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1、- 1 -利用数学思维培养学生创新能力初探摘 要：创新是 21 世纪的“通行证”，而创新素质的形成，必须从小抓起。本文主要从初中数学学科的特点出发，利用不同的问题情景，探讨了一些在课堂 45 分钟内，如何培养学生创新能力的途径。关键词：数学教学、创新、学生意识、创新能力创新精神、实践能力、科学和人文素养、环境意识，这是新世纪公民所必须具备的基本素质，在这些素质当中最重要的是创新精神和实践能力。创新是 20 世纪的“通行证”，正如江泽民同志所说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”。创新素质的形成必须从小抓起，在中小学阶段，数学学习的能力是学生创新精神、实践能力的体现之一，尤其
2、是思维方式的形成起着重要的作用。不同的思维方式，由于认识和处理问题的出发点不同，得出的结论和取得的效果也不一样，而且思维方式是学习方式的核心，从某种意义上说，今天的学习方式就是明天的生活方式 1。因此，我深深感到培养学生创新意识，形成创新能力的重要性。新世纪需要大量的创新人才。而创新人才的培养，只有在平时的教育教学中不断渗透创新理念，尽量在每一节课中体现出来，才能循序渐进,不断提高.一、创设问题情景，激发学生创新灵感问题是教学活动的核心，没有问题的存在，教学就无法进行。问题要引导学生的质疑、探究和发现，让学生在质疑、探究和发现中获得知识和经验。古人说：“学则思疑，小疑则小进，大疑则大进。”著名
3、特级教师于漪说：“教学过程实质上就是教师在教学大纲指导下有目的、有意识地使学生生疑、质疑、解疑、再生疑、再质疑、再解疑的过程。在此往复循环、步步推进的过程中，思考、探讨、发现、创造，不但要让学生理解并掌握现成的结论，更要求他们拓展足够的思维空间，懂得形成结论的过程以及怎样掌握结论、评价结论。”教学中，我也在有意识地根据课的类型、内容，从不同角度对所展开的问题进行研究、分析，并创设新问题，引导学生带着问题去探求、摸索，揭示知识间的内在关系。- 2 -在教授九年义务教材人教版代数第二册第八章因式分解这一章时，几乎每一个新的知识点的学习，我都精心设计了良好的导入，大量设置悬念，层层推进，都收到了较好
4、的效果。在学生学习因式分解的第二种方法“运用公式法”中的“平方差公式”时，我设置了以下提问：问：m 29n 2 能否用我们学过的第一种因式分解方法“提公因式法”分解？学生很肯定地回答：不能？再问：为什么？学生说：没有公因式可提。显然，学生的已有知识已无法解决，但学生又急于想知道如何分解 m29n 2。这时，教师就引导学生分析 m29n 2的特点，发现m29n 2可以变形为 m2（3n） 2，形式与初一学过的 a2b 2平方差形式类似，由此，学生可想出：a2 b 2 = ( a b) ( a b )m2 （3n） 2 = （m 3n）（m 3n） 学生也就把 m29n 2进行了因式分解，这时教师
5、再板书课题“利用平方差公式进行因式分解”进行新课教学。这样教学，使学生在质疑、探究、发现中获得了知识和经验，既培养了学生创造性的心理品质，又培养了学生的创新能力。二、进行数学思想方法训练，培养学生创新习惯原苏联著名教育家苏霍姆林斯基说过：“我认为重要的教育任务在于渐渐地养成儿童从事紧张的、创造性的脑力劳动的习惯。”对学生创新能力的培养，并不是一个新的话题。其实，数学思想方法训练中早已广泛渗透了创新的思想。众所周知的“猜想”，本身就是创新思维火花的迸发。例如：凸多边形内角和公式可以这样引导学生猜想 3，三角形各内角和为180=（3 - 2）180，四边形的内角和为（4 - 2）180（划分为两个
6、三角形），五边形的内角和为（5 - 2）180（划分为三个三角形）。以此类推，我们可猜想：凸多边形的内角和为（n - 2）180（n 为边数），然后用数学归纳法进行严格证明。见图一。- 3 -图一我在初中数学的教学中，就大量地运用了类比这一数学思想方法进行教学，效果相当好。类比是将两个对象都有的某些相同属性，其中一个对象还具有另外的某些属性为前提，作出另一个对象也有这些属性的判断的思维方式。类比在中学数学教学中应用很广泛 4，如等差数列与等比数列的类比，平面图形与空间图形的类比（如把点“翻译”成线，把线“翻译”成面，把面“翻译”成体），有限与无限的类比，数与式的类比，解法与方法的类比等。总之，
7、一种类比是用外形特征为类比的源泉，另一种类比是以结构系统作为类比的源泉。我在数学教学中，把新旧知识进行类比，并用类比法作出合理猜想，再用严格的推理方法加以证明，就成为一种基本而又重要的一种重要的解题方法，也是一种重要的学习方法和思维方法。例如，在教授初中代数第二册第九章分式时，整章教学都使用了类比这一数学方法讲解。讲分式概念，把它与分数概念类比；讲分式的基本性质，把它与分数的基本性质类比；讲分式的加、减、乘、除、乘方运算，把它与分数的加、减、乘、除、乘方运算类比。又如一元一次不等式与一元一次方程的类比：在进行一元一次不等式的教学时，可与一元一次方程作比较。首先复习：（1）什么叫做等式？什么叫做
8、方程？什么叫做一元一次方程？（2）怎样解一元一次方程？解一元一次方程的依据是什么？（3）解一元一次方程基本步骤是什么？在复习完上述问题后，让学生用类比的方法大胆猜想：（1） 什么叫做不等式？什么叫做一元一次不等式？（2） 怎样解一元一次不等式？解一元一次不等式的依据是什么？（3） 解一元一次不等式的基本步骤是什么？在学生大胆猜想、充分讨论的基础上，老师对学生的大胆猜想和积极参与作客观的带有表扬、鼓励的评价后，自然而然带领学生进入对一元一次不等式的学习过程中。再如在学生掌握了点与圆的位置关系后，利用类比方法将“点变- 4 -成线”，将“点变成圆”，则由点与圆的位置关系自然转入对直线与圆、圆与圆的
9、位置关系的教学。运用类比学生容易接受，达到学生的主体参与，这也决定着教学活动的始发，教学活动的过程决定教学活动的质量。同时，探究活动也是新课程倡导的学习方式，学生自己在教师指导下自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程。实践证明，在数学教学中对学生进行类比思想方法训练，有助于培养学生自觉养成创新的习惯。三、进行数学语言、思维训练，培养学生的创新思维语言是思维的外壳，创新能力的培养要重视数学语言训练。在教学中，教师要引导学生用严谨的数学语言进行推理、论证，指导学生如何把实际问题转化为数学语言 2。在初中几何教学中，这一点相当重要。初三解直角三角形的例子、赵州桥的例子。例如 6（2003 年山东省
10、中考题），如图二：3004506 00ABDEH GC图二某电信部门计划修建一条连接 B、C 两地的电缆，测量人员在山脚 A 点测得 B、C 两地的仰角分别为 300、45 0，在 B 地测得 C 地的仰角为 600。已知 C 地比 A 地高 200 米，电缆 BC 至少长多少米？（精确到 0.1 米）分析：因为所求线段 BC 在 RtBCE 中，而此三角形的三边均是未知数，所以应联系应用 RtABD 和 RtACH，找出含有 BC 边的等量关系，列方程解决问题。 解：作 CHAG 于 H，BDAG 于 D，BECH 于 E，设 BC = x（米）- 5 -在 RtBCE 中,BE = BCC
11、os60 0 = ，2xCE = BCSin600 = ，x23在 RtACH 中，AH = CHCot45 0AH = CH = 200 AD = AH DH = AH BE = 200 - 2xBD = EH = CH CE = 200 - 3在 RtABD 中，BAD = 30 0，BD = ADtan30 0 200 - = (200 - ) x232x3解得 x = 200 200147答：电缆 BC 至少度 147 米。此题以测量架设电缆为背景，题目新颖,有利于考查学生应用解直角三角形的知识解决日常生活中的实际问题的能力，逐步训练学生说出自己是怎样做好的，以及为什么这样做，以此来培
12、养和训练学生的思维品质。“有一千个读者就有一千个哈姆雷特”是对构建主义思想的形象写照。构建主义者认为：世界是客观存在的，由于每个人的知识、经验和信念的不同，每个人都有自己对世界的独特理解。教学要尊重学生的个性，满足学生的不同需求。要尊重学生的不同理解和认识，让课程成为学生发挥个性的天地，成为自我赏识的乐园。由于创新思维具有灵活性、多向性、独立性、运动性和综合性等特点，所以我在教学中对知识点力求做到举一反三，触类旁通。不满足于让学生仅仅知道书本上的结论，更重要的，还教会学生探求书本以外的知识。在几何教学中，我经常采用“一题多证”，“一题多变”的方式，让学生寻找多种证明方法，最终寻求最佳途径。这样
13、做有助于发展学生的思维能力，提高学生解决问题的效率。教学中，我还注意经常渗透逆向思维、变异思维、发散思维等，也有助于培养学生的创新思维能力的提高，还能引发学生探求书本以外的知识的欲望。在几何教学中，我经常采用“一题多证”、“一题多变”，让学生寻找多种证明方法，最终寻求最佳途径。例如：初中几何第二册P181 梯形中位线定理的证明。已知：梯形 ABCD 中，ADBC，E、F 分别是两腰中点，求证：EFBC，EF = （AD + BC）。21- 6 -证法一：如图三(a)，连接 AF 并延长交 BC 延长线于 G，只需证ADFGCF。AD + BC = BG，EF = BG，即可得证。21证法二：如
14、图三(b)连接 AC，并取 AC 的中点 G，连接 GE、GF，先证 G、E、F 三点共线，再证 GE、GF 分别是ABC、CAD 的中位线。证法三：如图三(c)过 E 作 GHDC 交 DA 延长线于 G，交 BC 于 H。先证四边形 GHCD、GEFD 是平行四边形，再证三角形AGEBHE，则2EF = GD +HC = （GA + AD）+（BC - BH）= AD + BC证法四：如图三(d)过 B 作 BMCD 交 DE 延长线于 M，交 FETH 延长线于 N。先证 F、E、N 三点共线，则 FE = FN EN = BC - AM，FE = BC - （BC - AD）可得证。2121A D A D E F E F B C G B C a b G A D M A DE F N E F B H C B C c d图三事实上，有许多题目可以从同一问题演变而来，其所用知识和所运用的知识完全相同。如果在教学中引导学生对问题进行灵活变换，可有效培养学生的创新性思维及探索能力。例如：如图 （5） ，已知ABC，P 是边 AB 上的一点，连接 CD。（1）ACP 满足什么条件时，ACP ABC ？（2）AC = AP 满足什么条件时，ACP ABC ？-
