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1、 1信号与系统论文卷积算法卷积算法23卷积算法卷积算法摘要：摘要：卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有意义的。卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理领域中一种常用的重要工具。随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，不仅使卷积方法在很多领域得到很广泛的应用，而且卷积运算的逆运算-反卷积的问题也越来越受重视和应用。在语言识别、现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多信号处理领域中卷积和反卷积无处不在，而且许多都是有待深入开发研究的课题。用计算机来进行信号与系统分析，了解并灵活运用卷积运算去解决问题，提高自身的理论知识水
2、平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。卷积运算的理论运算卷积运算的理论运算1 卷积的概念及表达方式卷积的概念及表达方式卷积是信号处理中经常用到的运算。其离散型基本的表达式为： nmmnhnxnhnxny0)()()()()(其连续型基本的表达式为：dthxthtxt)-()()()()(y换而言之，假设两个信号 f1(t)和 f2(t)，两者做卷积运算定义为f(t)d做一变量代换不难得出：f(t)d=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2 2 阶梯函数卷积阶梯函数卷积所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数 u(t) 和 u(t-1)的线性组合来表示的函4数，可以看做是一些矩形脉冲的集合
3、，图 1-1 给除了两个阶梯函数的例子 11其中,3)-u(t-2)-2u(t-1)-u(t2u(t)f(t)。3)-3u(t-2)-2u(t1)-u(t-2u(t) h(t)以图 11 中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分） ，上述 f(t)与 h(t)的卷积等于 f(t)的导数与 h(t)的积分的卷积，即：tdhdttdtht) t*)(f)(*)(f（由于 f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合， 如图 12（a） 所示。512由于 h(t)也为阶梯函数，所以其积分也能方便地求得，其值为阶梯函数图 像下方的面积，记作为
4、 H(t),如图 12(b)所示： 冲击函数与其它函数的卷积有如下的关系：H(t)=H(t-T), 因此 f(t)*h(t)=2H(t)+2H(t-1)-H(t-2)-H(t-3). 即 f(t)和(t)的卷积等于 H(t)及其延时的线性组合，如图 1-3 所示：13从以上分析可以看到，两个阶梯函数的卷积等于其中一个函数的积分 H(t) 及其延迟 H(t)的线性组合，组合系数对应于各个冲击函数的系数。对于任意函数的卷积，可以先将他们的用矩形脉冲函数来逼近只要时间间 隔足够小就能达到足够的逼近精度。逼近所得到的函数即为阶梯函数，然后又 采用上述方法即可得到任意两个函数的卷积。3 3 任意函数的卷
5、积任意函数的卷积假设要计算任意函数的卷积：y(t)=x(t)*h(t) 其中 x(t),h(t)可谓无限长，分别如图 34（a）,(b)所示。634 连续时间函数对上述 x(t)和 h(t),用宽度为的梯形脉冲函数逼近，x(t)和 h(t)就转化 为斜梯函数，用折现函数及其延时的线性组合表示，如图 34(a),(b)中虚线 所示。 x(t)=u(t+c1 ）u(t-m)-u(t-(m+1)） 22 h(t)=u(t+c1)u(t-n)-u(t-(n+1) 23 此处 c1,c2为常数，由于球 x(t)和 h(t)的微积分时，与此常数无关，所以 此处可不必求出。 对式子 22，求微分有：x(t)
6、=du(t+c1)u(t-m)-u(t-(m+1)/dt 2 4 设 t=k则 x(t)和 h(t)如图 25(a),(b)所示:35 斜梯函数的一次微分与积分26 0m)/x(m-)1)x(m(t)x ）（1210khkhthk式 26,27 如下图 36 所示。736 斜梯函数的二次额积分 令 H(k=h(-2)(t),27 x(t)和 h(t)的卷机过程子程序流程图子程序流程图8程序及硬件实现程序及硬件实现程序大意：首先定义了一个计算卷积的函数计算卷积的函数 Convolveok( double *Input, double *Impulse, double *Output, Word1
7、6 Length);其中输入为 两个双精度的 数组 Input ，Impulse，以及卷积的长度 Length，输出为一个双精度的数组 Output，这个计算过程详见程序 2开始kLength1-1 klength-1) p=length-1; /如果 p+1 大于卷积系列的长度，则 p=length-1 else p=p; /否则 p=pp=length-2; /将卷积长度减 2 赋给 p for (k=length; k=length+length-1; k+) /构成 for 循环 Outputk=0; /将数组 Outputk初始化 r=0; /给变量赋予 r=0for (i=0; i
8、=p; i+) / /构成 for 循环r = Inputlength-1-i*Impulselength-1-p+i; /将第 length-1-i 个输入数据与 第 length-1-p+i 次冲击响应的卷积值赋给变量 rOutputk = Outputk+r; /将第 k 个卷积输出结果加 r17p=p-1; /变量 p 自减 1 return ; /返还 程序实现结果：程序实现结果：结束语结束语通过这次论文的写作，加深了我们对卷积的理解，认识到卷积运算的重要 性，也了解到了更多卷积的算法，也锻炼了我们查询资料，从所获取的资料中18提取有用的知识的能力。卷积运算及其逆运算在生活各个领域中的应用随着计 算机及高新科技水平的更新和提高会更加广泛。参考文献：参考文献：dsp 技术的发展与应用 ；彭启琮；2007 年高等教育出版社出版；信号与系统 ；郑君里；2000 年 5 月高等教育出版社出版；
