2015创新设计(高中理科数学)题组训练3-5

第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1．(2014·郑州模拟)计算 cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( )． A. B. 1233C. D.2232解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18°＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝ .12答案 A2．(2013·湖州模拟)已知 sin＝ ，则 cos(π＋2α)的值为( )．(π2＋α)13A．－ B. 7979C. D．－2923解析 由题意，得 sin＝cos α＝ .(π2＋α)13所以 cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cos2α－1)＝1－2cos2α＝ .79答案 B3．(2013·山东省实验中学诊断)已知 cos＝ ，则 sin 2x＝( )．(π4－x)35A. B. 1825725C．－ D．－7251625解析 因为 sin 2x＝cos＝cos 2＝2cos2－1，所以 sin (π2－2x)(π4－x)(π4－x)2x＝2×2－1＝－1＝－.(35)1825725答案 C4．(2013·成都模拟)已知 α∈，且 cos α＝－ ，则 tan等于 ( )．(π，32π)45(π4－α)A．7 B. 17C．－ D．－717解析 因 α∈，且 cos α＝－ ，所以 sin α＜0，即 sin α＝－ ，所以 tan (π，32π)4535α＝ .所以 tan＝＝＝ .34(π4－α)1－tan α1＋tan α1－341＋3417答案 B5．(2013·金华十校模拟)已知 tan＝－ ，且 ＜α＜π，则等(α＋π4)12π2sin 2α－2cos2αsin(α－π4)于( )．A. B．－ 2 553 510C．－ D．－2 553 1010解析 ＝＝2cos α，由 tan＝－ ，sin 2α－2cos2αsin(α－π4)2sin αcos α－2cos2α22sin α－cos α2(α＋π4)12得＝－ ，解得 tan α＝－3，因为 ＜α＜π，所以解得 cos α＝－tan α＋11－tan α12π2＝－，所以原式＝2cos α＝2×＝－.1tan2α＋1101022(－1010)2 55答案 C二、填空题6．(2013·湖南师大附中模拟)计算：＝________.tan 12°－ 34cos212°－2sin 12°解析 原式＝sin 12°cos 12°－ 322cos212°－1sin 12°＝＝sin 12°－ 3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°2(12sin 12°－32cos 12°)sin 24°cos 24°＝＝－4.2sin12°－60°12sin 48°答案 －47．(2013·南京模拟)设 f(x)＝＋sin x＋a2sin的最大值为＋3，1＋cos 2x2sin(π2－x)(x＋π4)2则常数 a＝________.解析 f(x)＝＋sin x＋a2sin1＋2cos2x－12cos x(x＋π4)＝cos x＋sin x＋a2sin(x＋π4)＝sin＋a2sin2(x＋π4)(x＋π4)＝(＋a2)sin.2(x＋π4)依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.223答案 ±38．(2014·广州模拟)已知 cos4 α－sin4 α＝ ，且 α∈，则23(0，π2)cos＝________.(2α＋π3)解析 ∵cos4 α－sin4 α＝(sin2 α＋cos2α)(cos2α－sin2 α)＝ ，∴cos 2α＝ ，又 α∈2323，∴2α∈(0，π)，(0，π2)∴sin 2α＝＝，1－cos22α53∴cos＝ cos 2α－sin 2α(2α＋π3)1232＝ × －×＝.122332532－ 156答案 2－ 156三、解答题9．(2014·浙江大学附属中学一模)已知函数 f(x)＝cos－sin.(x－π3)(π2－x)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 α∈，且 f＝ ，求 f(2α)的值．(0，π2)(α＋π6)35解 (1)f(x)＝ cos x＋sin x－cos x1232＝sin x－ cos x＝sin.3212(x－π6)∴f(x)的最小正周期为 2π.(2)由(1)知 f(x)＝sin.(x－π6)所以 f＝sin＝sin α＝ ，(α＋π6)(α＋π6－π6)35∵α∈，∴cos α＝＝＝ .(0，π2)1－sin2 α1－(35)245∴sin 2α＝2sin αcos α＝2× × ＝，35452425cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝，(45)725∴f(2α)＝sin＝sin 2α－ cos 2α(2α－π6)3212＝×－ ×＝.3224251272524 3－75010．(2013·东莞模拟)已知函数 f(x)＝－sin2 x＋sin xcos x.3(1)求 f的值．(25π6)(2)设 α∈(0，π)，f＝ －，求 sin α 的值．(α2)1432解 f(x)＝－sin2 x＋sin xcos x＝－×＋ sin 2x＝－＋sin331－cos 2x21232，(2x＋π3)(1)f＝－＋sin＝0.(25π6)32(25π3＋π3)(2)f＝－＋sin＝ －，(α2)32(α＋π3)1432∴0＜sin＝ ＜ ，(α＋π3)1412又∵α∈，∴α＋ ∈.∴α＋ ∈，(0，π)π3(π3，4π3)π3(5π6，π)∴cos＝－，∴sin α＝sin(α＋π3)154(α＋π3－π3)＝ × ＋×＝.1412154321＋3 58能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1．已知 tan(α＋β)＝ ，tan＝ ，那么 tan等于( )．25(β－π4)14(α＋π4)A. B. 13181322C. D.32216解析 因为 α＋ ＋β－ ＝α＋β，π4π4所以 α＋ ＝(α＋β)－，π4(β－π4)所以 tan＝tan(α＋π4)[α＋β－(β－π4)]＝＝＝.tanα＋β－tan(β－π4)1＋tanα＋βtan(β－π4)25－141＋25×14322答案 C2．(2013·潍坊模拟)已知 α，β∈，满足 tan(α＋β)＝4tan β，则 tan α 的最大(0，π2)值是( )．A. B. 1434C. D.34 232解析 由 tan(α＋β)＝4tan β，得＝4tan β，解得 tan α＝，tan α＋tan β1－tan αtan β3tan β1＋4tan2β因为 β∈，所以 tan β＞0.所以 tan α＝≤＝ ，当(0，π2)31tan β＋4tan β321tan β·4tan β34且仅当＝4tan β，即 tan2 β＝ ，tan β＝ 时取等号， 所以 tan α 的最大值是1tan β1412.34答案 B二、填空题3．(2014·永康模拟)若 sin＝3sin，则 tan 2α＝________.(α＋π6)(π2－α)解析 由已知，得 sin＝sin α＋ cos α＝3cos α，即sin α＝ cos α，(α＋π6)32123252所以 tan α＝，5 33所以 tan 2α＝＝＝－.2tan α1－tan2 α2 ×5 331－(5 33)25 311答案 －5 311三、解答题4．(2012·广东卷)已知函数 f(x)＝2cos(其中 ω＞0，x∈R)的最小正周期为(ωx＋π6)10π.(1)求 ω 的值；(2)设 α，β∈，f＝－ ，f＝，求 cos(α＋β)的值．[0，π2](5α＋53π)65(5β－56π)1617解 (1)由题意知 f(x)＝2cos的最小正周期 T＝10π＝，则 ω＝ .(ωx＋π6)2πω15(2)由(1)知 f(x)＝2cos，(15x＋π6)又 α，β∈，f＝－ ，f＝，[0，π2](5α＋5π3)65(5β－5π6)1617即 cos＝－ ，cos β＝，(α＋π2)35817∴sin α＝ ，cos α＝＝ ，351－sin2α45sin β＝＝，1－cos2β1517∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ ×－ ×＝－.458173515171385。