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1、拓扑学发展史及其应用拓扑学发展史及其应用 【摘要摘要】 【关键字关键字】拓扑学、【正文】一、什么是一、什么是拓拓扑扑学学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的 数学分支。中文名称起源于希腊语 的音译。 Topology 原意为地貌，于 19 世纪中期由科学 家引入，当时主要研究的是出 于数学分析的需 要而产生的一些 几何问题。发展至今， 拓扑 学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质 和不变量。 拓扑学是数学中 一个重要的、基 础的分支。起初它是 几何学的一支，研究 几何 图形在连续变形下保持不变 的性质(所谓连续 变形，形象地 说就是允许伸缩 和扭曲等变形， 但不许割断和粘合 )；现在
2、已发展成为研究 连续性现象的数学分支。 学学科科方方向向由于连续性在数学中的表现方式与 研究方法的多样性，拓扑学又分成 研究对象与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19 世纪末，就拓 扑 拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学， 后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了 微分拓朴学、几何拓扑学 等 分支。 数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些 特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。英topology 举例来说，在通常的 平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，
3、在拓扑学里所研究 的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能 弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧 拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状， 仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质 不变。拓拓扑扑学学由由来来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有 关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题， 后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的 欧拉定理、四色问题等
4、都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡（今 俄罗斯加里宁格勒）是 东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其 中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。 人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍， 最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想 的答案还不那么容易。 1736 年，有人带着这个问题找到了当时的大 数学家欧拉，欧拉经过一 番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化， 他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这
5、四个点之间的 连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进 一步的分析，欧拉得出结论 不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位 置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的 “先声” 。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也 和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个 凸多面体的顶点数是 v、棱数是 e、面数是 f，那么它们总有这样的关系： f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正 多面体。它们是 正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。 著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关
6、的问题。四色问题又称 四 色猜想，是世界近代三大 数学难题之一。中国 曾邦哲于 20 世纪 80-90 年代 （结构论）将其命题转换为 “四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是 四面体”的问题。 拓扑学四色猜想的提出来自 英国。1852 年，毕业于 伦敦大学的弗南西斯 .格思里 来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来， 每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜 色。 ” 1872 年，英国当时最著名的数学家 凯利正式向伦敦数学学会提出了这 个问题，于是四色猜想成了 世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学 家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1
7、8781880 年两年间，著名律师兼数 学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的 论文，宣布证明了四色定 理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久， 泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与 费马猜想相媲美的难题。 进入 20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想 法在进行。电子 计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的 出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。 1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200 个小时， 作了 100 亿判断，终于完成
8、了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于 计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。 上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又 与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先 声。拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分 支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续 性现象的重要的数学分支。 拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨1679 年提出的名词。十九世纪 中期，黎曼在复 函数的研究中强调研究函数和 积分就必须研究形势分析学。 从此开始了现代拓扑学的 系统研究。 连续性和离散性是自然界与社
9、会现象中普遍存在的。拓扑学对连续性数 学是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基 本内容已经成为现 代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、 生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用。 拓扑学是几何学的一个分支，它是从 图论演变过来的。拓扑学将实体 抽象成与其大小、形状无关的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、 线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与 通信线路之间的几何关系来表示 网络结构，反映出网络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是建设计算 机网络的第一步，也是实现各种网络协议的基础，它对网络性能、可靠性与 通信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信子网的拓扑构
10、型。 编编辑辑本本段段拓拓扑扑性性质质拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个 拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比 如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等 价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被 这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样， 这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭 曲面，只要不把曲面撕裂 或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。 应该指出，环面不具有这个性质。把环面切开，它
11、不至于分成许多块， 只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成 环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑 性质。在拓扑学中 曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯 (17901868)在 1858 年发现了莫比乌斯曲面。这种曲 面就不能用不同的颜色来涂满，因为只有一个面。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。 编编辑辑本本段段拓拓扑扑发发展展拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。 特别是黎
12、曼创立 黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更 加促进了拓扑学的进展。 二十世纪以来， 集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓 扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化 描述的问题都可以应用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物 的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。上世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提 出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念 等等。有一门数学分支叫做 微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等 在一点附近的
13、弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这 两门学科应该存在某种本质的联系。 1945 年，美籍中国数学家 陈省身建立 了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支 是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。 另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分 支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、 微分方程额其他许多数学分 支中都有广泛的应用。 编编辑辑本本段段发发展展简简史史形形势势分分析析学学拓扑学起初叫形势分析学，这是 G.W.莱布尼茨 167
14、9 年提出的名词 (中 文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性 质，经过 20 世纪 30 年代中期起 布尔巴基学派 的补充（一致性空间、仿紧 性等）和整理， 纽结和嵌入问题就是势的问题 )。随后波兰学派和 苏联学派 对拓扑空间的基本性质（分离性、 紧性、连通性等）做了系统的研究。 L. 欧拉 1736 年解决了七桥问题， 1750 年发表了多面体公式 ;C.F.高斯 1833 年在电动力学中用 线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个 词（中文是音译）是 J.B.利斯廷提出的 (1847)，源自希腊文 (位置、形势 )与(学问)。这是萌芽阶段。 1851
15、 年起，B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强 调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学 的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同 胚分类问题。如 聚点（极限点） 、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何 学的研究中黎曼明确提出 n 维流形的概念 (1854)。得出许多拓扑概念， 组合拓扑学的奠基人是 H.庞加莱。他是在分析学和 力学的工作中，特 别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学 问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n 维流形。在 18951904 年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法
16、。他引进了许多不变 量：基本群、同调、 贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他引进了 许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分 类问题，提出了著名的 庞加莱猜想 。他留下的丰富思想影响深远，但他的方 法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中， 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中， 实数的严格定义推动 G.康托尔从 1873 年起系统地展开了 欧氏空间中的点 集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（ 极限点） 、开集、闭集、稠密性、 连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数） 的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空 间的观念。这样， B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到 19、20 世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这 是萌芽阶段。 一一般般拓拓扑扑学学最早研究抽象空间的是 M.-R.弗雷歇，在 19 拓扑学06 年引进
