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1、动量矩定理作业参考答案及解答动量矩定理作业参考答案及解答 1如题图所示，均质细圆环质量为 m1，半径为 R，其上固接一质量为 m2的均质细杆 AB，系统在铅垂面以角速度 绕 O 轴转动，已知CAB=60，分别计算系统对轴 O 和轴 C 的动量矩。 ARBCO解: 先计算系统对轴先计算系统对轴 O 的动量矩的动量矩。 环对其质心的转动惯量 2 11RmJC= 由转动惯量的平行移轴定理，环对转轴点O的转动惯量 2 112 112RmJRmJCO=+= 杆对其质心 2 22121RmJC= 由转动惯量的平行移轴定理，杆对转轴点O的转动惯量 2 222)23(RRmJJCO+=)3611(222mmR
2、+ 所以 2 22121)36112(RmmmJJJOOO+=+= 对轴O的动量矩为 =OOJL)36112(2212mmmR+ 再计算系统对轴再计算系统对轴 C 的动量矩的动量矩。 环对其质心动量矩为 2 111RmJLCC= 点C不是杆AB的质心，故杆AB对轴C的动量矩为 )23 65(23)231 (12)(2 222 2 2222+=+=+=RmRRmRmvmMJLCCCC系统对轴C的动量矩为 )23 65(2212 21mmmRLLLCCC+=+= 答案：)36112(2212mmmRLO+= ； )23 65(2212mmmRLC+= vC2C2(C1)vC12行星齿轮机构如题图所
3、示，齿轮D固定，轮心为A；行星齿轮B质量为m1，半径为R，对质心B的回转半径为 ；曲柄AB可看作均质细杆，其质量为m2，长为l 。当杆AB以 转动时，求系统对轴A的动量矩。 提示：本题主要工作是齿轮 B 对轴 A 的动量矩计算。齿轮 B 作平面运动，先求出齿轮 B 的 角速度，根据平面运动刚体对轴的动量矩的计算式计算。注意各项的正负号。 解: 先计算系统对轴 先计算系统对轴 A 的动量矩的动量矩。 ABD对杆分析，杆对轴A 的动量矩 2 2131RmLA= 对轮分析 lRB= RlB= (顺时针) 齿轮对轮心B的动量矩为 RlmmLBB212 1= 齿轮对轴A的动量矩为 2 12lmLLBA+
4、= 系统对轴A的动量矩为 =+=21AAALLL)3(2 12 12 2 Rlmlmlm+ 再计算系统对轴再计算系统对轴 B 的动量矩的动量矩。 杆AB对轴B的动量矩为 62212)(2 222 2 21lmlmllmvmMJLCBCB=+= 齿轮对轮心B的动量矩为 RlmmLBB212 11= 系统对轴B的动量矩 )6(2 12 2 21RlmlmLLLBBB+=+= 这里负号表示动量矩转向顺时针 答案：)3(2 12 12 2 RlmlmlmLA+=； )6(2 12 2 RlmlmLB+= vBBvCC3均质水平圆盘重为P1，半径为r，可绕通过其中心O的铅垂轴旋转。一重为P2的人按AB=
5、s=2 21at的规律沿盘缘行走。设开始时圆盘是静止的，求圆盘的角速度及角加速度。 ABOr提示：整个系统对轴O的动量矩守恒。注意人按AB=s=2 21at的规律沿盘缘行走是指相对运动规律。 解: 以整个系统为研究对象，由于= 0)(FOM，故整个系统对轴O的动量矩守恒。 人相对圆盘的速度大小为 atvdtds=r人绝对速度的大小为 atrdtdsrv=a整个系统对轴O的动量矩守恒 0)(21212 21=+=+=atrrgp gprLLLO 解得 )2(2,)2(2122122 PPraP dtd PPrtaP +=+= 答案：)2(2,)2(2122122 PPraP PPrtaP +=+
6、= 4如题图所示，均质细圆环的质量为m，半径为r，C为质心。圆环在铅垂平面 内，可绕位于圆环周缘的光滑固定轴O转动。圆环于OC水平时，由静止释放， 求释放瞬时圆环的角加速度及轴承O的反力。 COr提示：先用刚体定轴转动微分方程求出角加速度，然后用质心运动定理求轴承O 的反力。 解： 圆环对轴O的转动惯量为 22mrJO= 由定轴转动微分方程 =)(FOOMJ 得 mgrmr=22 )(2顺时针rg= 再用质心运动定理 0 :=OxFx 2:mgmrmgFyOy= 解得 )( 21=mgFOy 答案：)( 21, 0 ),(2=mgFFrgOyOx顺时针 OCFOx FOymg5重物 A 质量为
7、 m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮 D，并绕在鼓轮 B 上，如题图 8 所示。由于重物下降，带动了轮 C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为 r，轮 C 的半径为 R，两者固连在一起，总质量为 m2，对于其水平轴 O 的回转半径为 。求轮 C 的角加速度。 DBORAr提示：分别取物块 A 和轮 C 为研究对象，分别用质心运动定理和刚体平面运动 微分方程列出相应的方程式，考虑到运动学关系 )(,rRaARaOAO+=的加速度物块的加速度轮心 1） 取鼓轮和轮一起为研究对象， 鼓轮和轮一起做平面运动， 设轮 C 受到的摩擦 力为 Ff，绳子受到的拉力为 FT，受力如图 分别用质
8、心运动定理和刚体平面运动微分方程得 组合轮 O T22 2fT2 2fT2 )()( FRrRmJRFrFmJFFamDOO +=+=或重物 A T11FgmamA= 将运动学关系)(,rRaRaAO+=代入上述动力学方程解得 2222 11 )()()( mRrRmgmrR += 答案：2222 11 )()()( mRrRmgmrR += FN Ffm2gFT O AFTm1gaAaOD 6. 一均质杆 AB 质量为 m ，长为 l ，其两端由两条等长的绳子系住在水平 位置平衡，如图所示。如右边绳子突然被剪断，试求绳子突然被剪断瞬时另一根 绳子的张力和杆的角加速度。 如将两条等长的绳子换成
9、刚度系数为 k 的弹簧，试 求右边弹簧被突然去掉瞬时杆的角加速度。 解解: 绳子突然被剪断瞬时，其受力和运动学图见右下。绳子突然被剪断瞬时，其受力和运动学图见右下。 由刚体平面运动微分方程得 43 12, 23, 22lFmlJmgFmaFmaCCyCx= 由于此为二自由度系统，故 , , CyCxaa之间必存在一运动学关系。 以点 A 为基点，质心 C 为动点，有运动学关系 t CAACyCxaaaa+=+得 2,21, 23ttlaaaaaaCACAACyACx= 或消去Aa有 laaaCACyCx2333t=+ 将此运动学关系与前面的动力学方程联立解之得 mgFlg 1332, 1318= 当将绳子换成刚度系数为当将绳子换成刚度系数为k的弹簧时，的弹簧时， 由于右边弹簧被突然去掉瞬时， 左边弹簧 的拉力与未去掉前相同，即 mgF33=，由412432lmgmllFJC= 得 lg3=C o60o60O ABFo60 ABCPxyo60 ABCAa t CAaAa
