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1、数学之美 2006 年 7 月第 1 期数学与经济学国际经济与贸易 王凌云从接受教育开始，数学一直陪伴着我们的成长。虽然家长和老师一遍又一遍的对我们说“数学很重要” ，但为什么要学好数学以及数学到底有多重要在我的大脑中挂着问号。现在上了大学，开始了思考，并对这些问题有了一定的认识。我在大学的专业是国经贸。但在真正接触经济学之前，我只是从一些报刊杂志上了解到数学对经济学研究的重要性。仅有的一点高中政治经济学的知识，使我无法深入了解数学在经济学研究中扮演着何等重要的角色，而只知道经济学科对数学的要求很高。在平时的学习中我发现大家有以下两种典型的认识：有些同学认为经济学无非是数学在特定经济模型下的运
2、用，做经济学计算题和做高数应用题并无多大差别，为用数学而用数学。再看看近年来北大等名校考研题，定量分析的比重不断上升，确实有不少题目是在经济背景下，拼微积分功底，这更加深了同学们的这种想法。还有一部分同学则认为，经济学属于“文科” ，数学并不重要，能用经济学原理解释社会经济现象，就是学好了经济学。而在经济学院学习的这段时间中，通过老师所授、书本所讲及课外的阅读，我发现经济学确实是离不开数学的，而且数学确实在经济理论的证明当中发挥很大的作用。其中有简单的数量分析、几何图形展示，也有很多微积分、线性代数及其他高深的数学知识，如微分方程、拓扑学等等。我们经济学科的主修数学课程有微积分、概率论和数理统
3、计等等。 “只有可以模型化的思想才会得到垂青” 。我印象最深的莫过于阿罗的“不可能定理” ，平铺直叙难有说服力，但他用数学推导的结果让人一目了然，充分显示了数学的魅力。虽然在很多信息中我们能够了解数学对经济研究的重要性，但其中也不乏相反的声音。有人认为数学的运用过于艰深会成为一些人研究经济学的桎梏；也有人认为现实中很多简单的现象只需用经验做简单的语言描述便可解释，很多大规模的数学推理证明是没有什么实际意义的；还有些人认为在经济学中大规模使用数学会使经济学失去其原来的意义。我想说：的确数学本身是很抽象很难的，即使是专门从事数学研究的人也未尝不这么认为。数学作为一门理想的工具，对其在经济学领域中的
4、应用，起作用的是其方法和思路，而经济学研究的对象是没有改变的。数学之于经济学的意义在于：（1）可以使经济学研究的对象数量化；（2）将经济学中关于复杂系统的理论数学化后，可帮助经济学家对其进行更有效更细致的分析与研究；（3）数量化使经济学研究对象间的关系更具体更清晰；（4）数学可以使很多概念的描述准确和精确；（5）研究经数学之美 2006 年 7 月第 1 期济学时我们关心的不仅是它们的表现、它们之间的数量关系，而且关心它们如何发展，而数学对此提供了有效的方法。这样我们的决策就会更多的建立在推理而不是猜测的基础上。虽然的确有不少好的经济学的初步想法或猜想一时还难以用精确的数学模型表示，而不得不用
5、描述性的或定性的语言来表达。可是，一旦这些思想被后继者用数学模型表述，做深入分析研究，并取得明确的、可预测的理论结果后，就会产生深远影响。反过来，经济学家也经常先用数学模型推导出他的理论或用统计方法进行实证检验，然后再来给出它们的经济解释。诺贝尔经济学奖从 1969 年开始颁发,至今已历 34 届,获奖者达 51 人。除了1974 年获奖的哈耶克，几乎所有的获奖成果都用到了数学工具。一半以上获奖者都是有深厚数学功底的经济学家,还有少数获奖者本身就是著名的数学家。人们习惯称数学为自然科学“王冠上的明珠” ，经济学中为社会科学的“皇后” 。有人做过统计，仅 1969 年首届诺贝尔经济学奖颁发至 1
6、981 年间的 13 个获奖成果中，其中 8 次是成功地将数学方法运用于经济学领域的工作。可以说，诺贝尔经济学奖从 1969 年首次授予计量经济学的奠基人 RFrish（挪威，18951979）和 JJinbergen（荷兰，19031994）以来，就与数学结下了不解之缘。正如瑞典著名的经济学家，后来的瑞典皇家科学院院长 ELundberg 在首届颁奖仪式上的讲话所说：“过去四十年中，经济科学日益朝着数学表达经济内容和统计定量的方向发展。正是这条经济研究路线数理经济学和计量经济学，表明了最近几十年这个学科的发展。 ”1997 年 3 月，1996 年诺贝尔经济学奖获得者 James Mirrc
7、less 在波兰给数学家作了一次学术报告。主持人以幽默的方式介绍他时说：“诺贝尔奖没有数学家的份，不过，数学家已找到了摘取诺贝尔桂冠的途径那就是把自己变成经济学家！”这些讲话都是相当客观而深刻的。纵观世界各国发展的历史特别是二战结束以后，各国经济等领域的竞争突显了数学这一竞争关键的作用。当今世界工业化国家的决策者们愈来愈把数学及其教育领域的变革，看作是经济增长的关键。作为国家经济竞争力在学术范围的支持，当代经济学理论的数学化已经是一个普遍的趋势，这使我们想起马克思在 150 多年前就提出的一句名言：“一门科学只有在成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步” 。由于所学知识有限，在这里我仅就经
8、济学与数学的相互关系及数学在现代经济领域中的应用谈一点自己肤浅的看法。一、经济学与数学之间的相互关系1.数学经济学理论研究的理想工具数学之美 2006 年 7 月第 1 期早在古希腊时期，杰出的历史学家色诺芬的财富增长思想中就包含了简单的数量关系。他通过借助数学工具和统计资料来分析，模糊的意识到商品价格的波动是依供给和需求关系的变化而变化的。而到近代以来，经济学当中的数学分析方法更是俯拾皆是。到边际革命以后，数学当中的各种新思想和方法更是大规模的涌入到经济学的分析中来，使得经济学变成一门愈来愈严密的学科。在经济竞争甚为激烈的现代，数学对经济学的发展起到了极大的推动作用，经济学理论越来越倾向于数
9、学，成果也愈来愈数学化。数学在经济学中的应用已是遍地开花。且经济学主要的研究对象，如劳动、资本、人口、价值、货币、地租、投入、产出等都与数学有不可分的联系。例如，如果没有 60 年代前后，最优控制数学理论的发展，Mirrcless 和 Vickrey 就不会因在不对称信息条件下的经济激励和控制问题所做出的贡献而获 1996 年诺贝尔经济学奖。又如，现在人们公认数学在管理科学和运筹学中有非常广泛的应用；现代社会科学的主要工具统计方法是建立在艰深的数学基础之上的。数学在经济学中的应用，产生了包括数理经济学、经济计量学、经济控制论、经济预测、经济信息等等分支。数学在这个庞大的数量经济学科群的表达经济
10、理论方面，拥有难以替代的地位。不仅如此，商业数学、会计学、金融数学、投资数学、市场统计、营销数学、经济调控等众多交叉学科大量涌现。从中我们可以看出数学工具已在经济学各领域中得到广泛应用，有的还很精深，其中包括线性规划、几何规划、非线性规划、不动点原理、变分法、拓扑学、概率论、数理统计、随机过程、矩阵论、微分方程、混沌理论和分形理论等。对于经济理论家或一般经济工作者、经营行为实施者，数学理论的重要意义还在于：他们不应仅仅是一个定性思维者，他们不能只满足于粗线条的大致估计，他们必须同时是一位定量思维者。数学科学不仅帮助人们在经营中获利，而且给予人们以具体可操作的能力和深层经济决策能力，包括直观思维
11、、逻辑推理、精确计算结论及宏观微观决策等。2.数学和经济学互相促进，共同发展在经济现象中，数量关系无处不在，像投入量、产出量、成本、效用、价格、价值、利率、商品量、生产量、产值、利润、消费量等等。在 18 世纪,瓦尔拉斯为了弄懂“边际效用”专门去学习微积分,使他成为“边际效用学派”的奠基人之一。而数量经济学是在经济理论的分析基础上，利用数学方法和计算技术，研究经济数量关系及其变化规律的经济学科。数学发展的较早，已形成网状知识体系。而经济学作为一门独立学科发展较晚，有许多理论还没有完善。但在数学与经济学随时间共同发展的过程中，可以看出它们是相互促进，共同发展的。一方面，数学在经济学研究中起着重数
12、学之美 2006 年 7 月第 1 期要作用。由于数学具有高度的抽象性及严密的逻辑性，所以它更容易冲破表面看到本质联系，继而抓住本质，建立模型，使其对经济原理的解释具有极大的帮助；另一方面经济现象的复杂性也不断地向数学提出新的问题。推动着数学科学的发展。研究经济现象要提出很多假设前提，数学模型不可能与现实经济完全一致，如张伯伦的垄断竞争模型，正是这种不一致性成为数学发展的源泉。由于这两个方面，使得数学与经济学在前进中相互促进、共同发展。从 18 世纪亚当斯密提出“看不见的手” ，到 19 世纪瓦尔拉斯提出“供需均衡” ，始终不可能解决一般经济均衡问题，因为证明一般经济均衡定理所需要的布劳维不动
13、点定理是 1911 年才给出的。事实上，被阿罗和德布洛于 1954 年证明的特殊形式的一般经济均衡存在定理与布劳维不动点定理是等价的。数学家与经济学家从不同的目的殊途同归。二、数学在现代经济学研究中的作用1. 从理论研究角度看，借助数学模型至少有三个优势，即清晰、严密、深入。具体说来就是：第一，前提假定用数学语言描述既清晰明了又精炼，省去了分析文字所耗费的精力；第二，逻辑推理严密精确，可以防止漏洞和谬误；第三，可利用已有的数学模型或数学定理推导新的结果，摈除一切琐碎干扰，更深入的得到仅凭直觉无法或不易得出的结论，发现现象之间更深层次的本质联系。运用数学模型讨论经济问题，可以不走或少走弯路，将讨
14、论集中于前提假设、论证过程及模型原理问题上来，从而避免了许多无谓的争执，也使得在深层次上发现似乎不相关的结构之间的关联变成可能。 2. 从实证研究角度看，使用数学和统计方法的优势也至少有三：第一，以经济理论的数学模型为基础发展出可用于定性和定量分析的计量经济模型；第二，证据的数量化使得实证研究具有一般性和系统性；第三，使用精致复杂的统计方法让研究者从已有的数据中最大程度地汲取有用的信息。因此，运用数学和统计方法做经济学的实证研究可以把实证分析建立在理论基础上，并从系统的数据中定量地检验理论假说和估计参数的数值。这就可以减少经验性分析中的表面化和偶然性，可以得出定量性结论，并分别确定它在统计和经
15、济意义下的显著程度。三、数学在经济学应用中的举例宏观经济学研究的是经济综合指标的控制，如研究失业、价格水平以及收支平衡的控制等。1972 年以来，承担调整美国经济的政府机构如联邦储备局等，以最优控制方法，特别是线性二次方法为背景，提出了包括失业与通货膨胀平衡的政策建议，对美国政府调整经济政策起了很大作用。利用控制理论和梯度数学之美 2006 年 7 月第 1 期法，人们还求解了南朝鲜经济的最优计划模型。美国、加拿大、智利等也有类似的经济模型，有力的促进了这些国家的经济发展。微观经济学中研究稀缺资源最合理配置的问题，很多时候都用到了高等数学的方法。甚至有人说，微观经济学就是半本数学书。它以单个经济主体的经济行为作为考察对象，包括价值理论、分配理论以及福利经济学等；它研究具体产品的数量、产量、相对价格以及质量管理等具体经济活动。比如数理经济学亦是它的工具之一，可以用数理统计中的“实验设计” 、 “质量控制（QC） ” 、“多元分析”等来提高产品的质量。如一家美国电视机制造公司被日本人买下，通过运用 QC 后，大大降低该公司的废品率至 2%；美国电话电报公司运用质量控制 QC 改进自动化装配线，生产率增加 121%，工作时间减少 61%，产品成功率从 90%增到 98%。再如一个国家外汇储备规模究竟多大为宜，并没有一个固定的衡量标准。我们可采取国际上多数学者所运用的
