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1、 寒假特训营数学讲义答案 1 第四章 常微分方程 典型例题 典型例题 一、一阶微分方程求解 例 4.1 求解下列一阶微分方程 (1) xyxyy=+122(2) xyyyx2=+ (3) tancosyyxx+= 解（1） )1)(1 (2xyy+= dxxydy)1 (12=+cxxxy+=21arctan （2） xy xyy2=+ 令xyu =，xuy =， uudxduxu2=+ xdxuudu= )(2cxyx= （3）解 tancosyyxx+= tantanln cosln coscoscosxdxxdxxxyex edxCex edxC=+=+coscoscosxxdxCx=+
2、 , 当cos0x 时,()cos1cosyxdxCxCx=+=+； 当cos0x a 解 齐次方程特征方程为022=+ a 特征根为 ai= 1 ） 若1a， 则 非 齐 次 特 定 特 解 为xBxAysincos*+=代 入 原 方 程 得11, 02=aBA， 则原方程通解为xaaxcaxcysin11sincos221+=. 2）若1=a，则非齐次方程待定特解为 )sincos(*xBxAxy+= 代入原方程得 21=A，0=B 则原方程通解为，xxxcxcycos21sincos21+= axCaxCxayasincossin11, 1212+= xCxCxxyasincoscos
3、21, 121+= 例 4.16 设线性无关的函数321,yyy都是方程)()()(xfyxqyxpy=+ 的解，21,CC为任意常数，则该非齐次方程通解是 ( ) (A)332211yCyCyC+ (B)3212211)(yCCyCyC+ (C)3212211)1 (yCCyCyC+ (D)3212211)1 (yCCyCyC+ 解 应选(C) 根据非齐次线性方程组解的性质与结构(A)(B)(D)中无非齐次方程特解，故排除 例 4.17 设2 13yx=+,2 23xyxe=+是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相寒假特训营数学讲义答案 8 应的齐次方程有一个解为3yx=,则该方程的通解
4、为 . 解 根据叠加原理,21xyye=是相应齐次方程的另一个特解,且与3yx=线性无关,所以原方程的通解为2 123xyxc xc e=+. 例 4.18 已知xxxxxxxeexeyexeyexey+=+=2 322 1,为某二阶线性常系数非齐次方程的特解，求此方程. 解 xeyy=13为齐次的解. xxxeey=+ 2为非齐次解. xxexey2 1=为齐次解. 则齐次方程特征方程为0)2)(1(=+ 即 022= 则齐次方程为 02= yyy 设所求的二阶线性非齐次方程为 )(2xfyyy= 将xxey =代入该方程得 )21 ()(xexfx=. 故所求方程为 )21 (2xeyyy
5、x= 例 4.19 设( )yy x=是二阶常系数微分方程3xypyqye+=满足初始条件 ( )( )000yy=的特解,则当0x时,函数() ( )2ln 1xy x+ 的极限 ( ) (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于2 (D) 等于3 答案 （C） 解 由题设知( )( )( ),y xyxyx连续,且 ()300limlim1xxxypyqye +=,( )( )000yy=,所以 0lim1 xy =, 从而 () ( )( )( )( )220000ln 122limlimlimlim2 xxxxxxx y xy xyxyx+=. 例 4.20 设)(xf=xsinxd
6、ttftx 0)()(,其中)(xf为连续函数.求)(xf 寒假特训营数学讲义答案 9 解 +=xxdtttfdttfxxxf 00)()(sin)( （1） =xdttfxxf 0)(cos)( （2） )(sin)(xfxxf= 即 xxfxfsin)()(=+ （3） 由（1）式知0)0(=f，由（2）式知1)0(= f. 非齐次方程（3）对应的齐次方程特征方程为 012=+， i= 设方程（3）的待定特解为)sincos(xbxaxf+=，代入（3）式得0,21=ba. 则方程（3）的通解为xxxcxcxfcos21sincos)(21+= 由0)0(=f和1)0(= f可得，01=c
7、，212=c， 则 xxxxfcos2sin21)(+= 0,21),sincos(,sin)()(=+=+ baxbxaxyxxfxf xxxxfCCxxxCxCxfcos2sin21)(,21, 0,cos21sincos)(2121+=+= 例 4.21 设)(xf有连续一阶导数，),()()(2yxdudyyxfdxxyfxy=+求)(xf及),(yxu，其中. 1)0(=f 解 由题设知 )()(xfxfx= 即 xxfxf=+)()( xcexxf+=) 1()( 由1)0(=f知，0=c，1)(= xxf dyyxydxyxdu) 1(),(2+= cyxyyxu+=3 31)
8、1(),(. 四、微分方程的应用 例4.22曲线( )yy x=经过原点且在原点处的切线与直线26xy+=平行,而( )yy x=满寒假特训营数学讲义答案 10 足方程250yyy+=,则此曲线的方程为 . 解 其特征方程为2250rr+=,解得1,212ri= ,故250yyy+=的通解为 ()12cos2sin2xyecxcx=+. 因曲线( )yy x=经过原点且在原点处的切线与直线26xy+=平行,故( )00y=, ( )02y= ,代入通解中得120,1cc= ,故sin2xyex= . 例 4.23 设曲线)(xfy =为连续)0 , 1 (A与) 1 , 0(B的弧段且位于弦A
9、B的上方(如右图),),(yxP 为其上任意一点,弦BP与该曲线围成的面积为3x,试求该曲线方程. 解 +=xxfxdttfx 03)(1 2)( xxyxy161=，162+=xCxy，1652+=xxy 例 4.24 设对任意0x，曲线)(xfy=上点)(,(xfx处的切线在y轴上的截距等于x1xdttf 0)(，求)(xf. 解 曲线)(xfy=在点)(,.(xfx处的切线方程为 )()(xXxfxfY= 令0=X得)()(xf xxfY=， 于是 =xdttfxxf xxf 0)(2)()( 即 =xdttfxfxxxf 02)()()( )()()(2)()(2xfxfxxf xxf
10、 xxf= + 0)()(=+ xfxf x 0) )(=xf x， 1)(cxf x=，xcxf1)(= 21ln)(cxcxf+= 五、差分方程 例 4.25 已知3t tye=是差分方程11t ttyaye+=的一个特解,则a= . 寒假特训营数学讲义答案 11 解 由()()111 113333t ttttt ttyeyayeaeeeaee+ +=+=+=+=, 得31aee+=,故1 3aee=. 例 4.26 方程134ttyy= 的一般解为 ( ) (A) 32t tyC=+ (B) 32t ty = (C)()32t tyC= (D) 32t tyC= 答案 (A) 解 因为
11、B 无自由常数,故可排除 B.因其对应的齐次方程的通解为 ()3ttyCaC=,故排除 C.因()23244 = ,故排除 D. 第五章 多元函数微分学 第一节 极限、连续、偏导数、全微分 典型例题 典型例题 例 5.1 求下列极限 (1) 22220011limyxyxyx+(2) 42200)sin(limyxxyxyyx+(3) () ()()(),0,01 1lim1 x yxxyx + 解：(1)方法 1 将分子有理化 原式. 0)(2lim ) 11)(lim22220022222200=+= += yxyxyxyxyxyx yx. 方法 2 当0x，0y时，2222 2111yx
12、yx+，则 原式0)(21lim222200=+=yxyxyx. 寒假特训营数学讲义答案 12 (2)方法 1 由于21422 +yxxy，即为有界量，而0sinlim 0= xy x，即为无穷小量，则原式0=. 方法 2 由于0sin21sin0422 +xyyxxyxy（当0x，0y时） ， 由夹逼原理知0sinlim42200=+yxxyxyyx. (3) () ()()() () ()() (),0,0,0,0ln 1111lim1lim x yx yxxxyxxyxe +=, 而 ()()() ()()()()()(),0,0,0,0,0,0ln 1ln 11limlimlim111
13、x yx yx yxx xxyxxy+=+i,所以原式为e. 例 5.2 证明2240 0lim x yxy xy +不存在 证明：取直线kxy=，则 01limlimlim24204423204220=+=+=+ =xkxk xkxxk yxxyxx xkxy. 若沿过原点的抛物线2yx =趋于)0 , 0(点时，就有 21limlim444042202=+=+ =yyy yxxyy yyx. 故 极限42200limyxxyyx+不存在. 二、讨论连续性、可导性、可微性 例 5.3 考虑二元函数(),f x y的下面 4 条性质： (),f x y在点()00,xy处连续； (),f x y在点()00,xy处的两个偏导数连续； (),f x y在点()00,xy处可微； (),f x y在点()00,xy处的两个偏导数存在. 若用“PQ表示可由性质P推出性质Q,则有 ( ) （A） （B） （C） （D） 答案 (A) 寒假特训营数学讲义答案 13 例 5.4 设函数( , )f x y在点()00,P xy的两个偏导数
