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1、第七章 动力学问题的有限元法 第七章 动力学问题的有限元法 结构动力学是研究动载荷作用下结构动力反应规律的学科，讨论结构在动力荷载作用下反应的 分析方法，寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系。研究结构在动力荷载 作用下的反应规律，能够为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。 前面介绍的静力学问题的研究对象是受不随时间变化的载荷作用。而动力学问题的对象受随时 间而变的载荷的作用，从而使在结构中产生的位移、速度、应力和应变都随时间而变。当结构受随 时间变化的载荷作用，且这种载荷的作用对结构的变形和应力的产生起主要作用，以致影响设备的 安全性，或舒适性。这时就要进行动力学分
2、析，充分认识其规律性，从设计阶段就抑制这种不利状 况的发生。例如，有时虽然动载荷不大，但结构在交变力的作用下，其某些固有频率与激励力的作 用频率相接近时，就会引起很大的振动、变形或应力，这时，就必须对结构作动力学分析。又如， 要利用结构在周期性作用力驱动下的定向振动，例如利用这种运动输送产品，这时，就必须巧妙地 设计结构，使其具有某些与激励频率一致的固有频率，并且使结构对激励具有适当的响应能力。总 之，不管是利用振动，还是抑制振动，都需要进行结构动力学分析。 当前结构动力学的研究内容有三类。第一类问题：反应分析（结构动力计算） ，第二类问题：参 数（或称系统）识别，第三类问题：荷载识别。第一类
3、问题是已知系统动态特性和动载荷作用部位 及大小，求出系统的响应随时间变化的位移，速度，加速度和应力等。第二类问题是已知系统 的输入输出特性，分析系统固有的动态特性，结构模态分析就属于这一类问题。第三类问题是在已 知系统动态特性的条件下, 通过测量系统的响应,或由响应准则预先给出响应要求, 以此识别对响 应的外载荷。三类结构动力学研究内容的载荷、结构和响应之间的关系如图 7-1 所示。动载荷种类 大致分类如图 7-2 所示。 图7-1 结构动力学研究的内容图 7-2 动载荷种类 1本章主要介绍结构动力学分析的基础知识，并主要介绍系统固有特性的有限元分析方法有 限元模态分析。主要知识点： 1. 导
4、出有限元的结构动力学方程和模态分析有限元方程。 2. 介绍模态分析方程中质量矩阵与阻尼矩阵的计算。 3. 把计算结构的固有频率与振型的问题归纳为一个求特征值的问题。 7.1结构动力学方程及有限元方程 7.1结构动力学方程及有限元方程 系统的受迫振动的微分方程：m( )xcxkxR t+=? 其中：质量，阻尼系数，弹性系数。mck, ,x x x? ?分别为加速度，速度和位移。 1. 单元的动力方程： （用“虚功原理”求解） 结构动力学有限元分析与静力学的有限元分析一样，首先要建立单元的有限元方程。为求解起 见，要引入达朗贝尔原理。质点的达朗贝尔原理可表述为：当非自由质点运动时，主动力，约束反力
5、和惯性力构成一个动平衡力系。惯性力是一种虚构的力，由质点的加速度引起。 mF NS即： 0fns+=现考察单元的动力学方程的建立。 1). 准备工作：将位移函数 表达成近似函数。 单元内任一点位移 ( , , )( )eNN x y z=et， 是单元内位移的近似函数,这儿 N只是位置的函数，与时间无关。而 e与时间相关。 ( , , )( )eeNN x y zt= eeNN=?2). 分析单元上的作用力。 图 7-3 单元分析 主动力：集中力，面力，体积力： psRRRRV=+ 阻尼力：与速度相关，并与速度方向相反，两者的比例关系为阻尼系数： ceRCC N= = ?2惯性力：与加速度，质
6、量相关：单位体积惯性力 meRN = = ?,阻尼力、惯性力与主动力方向相反。密度，单位体积质量。 3). 建立动力学平衡方程： 利用虚功原理和达朗贝尔原理，系统处于动平衡，首先将载荷移置到节点上去。利用虚功原理。 外力做的虚功： 11* 11*TeTT ppTeTT SsSsTeTT VVVVTeTT VCVCTeTT VmVmRNRRdSNRdSWRdVNRdVNRdVRdVNRdV= = = = = 集中力：面力：体积力：阻尼力：惯性力：RdV 内力做的虚功： *TeTTe VVUdVBDB=dV0虚功原理：()WUWU=，最小势能原理 根据虚功原理，应有 WU= 1* 1*eTeTeT
7、TTpSsVVeTeTeTTTTe VCVmVNRNRdSNRdVNRdVNRdVBDBdV+= 由 *eT的任意性，可约去， 且由阻尼力，惯性力的定义可知： cmeeRCC NRN = = = = ?，代入上式， 有 11TTT pSsVVeeTTTe VVVNRNRdSNRdVBDBdVC NNdVNNdV+=+ ?=eRi令： 11TTTe pSsVVTe VTe VTeVNRNRdSNRdVRKBDB dVcC NN dVmNN dV+ = = 上式可表达为： ，这就是单元的动力学有限元方程。 eeemcK?+=+=2. 结构整体动力学有限元方程 与静力学的集成原理相同：根据 局部单元
8、节点编号与整体的节点编号的对应关系， 利用 ， 即一个节点上的节点力是该节点所在的所有单元的相应节点（同这个节点）上的节点力的总和来集成。 ee i iRR=3位移唯一性。得 MCK+=?R eMm=， ， eCc= eKk=其中，当 0C =，称为无阻尼受迫振动，此时 MKR+=?当 0,0CR=，称为无阻尼自由振动，此时 0MK+=?7.2 单元质量矩阵和阻尼矩阵的表达式7.2 单元质量矩阵和阻尼矩阵的表达式 在动力学有限元方程中除刚度矩阵之外，还有两个重要的系数矩阵：即质量矩阵和阻尼矩阵。 这一节中将介绍单元质量矩阵和单元阻尼矩阵的表达式。 一. 单元质量矩阵 单元质量矩阵有二种表达形式
9、：一致质量矩阵和集中（堆积）质量矩阵。 1. 一致质量矩阵： 用公式 计算的单元质量矩阵，称为一致质量矩阵，是因其中的 Te VmNN=dVN就是位移模式形函数 N而得名。或者说，推导质量矩阵采用的形函数与采用推导单元刚度矩阵时采用的形函数是一致的。 以平面应力问题为例：三角单元， ijmNNININI=m（位移模式中的 0 0 00 0 0 ijmijNNNNNNN= N） 图 7.3 三节点三角形单元 则三角形单元的一致质量矩阵 em： （以单位厚度计） ii22 jj2 j0 N 0 N 0N 0 0 N 0 0 N 0 0 jmijmijmeTijNNNNNNNNmN NdxdyNN=
10、 ?j2 mm2 mmNN 0 N 0 0 0 N 0 N 0 mijmijmdxdyNNNNNNN ?由于m，利用数值积分： 2 iNii0 0 N 0 N ,iijjmNL NLNL=4! ! !2(2)abc ijma b cL L L dxdyabc=!+ ?，有22!2 4!6 2 (1 12)!12iijN dxdyN N dxdy=+ +从而得到 20 2 1 0 212 0 1 0 21 0 1 0 20 1 0 1 0 2em = 对称2. 集中质量矩阵： 将单元质量假想地集中到节点上去，也就是说只在节点上有质量。这样，一个节点的加速度就 不会影响其它节点的惯性力（相互之间不
11、受影响） 具体处理方法是将质量平均分到所有节点上去。例如三角形三个节点单元，每个节点分到 1/3的质量，即1m3it= , t为厚度，为三角形面积。 111 11 111 1331 11 1ewmt = 资料表明，集中质量矩阵计算出来的频率与一致质量矩阵的计算结果相差无几。在单元相同的情 况下，集中质量矩阵计算的结果低于一致质量矩阵的计算频率，而振型则是一致质量矩阵的计算结 果精确。由于集中质量矩阵式对角线矩阵，所以计算中常采用。 3.附加质量 当有附加的质量在节点上时，要在计算整体质量矩阵时，加上这些附加质量cm 即 ecMmm=+二. 单元阻尼矩阵 根据阻尼的成因可以分为粘滞阻尼和结构阻尼
12、。 1 粘滞阻尼（比例阻尼） 前面得到的阻尼矩阵 是将阻尼看作是正比于节点的运动速度， 称为粘滞阻尼。它消耗振动的动能（能量） 。从 可知，这个阻尼矩阵与质量矩阵成正比。 TeCC NN d=VdVeTmN N= ee CCm=， /Cc=如果,c均为常数的话。 所以称为比例阻尼。 （相对于质量矩阵而言） NTeCC Nd=V2结构阻尼 比例于结构的变形速度 ?，由于材料内部的摩擦引起的，称为结构阻尼。这时的阻尼力可以简5化为 cRD=?，这样可得到单元的结构阻尼矩阵使其具有 的形式，所以结构阻尼正比于刚度矩阵： BeT kCCBDd=V ee kCk=3Rayleigh 阻尼 在实际分析中， 精确决定阻尼矩阵是相当困难的， 通常允许将整体阻尼矩阵简化为质量矩阵M和刚度矩阵 K的线性组合，这样可用来解耦有阻尼的振动方程。 M +KC=，称为 Rayleigh 阻尼。 其中j22i 222(-)2(-)iji i
