矩阵理论学习指导

《矩阵理论学习指导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵理论学习指导（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、矩阵理论学习指导矩阵理论学习指导三矩阵的分解 矩阵分解就是通过线性变换，将某个给定矩阵分解为两个或三个结构比较简单或性质比较熟悉的矩阵的乘积(个别情况下分解为两个矩阵的和).这一方法在线性方程组求解、模型参数估计等许多典型问题中经常使用，所以矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学以及工程技术问题的发展起了重要作用.譬如,矩阵的奇异值分解在图像压缩中有着很重要的应用.现假定一幅图像有 nn 个像素，如果将这 n2 个数据一起传送，往往显得数据量太大. 因此，能否利用一种技术，只传送比较少的数据，在接收端还能够利用这些数据重构原图像呢?假设 n 阶方阵 A 表示要传送的原 nn 个像素，由矩阵 A 的奇

2、异值分解可得 A=UVT,其中,奇异值按照由大到小的顺序排列.如果从中选择 k 个大奇异值以及与这些奇异值对应的左右奇异向量逼近原图像,就可以使用 k(2n+1)个数值代替原来的 nn 个图像数据. 这 k(2n+1)个选出的新数据是矩阵 A 的前 k 个奇异值，nn 左奇异向量矩阵 U 的前 k 列元素和 nn 右奇异向量矩阵 V 的前 k 列元素.比率 =n2k(2n+1)称为图像的压缩比. 显然，选出的大奇异值的个数 k 应该满足 k(2n+1)j,j=1,2,n-1;i=j+1,j+2,n),则下三角矩阵L=a1100a21a220an1an2ann称为正线下三角复(实)矩阵. 特别当

3、aii=1(i=1,2,n)时,L 称为单位下三角复(实)矩阵.2. 单纯矩阵 若矩阵 A 的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等，则称 A 为单纯矩阵.3. Hermite矩阵 设 ACnn，若 AH=A，则称 A 是Hermite矩阵；若 AH=-A，则称 A 是反Hermite矩阵. 当 A 为实对称矩阵时，AH=AT=A，所以实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形.4. 正规矩阵 若 n 阶复矩阵 A 满足 AAH=AHA，则称 A为正规矩阵. 当 A 为 n 阶实矩阵且满足 AAT=ATA 时，则称 A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵、酉矩阵、Hermite矩阵、反Hermite矩

4、阵都是正规矩阵；正交矩阵、实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵. 但正规矩阵并不一定是Hermite矩阵.5. 设 ACnn 是Hermite矩阵，对任意非零向量 XCn，均有f(X)=XHAX0 (0),则称二次型 f(X)是正定(半正定)二次型，此时称系数矩阵 A 正定(半正定).6. 广义正定矩阵 设 ARnn，若对于任何非零向量 XRn，均有XHAX0,则称矩阵 A 为广义正定矩阵.7. 奇异值 设 ACnnr,AHA 的特征值为12rr+1=n=0,则称i=i(i=1,2,r)为矩阵 A 的正奇异值.8. 酉等价 设 A,BCmn，如果存在酉矩阵 UCmm 和VCnn，使得 A=U

5、BC，则称 A 与 B 酉等价.二、 主 要 结 论 1. n阶非奇异方阵的三角分解的存在性 定理 1 设 ACnnn,则 A 可唯一地分解为A=U1R,其中U1 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者，A 可唯一地分解为A=LU2,其中 L 是正线下三角复矩阵,U2 是酉矩阵.若矩阵 ARnnn，则可立即得到下面推论.推论 1 设 ARnnn，则 A 可唯一地分解为A=Q1R,其中 Q1 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵; 或者，A 可唯一地分解为A=LQ2,其中 L 是正线上三角实矩阵，Q2 是正交矩阵.推论 2 设 A 是实对称正定矩阵,则存在唯一正线上三角实矩阵 R，使得A=RTR.

6、 推论 3 设 A 是正定Hermite矩阵，则存在唯一正线上三角复矩阵 R，使得A=RHR. 定理 2 设 ACnnn，用 L 表示下三角复矩阵，L*为单位下三角复矩阵，R 为上三角复矩阵，R*为单位上三角复矩阵，D 为对角矩阵，则下列命题等价：(1) A 的各顺序主子式满足k=a11a12a1ka21a22a2kak1ak2akk0(k=1,2, n); (2) A 可唯一地分解为 A=LR*，并且 L 的主对角线上的元素不为零；(3) A 可唯一地分解为 A=L*DR*，并且 D 的主对角线上的元素不为零；(4) A 可唯一地分解为 A=L*R，并且 R 的主对角线上的元素不为零.2.

7、任意矩阵的三角分解定理 3 当 A 是行满秩或列满秩矩阵时，可得如下结论:(1) 若 ACmnm,则存在 m 阶正线下三角复矩阵 L 和 n 阶酉矩阵 U，使得A=(L 0)U. (2) 若 ACmnn,则存在 m 阶酉矩阵 U 和 n 阶正线下三角复矩阵 R，使得A=UR0. 为叙述方便，我们用 Umnm 表示 m 个两两正交的单位行向量组成的矩阵的集合，用 Umnn 表示 n 个两两正交的单位列向量组成的矩阵的集合，于是有下面定理.定理 4 (1) 若 ACmnm 则 A 可唯一地分解为A=LU, 其中 L 是 m 阶正线下三角复矩阵，UUmnm;(2) 若 ACmnm,则 A 可唯一地分

8、解为A=UR, 其中UUmnm,R 是 n 阶正线上三角复矩阵. 若 A 既不是行满秩也不是列满秩矩阵，则可得下面定理.定理 5 设 ACmnr(rminm,n)，则存在酉矩阵UCmm,VCnn 及 r 阶正线下三角矩阵 L,使得A=UL000V,或者,存在酉矩阵 UCmm,VCnn 及 r 阶正线上三角矩阵 R，使得A=UR000V.3. 谱分解定理矩阵的特征值在振动问题和稳定性问题中有着非常重要的作用. 相似矩阵有相同的特征值，于是人们总希望能找到其中的对角矩阵或Jordan标准形矩阵，即用最简单的形式来表示已知矩阵,这就是下面的矩阵谱分解.定理 6 矩阵 A 的任意特征值的几何重复度不大

9、于它的代数重复度.定理 7 A 是单纯矩阵的充要条件是 A 与对角矩阵相似.定理 8 设 ACnnn 是单纯矩阵，则设 A 可分解为一系列幂等矩阵 Ai(i=1,2,n)的加权和，即A=ni=1iAi,其中 i(i=1,2,n)是 A 的特征值.幂等矩阵 Ai 具有如下性质: (1) 幂等性 A2i=Ai; (2) 分离性 AiAj=0(ji);(3) 可加性 ni=1Ai=En.定理 9 设 ACnnn,它有 k 个相异特征值 i(i=1,2,k)，则 A 是单纯矩阵的充要条件是存在 k 个矩阵 Ai(i=1,2,k),满足(1)AiAj=Ai,j=i,0, ji; (2) ni=1Ai=E

10、n (3) A=ni=1iAi.定理 10 n 阶复矩阵 A 是正规矩阵的充要条件是 A 与对角矩阵酉相似，即存在 n 阶酉矩阵 U，使得 A=Udiag(1,2,n)UH，其中 1,2,n 是 A 的 n 个特征值.定理 11 设 ACnnn，它有 k 个相异特征值i(i=1,2,k),则 A 是正规矩阵的充要条件是存在 k 个矩阵Ai(i=1,2,k)满足(1) AiAj=Ai,j=i,0,ji;(2) ni=1Ai=En;(3) A=ni=1iAi;(4) AHi=Ai(i=1,2,k).当矩阵 A 不能与对角矩阵相似时，可得下面定理.定理 12 若 ACnnn，则 A 可分解为A=ki

11、=1(iAi+Bi),其中 n 阶矩阵Ai,Bi(i=1,2,k)满足(1) AiAj=Ai,j=i,0,ji;(2) BiBj=0(ji);(3) ni=1Ai=En.4. Hermite 矩阵的分解及性质定理 13 设 ACnnn 是Hermite矩阵，则(1) (A,)=(,A),Cn; (2) A 的特征值均为实数；(3) 属于 A 的不同特征值的特征向量正交.定理 14 设 ACnnn 是反Hermite矩阵，则 A 的特征值均为纯虚数.定理 15 设 ACnnn 是Hermite矩阵，则下列命题等价:(1) A 是正定矩阵; (2) A 的特征值全为实数; (3) A 与 E 合同

12、; (4) A 的顺序主子式全为正.定理 16 设 ACnnn 是正定Hermite矩阵，则下列命题等价(1) A 的主对角线上的元素均大于零;(2) 存在正定Hermite矩阵 B,使得 A=B2;(3) A 的任意 k 行和对应的 k 列组成的主子阵式正定的，即Ai1i2ik=ai1i1ai1i2ai1ikai2i1ai2i2ai2ikaiki1aiki2aikik, 1i1i2ikn是正定矩阵;(4) 设 A 的对角线上的元素为 aii(i=1,2,n),则有det Ani=1aii,等号成立当且仅当 A 是对角矩阵.定理 17 设 ACnnn 是正定Hermite矩阵,则下列命题等价：

13、(1) A 是半正定矩阵; (2) A 的特征值非负;(3) A 与Er000合同，其中 r=rank(A); (4) A 的顺序主子式均非负，即det(Ai1i2ik)0(1i1i2ikn,k=1,2,n).定理 18 设 ACnnn 是正定Hermite矩阵，则 A 可分解为A=D12D12H=LLH,其中 L=D12,是单位下三角矩阵，对角矩阵 D12 可表示为D12=diag1,21,nn-1, 这里 k(k=1,2,n)是 A 的 k 阶顺序主子式.把长方形矩阵 A 分解为两个与 A 同秩的因子的乘积，进而讨论不同分解之间的关系，这一方法在处理广义逆矩阵的问题中起着非常重要的作用.定

14、理 19(最大秩分解定理) 设 ACmnr,则存在矩阵BCmrr,DCrnr,使得 A=BD.定理 20 设 ACmnr,且 A=B1D1=B2D2 均为 A 的最大秩分解，则(1) 存在 r 阶可逆矩阵 Q,使得 B1=B2Q,D1=Q-1D2;(2) DH1(D1DH1)(BH1B1)-1BH1=DH2(D2DH2)(BH2B2)-1BH2.5. 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解是现代矩阵理论研究的一项非常重要的内容，在线性动态系统的识别、实验数据的处理、古典控制理论中的频率测算等方面都有极为广泛的应用.定理 21 设 ACmn，则(1) rank(A)=rank(AHA)=rank(AAH);(2) AHA, AAH的特征值均为非负实数；(3) AHA 与 AAH的非零特征值相同. 定理 22 若 A 与 B 酉等价，则 A 与 B 有相同的