现代信号处理第二章：随机信号的累积量谱(1)

《现代信号处理第二章：随机信号的累积量谱(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代信号处理第二章：随机信号的累积量谱(1)（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、研究生课程：现代信号处理高阶统计量分析 课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学 第二章 随机信号的累积量谱 2.1 引言 本章主要讨论平稳随机过程的矩和累积量以及矩谱和累积量谱的定义和性质。 虽然随机信号在每一时刻的取值不能确切知道，但他们的高阶统计量（矩和累积量）如果存在的话，是多维确定性函数，并具有特殊的对称性。本章首先定义一组随机变量的矩，并建立他们之间的关系。然后，介绍平稳随机过程的矩谱和累积量谱的定义和性质。讨论线性非高斯过程的累积量谱以及他们与非线性过程的累积量谱之间的相似与差异。本章的主要目的是介绍与多谱相关的所有重要的定义和性质，他们在随机信号处理

2、方法的应用中将是非常有用的。 2.2 矩和累积量 2.2.1 定义 给定一组 n 个实随机变量，它们的,21nxxx12nrkkk阶的联合矩定义为： 02121212121212121),()(,nnnnk nkknr rk nkkk nkkjxxxExxxMom（2.1） 其中)(exp(),(221121nnnxxxjE为它们的联合特征函数（Joint Characteristic Function） ，E表示取数学期望运算。 例：对于两个随机变量x1,x ，有二阶矩 2Momx1,x =Ex1,x 互相关 22Momx =Ex 均方值 2 12 1Momx =Ex 均方值 2 22 2第

3、二特征函数定义为 ,(ln),(2121nn（2.2） 同一组随机变量的 r 阶联合累积量 （Joint Cumulant） 或半不变量 （semi-invariants） 定义为第二特征函数关于零点的Taylor级数展开的系数，即 ,21 21nk nkkxxxCum授课教师：姬红兵教授 更新日期 2010 年 4 月 1 日 4研究生课程：现代信号处理高阶统计量分析 课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学 授课教师：姬红兵教授 更新日期 2010 年 4 月 1 日 502121 21212121),( )(,nnn k nkknr rk nkkjxxxC

4、um （2.3） 因此，联合累积量可以用联合矩表示。 例如，随机变量x1的矩 111xExMomm ,2 1112xExxMomm,3 11113xExxxMomm ,4 111114xExxxxMomm可以与其累积量相联系： 111mxCumc 2 12112,mmxxCumc3 1123111323,mmmmxxxCumc 22 411114312211 ,43126cCum x x x xmm mmm mm4 (2.4) 上述关系的证明可将下式 kk mkjmmj!)( ! 21)(1 22 1 111 代入到（2.1） ， （2.2） ， （2.3）式，并在零点取微分得到。 如果，即零

5、均值变量，则有011 mxE22mc ，33mc ，。2 2443mmc例2.1 考虑图2.1所示的3个对称概率密度函数pdf，即Laplace分布、Gaussian分布和均匀分布，他们的n阶矩（4 , 3 , 2 , 1n）可以用下式计算 dxxfxmn n)( 其中为x的概率密度函数pdf。 )(xf由（2.1）式可计算特征函数 dxxfxj)()exp()(其累积量可用（2.4）式计算。 4 , 3 , 2 , 1,ncnLaplace 分布分布：)exp(5 . 0)(xxf )(xfx0n mn cn 1 0 0 2 2 2 3 0 0 4 24 12 研究生课程：现代信号处理高阶统

6、计量分析 课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学 Gaussian分布： 2222exp 25 . 0)(xxf n mn cn 1 0 0 2 2 2 3 0 0 4 340 )(xfx0均匀分布： n mn cn 1 0 0 2 32c32c3 0 0 4 54c1524c )(xfx0ccc21图2.1 三种对称分布pdf 的n阶矩和累积量 由图2.1可以看出： 1对于对称pdf，所有n为奇数的mn和cn均为零； 2对于Gaussian分布，所有n2的累积量cn均为零。 例2.2 图2.2示出三个非对称pdf，即指数分布，瑞利分布以及n=1,2,3,4阶矩。

7、 指数分布：)()exp()(xuxxf n mn cn 1 112 22213 36 324 42446 )(xfx0授课教师：姬红兵教授 更新日期 2010 年 4 月 1 日 6研究生课程：现代信号处理高阶统计量分析 课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学 瑞利分布：)()2exp()(222 xuxxxf n mn cn 1 2 2 2 22 2)22( 3 233233 4 48 83122124)(xfx0图2.2 三种非对称分布pdf 的n阶矩和累积量 可以看出，对于具有非对称pdf的随机过程，其各阶矩和累积量均不为零。 2.1.2 矩和累积量的关

8、系 随机变量的矩和联合累积量的关系如下 ,21nxxx )!1() 1(,211 21psii sii siip nxExExEpxxxcum (2.5) 其中，求和是对整数集的所有的划分子集,进行，p为划分子集数。上式简称为C-M公式。 ), 2 , 1 (n),(21psssnp, 2 , 1例如，整数集可划分为如下子集 )3 , 2 , 1 (1p3 , 2 , 11s2p11s3 , 22s21s3 , 12s31s2 , 12s3p11s22s33s则(2.5)式变为 2,321213312321321321 xExExExxExExxExExxExExxxExxxcum(2.6)

9、显然，若可得(2.4)式的。 321xxx3c同样，对于可得 ,4321xxxx,4321xxxxcum授课教师：姬红兵教授 更新日期 2010 年 4 月 1 日 7研究生课程：现代信号处理高阶统计量分析 课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学 授课教师：姬红兵教授 更新日期 2010 年 4 月 1 日 86222222,4321413221433142324142314321321442134312432132414231432143214321xExExExExExExxExExExxExExExxExExExxExExExxExExExxExxxEx

10、ExxxExExxxExExxxExExxExxExxExxExxExxExxxxExxxxcum(2.7) 对于零均值随机变量,即,4321xxxx4 , 3 , 2 , 1, 0ixEi，则(2.7)式简化为著名的关系式 ,32414231432143214321 xxExxExxExxExxExxExxxxExxxxcum(2.8) 对于高斯过程有0,4321xxxxcum，则有 1234123413241423 E x x x xE x x E x xE x x E x xE x x E x x (2.5)式意味着计算r阶累积量需要直到r阶的所有矩。 2.2.3 矩和累积量的性质 性质

11、1： ,1212211nnnnxxMomaaaxaxaxaMom ,1212211nnnnxxCumaaaxaxaxaCum 其中为常数 ),(1naa性质2：矩和累积量是关于它们变量的对称函数，例如 ,123312321xxxMomxxxMomxxxMom ,123312321xxxCumxxxCumxxxCum等 这意味着可以任意交换累积量的变量而累积量的值保持不变。 性质3： 如果随机变量可以分为互相统计独立的两组或多组， 则它们的阶累积量为零，即 ,21nxxxn0,4321xxxxcum 而一般情况下 0,4321xxxxMom 例如，如果两独立组为和，则他们的联合特征函数为,21x

12、xx),21,21nxxx),21n(),(2121n。另一方面，第二特征函数研究生课程：现代信号处理高阶统计量分析 课程编号：0211007（博）0221023（硕） 西安电子科技大学 为),(),(),( 21221121nn， 将),( 21n和),(21ni分别代入(2.3)和(2.1)式，并对求偏导，即可证得。 性质4：如果随机变量集和独立，则累积量具有“半不变性” ，即 ,21nxxx,21nyyy,212211nnnxxxCumyxyxyxCum,21nyyyCum,)(,1221111nnn MomxxMomyxyxEyxyxMom累积量由此而得名，同时，累积量也称为“半不变量” （semi-invariant） 。 而一般情况下，高阶矩不具有“半不变性” ，即 ,(1n yx,)nn yy,211nxxxy,21211nnCumxxxCumxxyxCum结论：如果一非高斯信号是在与之独立的加性高斯噪声中被观测的话，那么观测过程的高阶累积量将与非高斯过程的高阶累积量相等。 然而，对于随机变量，有 ,1xy,2nx和 ,1y,21211nnMomxxxMomxxyxMom,2nxx性质5：如果随机变量集是联合高斯的，则关于他们分布的所有信息包含在阶矩中。因此，所有阶的矩不会提供新信息。这导致以下事实，对于高斯随机矢量，所有阶的联合累积