 这 些作业只是发酵，只有量变并无难度 上面两张表及泰勒展开，堪称微积分的三次战役，上演着“三国演义

10、” 到此，无需大装备，小米加步枪，高中学生也能参战，图 0-16 步兵 属于第一遍微积分第一遍微积分 接下来，第二遍微积分，第二遍微积分， 最大的战役或主战场，向“微分方程”世界进 军微分方程是牛顿以来无数科学家用来主宰世界的模型，图 0-17 运动服从微分方程 也是高中和大学的分水岭，属于更难的算术，高中数学已不够用，需要大装备， 除了大学专业中高深的概念定理和更长的证明推导，还得求助于计算机图 0-18 多兵种 这时只能走大道（如图 0-14 左） ，尚无小路可攀，所以到了该出手时才出手！ 但此文未能谈及这些，需读前书微积分减肥快跑第六章 继续长征， 图 0-19 长征 扩张到多元微积分，

11、第三遍微积分，第三遍微积分，最难部分所以，微积分要分几遍学 但此文未能谈及这些，需读前书微积分快餐第四章 自然要问，有没有比第一遍更原始的微积分呢？也许依靠看图识字（或要 看不要想） ，把微积分的最初原因缩小到平面三角上：有三部曲，初中高中 大学，图 0-20 微积分三部曲它们来自光明日报 （1997 年 6 月 27 日）与人民日报 （1997 年 8 月 6 日）5上的漫画图 0-21人民日报：从求树高（平面三角）到求山高（微积分）偶然的火花偶然的火花以及普及读物 画中漫游微积分7（广西师大出版社，1999 年 1 月）给出图 0-20 中基本公式的两步证明（回答为什么各段误差相加不会放大

12、但会变小，即本文 1.2 节） 这张画颇受欢迎，先后被用于几所大学及中学的教学8,10,13,15,17,21,22,23,25,27,32,33：图 0-22 初中课本15通过斜坡求高渗透微积分的基本思想图 0-23 高中课本23封面上曲线求高图此文为重写，分离出第一遍（中学）第二遍和第三遍微积分前书微积分快餐 、 微积分减肥快跑以及现在上网的材料，跟张景中 直来直去的微积分异曲同工，都可作为姊妹篇可惜呀可惜呀 微积分还不能变成讲故事讲故事（或许永远是梦想） ，怎能引人入胜？相反它 有公式和概念，使人走神或催眠图 0-24 听故事聚精会神 听数学看报打瞌睡 所以，为拉回或唤醒听众，本文时时插

13、入画片，甚至不惜采用极端的言辞（微 积分不取极限哪来简明的结论） 第篇第篇 微积分两张表微积分两张表微积分压倒一切的两件事，求导数和求积分当今盛行的课本要改变：求导数退出极限过程改用高中代数式；求积分退出函数的面积改求导数的面积就像左图，变个角度，复杂度猛降！理想的世界里，万物终于简单，动态过程终于静态结局（也称极限状态） 例如，割线（OS）变动的终结（极限状态）是切线(OT)，切线是割线的简 化，代表了这个过程图 1-1 割线与切线 又如图 0-20：无穷次相加的终结（极限状态）是积分值，积分值是无穷次相加 的简化，代表了这个过程，详见 1.1-1.2 节但先睹为快，所以先做一番粗描 函数从

14、来都不是一成不变的，要度量它在一点处的变化，必须考虑与之相 邻的点，于是想到利用差商 （1-()( )f xhf x h1） 但注意到，上式随着的变化会产生多个数，太复杂了我们需要找到一个数h 来“代表”它们既然问题出在上，就要想方设法将其消去自然的想法令h，但是遇到了小除数的问题，陷入了死胡同那么到底什么是我们要0h 0 0 找的那个“代表数”呢？这个小除数问题，能否解决或避开？当今盛行的课本 是通过一个所谓“取极限”的过程找到一个所谓的“导数”来解决的但要深 究极限概念的哲学意义，其纷繁冗杂人所共知，我们要做的只是给中学生一个直接法直接法，或者说一个更初等的标准标准来避开小除数，选出那个“

15、代表” 记那个代表为，希望有近似式( )A x（1-()( )( )f xhf xA xh2） 能把小除数变走（像变魔术魔术） ，但留有一个尾巴，误差= （1-()( )( )f xhf xA xh3） 我们为中学生树立的标准标准就是要求这误差跟成比例：h （1-| )()()(|hCxAhxfhxf4）于是当，误差略去不计，真有式（1-2）成立 但这个和那个0h 0)(xA“导数”之间有什么联系？事实上，我们发现对于初等函数它们结果是一致的（详见 1.1 节） ，但是更快更直接直接因此我们仍记成，即)( xf （1-()( )( )f xhf xfxC hh5） 经上面分析，我们有了度量函数在一点处变化的办法，那么函数在一个线段上又怎样呢？ , a b自然想法就是取一批点，然后将函数在这些点上的变化，(1. )kx knf，求平均的但是取哪些点，取多少点呢？我们面临着和刚()kfxknkkhxf 1)( 才同样的问题：当今课本仍用极限（无穷次求和） ，而我们就是要避开极限，选 出那个代表元： I，1()nkk kfx hI把无穷次求和的困难变走了但仍按上面树立的标准标准，要求误差跟成比例：h，