《gksxnd24 难点24 直线与圆锥曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《gksxnd24 难点24 直线与圆锥曲线（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、难点 24 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位 置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类 讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计 算能力较高，起到了拉开考生“档次” ，有利于选拔的功能. 难点磁场()已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q，且 OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程.210案例探究 例 1如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线 l 与线段 OA 相交(不经
2、过点 O 或点 A)且4交抛物线于 M、N 两点，求AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求AMN 的最大面积. 命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦 长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法“韦达定理法”.属 级题目. 知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定 m 的取值范围.不等式法求最值忽 略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关 系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算. 解：由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,5m0
3、.由方程组,消去 y,得 x2+(2m4)x+m2=0 xymxy42直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N， 方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0, 解得 m1,又5m0,m 的范围为(5，0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.)1 (2m点 A 到直线 l 的距离为 d=.25mS=2(5+m),从而 S2=4(1m)(5+m)2m1=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.35522mmmS8,当且仅当 22m=5+m,即 m=1 时取等号.2故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 8.2例
4、 2已知双曲线 C：2x2y2=2 与点 P(1，2)(1)求过 P(1，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没 有交点. (2)若 Q(1，1)，试判断以 Q 为中点的弦是否存在. 命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考 查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法“差分法” ，属级题目. 知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式. 错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以 Q 为中点弦的斜率为 2，就认为所求直线存在了. 技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“
5、差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率， 弦的中点坐标联系起来，相互转化. 解：(1)当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率存 在时，设直线 l 的方程为 y2=k(x1),代入 C 的方程，并整理得 (2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当 2k2=0,即 k=时，方程(*)有一个根，l 与 C 有一个交点2()当 2k20,即 k时2=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即 32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l 与 C 有一个交点.23当0,即 k,又 k,故当 k或k或k时，23
6、2222223方程(*)有两不等实根，l 与 C 有两个交点.当0，即 k时，方程(*)无解，l 与 C 无交点.23综上知：当 k=,或 k=，或 k 不存在时，l 与 C 只有一个交点；223当k,或k,或 k时，l 与 C 有两个交点；223222当 k时，l 与 C 没有交点.23(2)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12y12=2,2x22y22=2 两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即 kAB=22121 xxyy 但渐近线斜率为,结合
7、图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为2中点的弦不存在. 例 3如图，已知某椭圆的焦点是 F1(4，0)、F2(4，0)，过点 F2并垂直于 x 轴的直 线与椭圆的一个交点为 B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件： |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦 AC 中点的横坐标； (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求 m 的取值范围. 命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧 妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综
8、合性，灵活性强，属级题目. 知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.错解分析：第三问在表达出“k=y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中3625变量间的关系. 技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半 径公式)求解，第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0,利用 y0的范围求 m 的范围.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b=3.22ca 故椭圆方程为=1.92522yx(2)由点 B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线
9、方程为 x=,离心率为，59 425 54根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，54 425 54 425由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.54 425 54 425 59设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=4.221xx (3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.得 2592592592592 22 22 12 1 yxyx得 9(x12x22)+25(y12y22)=0,即 9=0(x1x2)()2(25)2(21212121 xxyyyyxx 将 (k0)代入上式，得
10、 94+25y0()=0kxxyyyyyxxx1,2, 422121 021 021 k1(k0)即 k=y0(当 k=0 时也成立).3625 由点 P(4，y0)在弦 AC 的垂直平分线上，得 y0=4k+m,所以 m=y04k=y0y0=y0.925 916由点 P(4，y0)在线段 BB(B与 B 关于 x 轴对称)的内部，得y0,所以59 59m.516 516解法二：因为弦 AC 的中点为 P(4,y0)，所以直线 AC 的方程为yy0=(x4)(k0)k1将代入椭圆方程=1,得92522yx(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以 x1+x
11、2=8,解得 k=y0.(当 k=0 时也成立)259)4(5020 kk 3625(以下同解法一). 锦囊妙计 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成 的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方 法. 2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长 (即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜 率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间 的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 歼灭难点训练 一、选择题1.()斜率为 1
12、的直线 l 与椭圆+y2=1 相交于 A、B 两点，则|AB|的最大值为( )42xA.2B. C.D. 554 5104 51082.()抛物线 y=ax2与直线 y=kx+b(k0)交于 A、B 两点，且此两点的横坐标分 别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题3.()已知两点 M(1，)、N(4，)，给出下列曲线方程：4x+2y1=0,45 45x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方
13、程是22x 22x_.4.()正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上，C、D 两点在抛物线 y2=x 上， 则正方形 ABCD 的面积为_.5.()在抛物线 y2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程 是_. 三、解答题6.()已知抛物线 y2=2px(p0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线 交于不同的两点 A、B，且|AB|2p. (1)求 a 的取值范围.(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值.7.()已知中心在原点，顶点 A1、A2在 x 轴上，离心率 e=的双曲线过点321P(6，6).
14、 (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过A1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问：是否存在直 线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论.8.()已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点，且都以点 A(，0)为圆心，12为半径的圆相切，双曲线的一个顶点 A1与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A，斜率为 k,当 0k1 时，双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为，试求 k 的值及此时 B 点的坐标.2参考答案 难点磁场 解：设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m0,n0)， P(x1,y1),Q(x2,
15、y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0, 1122nymxxy=4n24(m+n)(n1)0,即 m+nmn0, 由 OPOQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2nmn nmn 2) 1(2又 22,)210()(4 nmmnnm将 m+n=2,代入得 mn=43由、式得 m=,n=或 m=,n=21 23 23 21故椭圆方程为+y2=1 或x2+y2=1.22x 23 23 21歼灭难点训练一、1.解析：弦长|AB|=.55422t5104答案：C2.解析：解方程组,得 ax2kxb=0,可知 x1+x2=,x1x2=,x3=,代入 bkxyaxy2ak ab kb验证即可. 答案：B 二、3.解析：点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是 否存在交点. 答案： 4.解析：设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2
