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1、实验实验 7 7 微积分基本运算微积分基本运算与其到头来收拾残局,甚至做成蚀本生意,倒不如当时理智克制一些. 实验 7 微积分基本运算一、实验目的学会用 MATLAB 软件求高等数学中函数的极值、微分、积分的方法二、实验内容与要求1.函数的的极限格式：limit(Fxa) %计算符号表达式 F=F(x)的极限值当 xa 时；limit(Fxaright) %计算符号表达式 F 的右极限当 x 时limit(Fxaleft) %计算符号函数 F 的左极限当 x 时【例 1.61】 syms x a t h n; L1=limit(cos(x)-1)/x) %缺省状态下计算当 x0 时的极限值 L
2、2=limit(1/x3x0right) L3=limit(1/xx0left) L4=limit(log(x+h)-log(x)/hh0) v=(1+a/x)xexp(-x); L5=limit(vxinfleft) L6=limit(1+2/n)(3*n)ninf)计算结果为：L1 =0L2 =InfL3 =-InfL4 =1/xL5 = exp(a)0L6 =exp(6)2.求单变量函数的极值格式：fmin(Fab) %计算在区间 a-b 上函数 F 取最小值时的 x 的值.说明：在 5.3 及 5.3 以上版本命令 fmin 已改 fminbnd常用格式如下.X=fminbnd(Fab
3、) %计算在区间 a-b 上函数 F 取最小值时的 x 的值.xfval=fminbnd(Fab)%计算在区间 a-b 上函数 F 的最小值 fval 和对应的 x 值【例 1.62】 求函数 f(x)=在区间（-24）的极小值并作图. f=inline(2*x.3-6*x.2-18*x+7); %建立内联函数f(x). xfval=fminbnd(f-24); %求函数 f 的最小值和对应的 x 的值 fplot(f-24)结果为：x=3.0000Fval=-47.0000如图 1.12 所示.图 1.12 例 1.62 图形结果注意：用 inline 建立的函数 f在 funbnd 和 f
4、plot 命令中不用加单引号而用 M 函数文件建立的函数则要加单引号.问题 1.25：如何求函数 f 的最大值？3.函数的微分格式：diff(Svn) %对符号表达式 S 中指定的符号变量 v 计算 S 的 n 阶导数在缺省状态下v=findsym(S)n=1.【例 1.63】syms x y t %计算 %计算计算结果为：-4*sin(x2)*x2*y2+2*cos(x2)*y2=-8*sin(x2)*x2*y+4*cos(x2)*y=720问题 1.26：试一下输入 diff(a3*x3-b*xa2)有什么错误？为什么例 1.63 中的 diff(y)y 可以不加单引号？（因为在syms
5、x y t中已经定义了符号变量 y.如果 A 是一个矩阵diff(A)有何意义（求每一列元素的差分）？4函数的积分(1)quad 法数值积分格式：s=quad(funab) %近似地从 a 到 b 计算函数 fun 的数值积分误差为s=quad(funabtol)%用指定的绝对误差 tol 代替缺省误差s=quad8(funab)%用高精度进行计算效率可能比 quad 更好.说明：s=quad8 命令在 6x 版本用 quad 代替.【例 1.64】 fun=inline(3*x.2./(x.3-2*x.2+3); %构造一函数fun(x)= s1=quad(fun02) s2=quadl(f
6、un02)计算结果为：s1 =3.7224s2 =3.7224注意:用 inline 构造函数比用 function 构造函数简单；命令 quadl最后是字母 1不是数字 1.(2)梯形法数值积分格式:T=trapz(XY) %用梯形法计算 Y 在 X 点上的积分.【例 1.65】 X=-1:.1:1; Y=1./(1+25*X.2); %注意这里用点运算 T=trapz(XY) %计算函数 Y 从-1 到 1 的积分计算结果为：T =0.5492注意：步长取短结果较精确.(3)符号函数的积分格式：R=int(Sv) %对符号表达式 S 中指定的符号变量 v 计算不定积分.R=nit(Svab
7、) %对表达式 S 中指定的符号变量 v 计算从 a 到 b 的定积分.【例 1.66】syms x z t alphaI1 =int(-2*x/(1+x3)2)I2 =int(x/(1+z2)z)I3 =int(I2xxb) %这里积分区间 ab 由于没定义所以要加单引号I4 =int(x*log(1+x)01)I5 =int(exp(t)exp(alpha*t)计算结果为：I1=-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)-1/9*log(x2-x+1)-2/9*3(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*.3(1/2)-2/9*(2*x-1)/(x2-x+1)I2 =x*atan(
8、z)I3 =1/2*atan(z)*(b2-a2)I4 =1/4I5 = exp(t) 1/alpha*exp(alpha*t)问题 127： 输入 I6=int(exp(-y2)+log(y)110)结果较复杂怎么办？ （这时常用 eval 命令进一步求数值解）I6=1/2*pi(1/2)*erf(10)+10*log(2)+10*log(5)-9-1/2*pi(1/2)*erf(1)I61=eval(16)I61=14.16535泰勒级数展开格式：taylor(f) %求出符号函数 f 在 x=0 处的阶麦克劳林年型泰勒展开式Taylor(fnva) %求出符号函数 f 的在 v=a 点的
9、 n-1 阶泰勒展开式【例 1.67】syms a xf=a/(x-10);y1=taylor(fx3) %求 f 在 x=0 处的阶泰勒展开式计算结果为：y1=-1/10*a-1/100*a*x-1/1000*a*x2y2=-1/6*a-1/36*a*(x-4)-1/216*a*(x-4)26. 傅里叶级数展开TALAB 中没有专门用于傅里叶级数展开的命令可编一个函数文件实现Function a0anbn=mfourier(f)Syms n xa0=int(f-pipi)/pi;an=int(f*cos(n*x)-pipi)/pi;bn=int(f*sin(n*x)-pipi)/pi;【例
10、1.68】syms xf=x2+x;a0anbn=mfourier(f)计算结果为：a0 =2/3*pi2an =2*(n2*pi2*sin(pi*n)-a*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)/n3/pibn =-2*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n)/n2/pi进一步化简：an=simple(an)%结果为 2/n*pi*sin(pi*n)-4/pi/n3*sin(pi*n)+4/n2*cos(pi*n)bn=simple(bn)%结果为 2/pi/n2*sin(pi*n)-a/n*cos(pi*n)再经手工化简不难得到 an=4*(-1)n/n2bn=2
11、*(-1)(n-1)/n三、练习和思考 求下列函数的极限y=(1+x)1/x 在 x=0 处的极限值；y=ln2x/x3 在 x 趋向于正无穷的极限值 求下列函数的导数y=x3 +4x2 +8y=ax4+blogxf=ma2-na2+mn (对 a 求 2 阶导数) 用多种方法求下列积分比较它们的结果 求下列函数的泰勒展开式y=e-2x x=0 处 6 阶麦克劳林型泰勒展开式y=x/sinx x=2 处 10 阶泰勒展开式 求下列函数的傅里叶展开式y=xy=sin2x2四、提高内容1 积分限均分为常数的二重积分格式： q=dblquad(funxminxmaxyminymax).q=dblqu
12、ad(funxminxmaxyminymaxtol) %指定精度 tol.说明：调用函数 quad 在区域xminxmaxyminymax上计算二元函数 z=f(xy)的二重积分其中内外积分限为数值【例 1.69】fun=inline(y./sin(x)+x.*exp(y);%建立二元函数fun=Q=dblquad(fun1357)计算结果为:Q=3.83119e+0032. 内积分限为函数的二重积分方法一:q=int(int(funvar1inlowerinupper)var2outminoutmax).说明:在由inlowerinupperoutminoutmax指定的区域上计算二元函数
13、z=f(var1var2)的二重积分其中内积分限 inlowerinupper 为变量 var2 的函数funinlowerinupper 是字母串表达式或符号表达式.【例 1.70】 计算单位圆域上的积分:I=先把二重积分转化为二次积分的形式:I=syms x yf=exp(-x2/2)*sin(x2+y);xlower=-sqrt(1-y2);xupper=sqrt(1-y2);Q=int(int(fxxlowerxupper)y-11);vpa(Q6)计算结果为:Q=0.536860方法二:在 6.x 版本编制如下函数文件实现二重积分fun 为被积函数inlowerinupoutlowo
14、utup 积分内外限.dint.mfunction SS=dint(funinlowinupoutlowoutup)y1=outlow;y2=outup;x1=inlow;x2=inup;f_p=funSS=quad(G_yiy1y2x1x2f_p);G_yi.mfunction f= G_yi(yx1x2f_p)y=y(:);n=length(y);if isnumerric(x1)=1;xx1=x1*ones(size(y);else xx1=feval(x1y);endif isnumerric(x2)=1;xx2=x2*ones(size(y);else xx2=feval(x2y);endfor i=1:nf(i)=quad(f_pxx1(i)xx2(i)y(i);endf=f(:);【例 1.71】 计算 I=.解:先编制别数文件x_low.m.function f=x_low(y)f=sqrt(y);再在命令窗口运行如下命令:ff=inline(x.2+y.2xy)SS=dint(ffx_low214)SS=9058103.积分限均为常数的三重积分格式:triplequad(funxminxmaxyminymaxzminzmax). 43第一章 MATLAB 软件操作实验
