数学高考基础知识

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1、数学高考基础知识数学高考基础知识数学高考基础知识、常见结论详解 一、集合与简易逻辑： 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性：如： ， ，求 ； （2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ； ； （5）空集是指不含任何元素的集合。 （ 、 和 的区别；0 与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为 ，

2、在讨论的时候不要遗忘了 的情况。 如： ，如果 ，求 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2） ； ； （3）对于任意集合 ，则： ； ； ； ； ； ； ； ； ； （4）若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 ； 若 被 3 除余 0，则 ；若 被 3 除余 1，则 ；若 被 3 除余 2，则 ； 三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的

3、个数是 。 （2） 中元素的个数的计算公式为： ； （3）韦恩图的运用： 四、 满足条件 ， 满足条件 ， 若 ；则 是 的充分非必要条件 ； 若 ；则 是 的必要非充分条件 ； 若 ；则 是 的充要条件 ； 若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ； 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ； 注意：“若 ，则 ”在解题中的运用， 如：“ ”是“ ”的 条件。 六、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾

4、；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至多” 、“唯一”等字眼时。 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个 否定 二、函数 一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念： 如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。 函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 二、函数的三要素： ， ， 。 相同函数的判断方法： ； (两点必须同时具备) （1

5、）函数解析式的求法： 定义法（拼凑）：换元法：待定系数法：赋值法： （2）函数定义域的求法： ，则 ； 则 ； ，则 ； 如： ，则 ； 含参问题的定义域要分类讨论； 如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。 对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为 20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ；定义域为 。 （3）函数值域的求法： 配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； 逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； 换元法：通过变量

6、代换转化为能求值域的函数，化归思想； 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。求下列函数的值域： （2 种方法） ； （2 种方法） ； （2 种方法） ； 三、函数的性质： 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较） 导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 奇偶性：

7、定义：注意区间是否关于原点对称，比较 f(x) 与 f(-x)的关系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 周期性：定义：若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足：f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。 其他：若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足：f(x+a)=f(xa),则2a 为函数 f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基

8、本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换 y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（）有系数，要先提取系数。如：把函数 yf(2x)经过 平移得到函数 yf(2x4)的图象。 （）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。 对称变换 y=f(x)y=f(x),关于 y 轴对称 y=f(x)y=f(x) ,关于 x 轴对称 y=f(x)y=fx,把 x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象关于 x 轴对称 y=f(x)y=f(x)把 y 轴右边的图象保留，然后将 y 轴右边部分关

9、于y 轴对称。 （注意：它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论：若 f(ax)f(a+x)，则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称； 如： 的图象如图，作出下列函数图象： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； （9） 。 五、反函数： （1）定义： （2）函数存在反函数的条件： ； （3）互为反函数的定义域与值域的关系： ； （4）求反函数的步骤：将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；将 互换，得 ；写出反函数的定义域（即 的值域

10、） 。 （5）互为反函数的图象间的关系： ； （6）原函数与反函数具有相同的单调性； （7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 如：求下列函数的反函数： ； ； 七、常用的初等函数： （1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数； （2）一元二次函数： 一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ； 两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ； 顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ； 一元二次函数的单调性： 当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数； 二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式， 、若顶点的横坐标在给

11、定的区间上，则 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型： (1)顶点固定，区间也固定。如： (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数 二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则： 根的

12、情况 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 充要条件 注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。 （3）反比例函数： （4）指数函数： 指数运算法则： ； ； 。 指数函数：y= (ao,a1)，图象恒过点（0，1） ，单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对 a 分 a1 和 0a1 两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。 （5）对数函数： 指数运算法则： ； ； ； 对数函数：y= (ao,a1) 图象恒过点（1，0） ，单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对 a 分 a1

13、和 0a1 两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。 注意：（1） 与 的图象关系是 ； （2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1 比较或与 0 比较。 （3）已知函数 的定义域为 ，求 的取值范围。 已知函数 的值域为 ，求 的取值范围。 六、 的图象： 定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。 七、补充内容： 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： 正比例函数 ； ； ； ； ； 三、导 数 1求导法则： (c)=0 这里 c 是常数。即常数的导数值为 0。 (xn)=n

14、xn1 特别地：(x)=1 (x1)= ( )=x-2 (f(x)g(x)= f(x)g(x) (k?f(x)= k?f(x) 2导数的几何物理意义： kf(x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0)的切线的斜率。 Vs(t) 表示即时速度。a=v(t) 表示加速度。 3导数的应用： 求切线的斜率。 导数与函数的单调性的关系 一 与 为增函数的关系。 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ， 是 为增函数的充分不必要条件。 二 时， 与 为增函数的关系。 若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。当 时， 是 为增函数的

15、充分必要条件。 三 与 为增函数的关系。 为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。 是 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 四单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分

16、为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。 求极值、求最值。 注意：极值最值。函数 f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。 f(x0)0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值。 但是，当 x=x0 时，函数有极值 f(x0)0 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微） ； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线） ； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。 2关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数