缓和曲线任意点坐标的公式

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1、缓和曲线任意点坐标的公式缓和曲线任意点坐标的公式发展起来。曲线桥梁的理论分析计算方面，中国不少院校、科研单位进行了一些理论研究与探索。但目前很少看到有关曲线桥梁的几何设计计算资料，这给桥梁设计者及施工技术人员在设计、施工中带来许多困难。曲线桥梁常用的曲线形状，有圆曲线和缓和曲线。对于圆曲线，桥梁中线以及桥梁内外边缘线均为一同心圆曲线，几何设计计算较为简单，而对于缓和曲线段，桥梁中线为缓和曲线，但对边缘线、栏杆轴线及主梁边腹板曲线等是随中线曲率变化的 1 条渐变曲率曲线，而不再是缓和曲线。在过去的设计中，对缓和段上述特征曲线的计算，是近似按缓和曲线来计算，这对于曲率大、曲线段较长的情况，误差会很

2、大，特别是对有加宽、超高的缓和段，误差更不可忽视。以往设计主梁钢筋骨架时，按缓和曲线计算，则骨架出现过长或过短的情况。本文以缓和曲线长度作为参数，提出了弯桥缓和段特征曲线的几何计算式及超高计算式。1 缓和段特征曲线几何设计计算1.1 缓和曲线的坐标、切线角对缓和曲线(桥中线)上任一点 M(x,y)，如图 1 所示，相应的坐标、切线角 为(1)式中：l 为任意点 M 至原点 0(即 ZH 点)的曲线长；R 为缓和曲线终点的曲率半径；ls 为缓和曲线全长。图 1 缓和曲线1.2 平行于内(外)边缘线曲线的参数方程对于一般加宽，可在缓和曲线范围内完成。设自 ZH 点开始，桥梁内、外侧沿缓和曲线长按线

3、性加宽。平行于内侧边缘线的曲线 A1B1 上任一点M1(x1,y1)在缓和曲线上点 M(x,y)处的曲率半径上，且设 M1N1=d1，如图 2 所示。由几何关系可得(2)式中：b1(l)为 M、N1 之间的距离，即点 M 处桥内侧宽度，可按下式计算式中：b1(0)、b1(ls)分别为缓和段起点和终点桥中线至内侧边缘宽度；其它符号意义同前。图 2 平行于内、外边缘线曲线参数方程计算图式将式(2)中 sin、cos 分别以级数表示，即将上式及式(1)代入式(2)并略去高阶项后得曲线 A1B1 的参数方程(3)同理，可得平行于外侧边缘线曲线 A2B2 参数方程(4)式中：d2 为曲线 A2B2 与外

4、边缘线间的距离；b2(l)为缓和曲线长 l处外侧桥宽，计算式为(5)式中：b2(0)、b2(ls)分别为缓和段起点和终点中线至外侧边缘宽度；其它符号意义同前。从式(3)、(4)可以看到：当 di=0(i=1,2)，方程则为内、外边缘线参数方程；当 bi(l)=ci(常数，i=1,2)，式(3)、(4)则为未加宽平行于边缘线(或桥中线)曲线的参数方程。当 bi(l)=ci，且 di=0,式(3)、(4)即为文献1 、 2导出的计算机处理的边缘线曲线拟合方法，仅是本计算方法的 1 个特例。1.3 平行内(外)边缘线曲线的弧长计算以曲线 A1B1 上任意一段弧长为例，将式(3)中 2 个方程等式 2

5、边分别对 l 求导得则所求弧长 S 为经积分变换，利用 Gauss-legerdre 求积公式可得(6)式中：ti 为 legerdre n+1 次多项式 pn+1(t)的零点；Ai 为求积系数；同理，可推导出曲线 A2B2 上任一段弧长的计算式，这里不再赘述。2 缓和段超高计算如图 3 所示，A、C 分别是缓和段起点和终点，A 点处桥面路拱与直线段路拱一致，即为双坡横断面，坡度为 i(0)。设自 A 点开始，路拱双坡外侧逐渐提高，到达 B 点时与内侧成通坡，其坡度为 i(lt)。自 B 点起，逐渐提高桥面单坡坡度，一直到缓和曲线终点 c 时提高到 i(ls)。图中 lt 为缓和段起点到通坡断

6、面间的距离，即为曲线AB 的长度。图 3 缓和曲线段起高计算图式2.1 超高段拱坡坡度计算缓和段上的超高值与缓和段起点的距离成正比变化，因此，缓和段的超高计算式如下i(l)=i(0)内侧(7)式中：i(t)=i(0)；lt 计算式为(8)2.2 超高计算对于超高缓和段的形成过程常用绕桥面内侧边缘旋转的形式，如图 3 所示。现以此形式推导加宽缓和段超高计算式。超高计算图式如图 4 所示。图 4 中横轴为缓和曲线的法向，其正半轴一方的区域为外侧，负半轴一方区域为内侧。图 4 超高计算图式令 b(0)=minb1(0),b2(0)于是，缓和曲线长 l 处的法向断面上任一点 k 处的超高 h(l)计算

7、式如下内侧超高 h(l)计算式为(9)外侧超高计算式为(10)若 fk=0，则式(9)、(10)中的超高即为缓和曲线(桥中线)的超高计算式3 算例与结论某桥位于缓和曲线路段上，缓和曲线全长 ls=100 m，圆曲线半径 R=200 m，路基宽 B=11 m，半幅宽 5.5 m，桥梁起点位于缓和曲线长 25.15 m 处，终点位于缓和曲线长 70.15m 处，路基加宽值为 0.8 m(内侧加宽)。求桥内外侧边缘线的长度。用本文计算方法及用文献2方法计算的结果列入表 1 中。表 1 内、外侧边缘线的计算长度表边缘线部位弧长m 注本文方法计算结果 文献2计算结果N=10 N=100内侧 44.577

8、 89 44.577 7 44.577 9 用本文方法计算，求积公式 n 取 2外侧 45.799 92 45.799 6 45.799 8比较上表结果，用本文方法，当 n=2 时计算结果与文献2将所求弧段分为 100 段时算出的结果接近。显然，用本文方法计算弧长不仅公式简洁、方便，而且精度高。本文所述曲线桥梁缓和段的几何设计计算方法具有很高的实用价值。既无图解法的近似估算，又无以弦代弧的高次迭代缺点。它具有明确的几何概念，公式简洁，方法简便。可广泛应用在曲桥设计过程中的构造尺寸计算、纵横坡度计算、有限元结点划分、钢筋(骨架)长度计算以及结构体积计算等。在施工方面，方便模板放样及测量数据分析计算等。在无计算机的情况下，本方法无疑为首选方法。作者已根据本文所阐述的方法编制了通用设计程序，设计了多座弯桥并经施工证明了本方法的可靠，取得了很好的效果。