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1、 1 一类不等式证明方法的发现及应用一类不等式证明方法的发现及应用 石长伟 西安长安茗景园 101601 710100 内容提要内容提要 首先本文给出了课本一复习参考题的多种证法， 其次采用层层设问， 逐步提出了 “数学归纳微分法”，最后给出了此法的广泛的应用。 关键词关键词 多种证法 多维均值不等式 直接证明 假定分析 数学归纳微分法 1、问题的提出：、问题的提出： 人民教育出版社 2003 年出版的高中数学（必修本）第二册（上）复习参考题六 B 组题 2 是： 已知121,na aa =且12,na aa都是正数，求证12(1)(1)(1)2 .n naaa+ （1） 2、问题的解决：、问
2、题的解决： 分析：反复针察（1）式，则获如下特征： （）.当且仅当12naaa=等号成立； （）.此式是关于非零自然数的不等式； （）.因为121na aa =，所以 2 可以试着拆为 11。 根据以上三点，我们给出了（1）式的如下多种证明。 证法证法 1： （多维均值不等式） 因为1112aa+ ， 2212aa+， ，12nnaa+ . 所以得：1212(1)(1)(1)22nn nnaaaa aa+=. 证法证法 2： （数学归纳法） 01当2n =时，不等式成立。即 22 121212121212(1)(1)1()12(1)2aaaaa aa aa aa a+= + +=+=. 02假
3、设nk=时， 不等式成立。 即在满足121ka aa =时， 有12(1)(1)(1)2kkaaa+. 则当1nk=+时，在满足条件1211kka aa a+=， 即证1 1211 (1)(1)(1) (1)(1)2kkkkaaaaa+ + 不妨设11,1,kkaa+由归纳假设知 1211(1)(1)(1)(1)2kkkkaaaa a+ 2 即证11(1)(1)2(1)kkkkaaa a+ （2） 此式等价于1(1)(1)0kkaa+恒成立。 综合01、02不等式12(1)(1)(1)2 .n naaa+成立. 证法证法 3： （分析法） 因为 122 (1)(1)(1)nnaaa+12121
4、2121212121212(1 1) (1)(1)(1)1 1 (1)(1)(1)1 (1)(1)(1)(1)(1)(1)111 11111111111 111nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaa aa aaaaaaaaa aaaaaaa naaan+=+=+=+=+ ()121211111 111nnnnaa aaan+=+ +=所以12(1)(1)(1)2nnaaa+成立. 3、问题证法的拓广：、问题证法的拓广： 根据（1）式的特征（） 、 （） ，我们提出如下猜想：猜想： 已知 12,nna aaG=且12,nm a aa都是正数，证明或否定： 12()()()()nnnn
5、mamamamG+ （3） 证明：证明：因为 12() ()()()nnnnmG mamama+ +12()()()n nnnnmGmamama+=+3 ()121212121212121212()()()()()()1111 111nn nnnnnnnnnnnnnnnna aam mamamamamamaaaammm mamamamamamaaaammm n mamamanmamaman=+=+=+ += 所以（3）式成立. 通过分析法，依据n元均值不等式， 使猜想变为现实。 其实文章提出的问题隶属猜想(1) 的限定，猜想(2)的结果是文章提出的问题的推广。面对（1）式的多种证明，我们不禁要
6、问： （3）式能否同证明（1）式一样，直接运用多元均值不等式或者运用数学归纳法呢？ 考虑一：根据二元均值不等式等号成立的条件是1ia =。若对（2）式直接运用二元均值不等式， 则有112mama+，112mama+，2nnmama+，由得12()()()2nn nnmamamam G+，这一结论显然与（2）式矛盾。当然，也可以从这n个不等式的等号成立的条件12naaam=知n nGm=与已知矛盾。 考虑二：不妨，我们假设此不等式依然可以运用数学归纳法证之。 01当2n =时，不等式成立。即 2222 1212121212122()()()2()()mamamm aaa amm a aa ama
7、 amG+=+=+=+02假设nk=时，不等式成立。即在满足12kka aaG=时，有 12()()()()kkkkmamamamG+. 则当1nk=+时，在满足条件1211kkka aa aG+=，即证 1112111()()()()()()kkkkkkmamamamamamG+ 不妨设111,kkkkaGaG+由归纳假设知 1211()()()()()kkkkkkmamamama amG+ 因为11kkG+与kkG是随着n变化的量， 所以我们无法得到如同证法 2 中的关系式 （2） 。因此， 这样继续下去已不再可能。 是不是不等式 （3） 真的不能用数学归纳法证明其成立吗？4 （1）式为什
8、么却“一举成功”。虽然不等式（1）是不等式（2）的限定，不等式（2）是不 等式（1）的推广。“限定”是“推广”的特殊表现形式，“推广”代表了“限定”的普遍 规律。因此， “推广”或多或少的的保留着“限定”的影子。基于此，我们不能不再做探索。 “路慢慢其修远兮，吾将上下而求索。 ” 通过以上分析，我们知道，运用数学归纳法的难度及关键之处是从kp向1kp+的过渡。 于是，假设nk=时，不等式成立。即在满足前提条件12kka aaG=下，有 12()()()()kknkmamamamG+ 则当1nk=+时，因为12kkGa aa=，所以欲证的不等式的前提条件自然而然的变为 1211kkka aa a
9、G+=，即1 12 1k k kGa aaa+=，由归纳假设知 1 1211 1()()()()()()kkkkkk kGmamamamamama+ + + （4） 由原来的假设不可假之， 到现在的新的结果的产生， 不能不使人有些欣喜。 不过， 由 （4） 式步如最终的结果呢？一切的发现都源于细致入微的观察。从变量的角度来看， （4）式中的变量只有1kG+与1ka+； 再从欲证明的结果111()kkkmG+来看， 可以认为1kG+是相对于1ka+不变的量，1ka+是相对于1kG+的变量。从数学是研究量与量之间的关系来析，这也是符合我们的理念的。因此， （4）式的右边唯有1ka+是变量。于是，我
10、们设1,kax+=则 1( )()()kkkGf xmx mx+=+。 由1kaR+知xR+。此函数是关于x的非初等函数，所以直接求导求其最小值岂不妙哉？ 因为1111( )()(1)kkkkk kkGGfxm mxx+=+，所以令( )0fx =知(1) 1k kxG+ +=。 因此，函数( )f x的单调递减区间为11(0,)kkG+，单调递增区间为11(,)kkG+.故 11111( )()()kkkkkf xfGmG+=+ 即111211()()()()()kkkkkmamamamamG+ 再综合2n =时的结果，不等式12()()()()nnnnmamamamG+固然成立。 回顾整个
11、思维过程， 运用的方法是数学归纳法与微分法的结合。 首先是在数学归纳法大5 的框架的支撑下，运用微分作为建筑材料，构建了一件精美的艺术品。如果说数学归纳法是 基石，那么微分法则是基石上建造的里程碑。把微分法比喻为里程碑一点也不过分，因为微 积分本身被喻为数学上的里程碑。因此，我们把其称之为“数学归纳微分法”。能把这二 者巧妙的结合在一起，可谓从“煞费心机”，“苦心经营”，“弹尽竭虑”，到“山重水复 疑无路，柳暗花明又一村”的一个探索的历程。 4、“数学归纳微分法”的应用：、“数学归纳微分法”的应用： 关于定理的应用，举不胜举，限于篇幅，笔者仅列举二例加以说明。 例例 1.均值不等式（均值不等式
12、（Arithmetic-mean-Geometric-mean inequality） ：） ： 设12,na aa是n个正数， 它们的算术平均值( )nA a定义为12( ),n naaaA an+=它们的几何平均值( )nG a定义为112( )() ,n nnG aa aa=则( )( )nnA aG a. （5） 最早使用两个正实数的算术平均值、 几何平均值概念的是毕哥拉斯， 欧几里德的给予了 证明。1821 年，柯西第一个给出了 AG 不等式（5）的证明.他的证明中首先使用了向前向后 归纳法（也称倒退归纳法、反归纳法） 。此后，许多数学家基于不同的数学原理给出了 AG 不等式（5）的
13、多种证明。事实上至今已有上百种不同的证明方法，但共同的缺点是在运用数学归纳法由kp向1kp+过渡时过于技巧化，失去了数学本身追求的自然美。因此，在处给出其直接证明。 证明证明01当2n =时，不等式显然成立.即212 12()2aaa a+. 02假设nk=时，不等式成立。即在1kki iSa=且1kki iGa=时，有k k kSGk. 则当1nk=+时，11 1kkki iSaa+ =。由假设知11 11k kk kkSaGak+ +设1( ),k kSxf xxk+=则1 11( )k kkSxSxfxxkk +=.令( )0fx=知1 1kSxk+=+. 因此，函数( )f x的单调递
14、增区间为10,1kS k+，单调递减区间为1,1kS k+.故 1 11( )11k kkSSf xfkk+ +=+即 1 1 11k k kSGk+ + +综合01、02不等式（5）成立. 例例 2 设10,1,2,3,( 1),nii ixin nxm=则11nn eei iinmxmnx =（6） 6 证明证明 1当3n =时，设e iixt=，则问题转化为在123( 1)eeetttm+=时，即证 33113 3eie iimttm=因为 123 12333;33eeeeeeeeeetttmttt+=()()() ()()()()()21 22 31 31 22 31 331 2 3 3121 2 33ee
