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1、基础达标 一、选择题 1(2014河南郑州市质量检测)设 ， 分别为两个不同的平面，直线 l，则 “l”是“”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A.依题意，由 l，l 可以推出 ；反过来，由 ，l 不能推出 l.因 此“l”是“”成立的充分不必要条件 2(2014黑龙江齐齐哈尔质检)在如图所示的四个正方体中，能得出 ABCD 的是( )解析：选 A.A 中，CD平面 AMB，CDAB；B 中，AB 与 CD 成 60角；C 中，AB 与 CD 成 45角；D 中，AB 与 CD 夹角的正切值为.23(2014武汉市部分学校高三联考)
2、设 a、b、c 表示三条直线，、 表示两个平面， 则下列命题中，不正确的是( ) A.Error!c B.Error!bc C.Error!c D. Error!b 解析：选 D.A 项是正确的；由三垂线定理可知 B 项是正确的；由线面平行的判定定理可 知 C 项是正确的；D 项中，有可能 b 与 平行或相交或 b，故 D 项错误；故选 D.4(2013高考山东卷)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边94 长为的正三角形若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( )3A. B.5123C. D.46 解析：选 B. 如图所示，
3、P 为正三角形 A1B1C1的中心，设 O 为ABC 的中心，由题意知： PO平面 ABC，连接 OA，则PAO 即为 PA 与平面 ABC 所成的角在正三角形 ABC 中，ABBCAC，3则 S()2，3433 34VABCA1B1C1SPO ，PO.943又 AO1，tanPAO，333POAO3PAO .3 5(2014黄冈市黄冈中学高三适应性考试)已知三棱锥 SABC 的三视图如图所示在 原三棱锥中给出下列命题： BC平面 SAC；平面 SBC平面 SAB；SBAC. 其中所有正确命题的代号是( ) A B C D解析：选 A.显然由三视图我们易知原几何体为三棱锥侧棱 SA 垂直于底面
4、 ABC，底面 是个直角三角形 ACBC，从而我们易知只有是正确的 二、填空题 6.如图，BAC90，PC平面 ABC，则在ABC，PAC 的边所在的直线中：与 PC 垂直的直线有_；与 AP 垂直的直线有_ 解析：PC平面 ABC， PC 垂直于直线 AB，BC，AC. ABAC，ABPC，ACPCC， AB平面 PAC， ABAP，与 AP 垂直的直线是 AB. 答案：AB，BC，AC AB 7(2014湖北武汉武昌区联考)已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，有下列命题： lm；lm；lm；lm. 其中正确命题的序号是_ 解析：正确，l，l，又 m，lm；错误，l，m 还可以垂直、斜交或异
5、 面；正确，l，lm，m，又 m，；错误， 与 可能相交 答案： 8. 点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，给出下列四个命题：三棱锥 AD1PC 的体积不变； A1P平面 ACD1； DPBC1； 平面 PDB1平面 ACD1. 其中正确的命题序号是_ 解析：连接 BD 交 AC 于 O，连接 DC1交 D1C 于 O1，连接 OO1，则 OO1BC1.BC1平面 AD1C，动点 P 到平面 AD1C 的距离不变， 三棱锥 PAD1C 的体积不变 又 VPAD1CVAD1PC，正确 平面 A1C1B平面 AD1C，A1P 平面 A1C1B， A1P平面 ACD1
6、，正确 由于 DB 不垂直于 BC1，显然不正确； 由于 DB1D1C，DB1AD1，D1CAD1D1， DB1平面 AD1C.DB1平面 PDB1， 平面 PDB1平面 ACD1，正确 答案： 三、解答题 9. (2014吉林长春市调研测试)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1C1C底面 ABC，AA1A1CAC2，ABBC，ABBC，O 为 AC 的中点(1)证明：A1O平面 ABC；(2)若 E 是线段 A1B 上一点，且满足 VEBCC1VABCA1B1C1，求 A1E 的长度112 解：(1)证明：AA1A1CAC2，且 O 为 AC 的中点， A1OAC.又侧面 AA
7、1C1C底面 ABC， 侧面 AA1C1C底面 ABCAC，A1O平面 A1AC， A1O平面 ABC.(2)VEBCC1VABCA1B1C1 VA1BCC1，11214BE BA1，即 A1E A1B.1434连接 OB(图略)，在 RtA1OB 中，A1OOB，A1O，BO1，故 A1B2，则 A1E 的长度3为 .3210(2014黄冈市黄冈中学高三模拟考试)在如图所示的组合体中，三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 ABB1A1是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与 A、B 重合的一个点 (1)求证：无论点 C 如何运动，平面 A1BC平面 A1AC； (2)当点 C 是弧 AB 的中
8、点时，求四棱锥 A1BCC1B1与圆柱的体积比 解：(1)证明：因为侧面 ABB1A1是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与 A、B 重合 的一个点， 所以 ACBC. 又圆柱母线 AA1平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AA1BC. 又 AA1ACA，所以 BC平面 A1AC. 因为 BC平面 A1BC，所以平面 A1BC平面 A1AC. (2)设圆柱的底面半径为 r，母线长度为 h， 当点 C 是弧 AB 的中点时，ACBCr，2VA1BCC1B1 h r2h，13(2r) (2r)23 V圆柱r2h， 所以 VA1BCC1B1V圆柱23. 能力提升1(2013高考江苏卷) 如图，在
9、三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，ASAB.过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点求证：(1)平面 EFG平面 ABC； (2)BCSA. 证明：(1)因为 ASAB，AFSB， 垂足为 F，所以 F 是 SB 的中点 又因为 E 是 SA 的中点， 所以 EFAB. 因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 EF平面 ABC. 同理 EG平面 ABC.又 EFEGE， 所以平面 EFG平面 ABC. (2)因为平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB， 又 AF平面 SAB，AFSB，所以 AF平面 SBC. 因为 BC平面
10、 SBC，所以 AFBC.又因为 ABBC，AFABA，AF平面 SAB，AB平面 SAB，所以 BC平面 SAB. 因为 SA平面 SAB，所以 BCSA. 2如图所示，AD平面 ABC，CE平面 ABC，ACADAB1，BC，凸多面体 ABCED 的体积为 ，F 为 BC 的中212 点 (1)求证：AF平面 BDE； (2)求证：平面 BDE平面 BCE. 证明：(1)AD平面 ABC，CE平面 ABC， 四边形 ACED 为梯形，且平面 ABC平面 ACED. BC2AC2AB2，ABAC.平面 ABC平面 ACEDAC， AB平面 ACED， 即 AB 为四棱锥 BACED 的高，V
11、BACED SACEDAB (1CE)11 ，13131212 CE2. 取 BE 的中点 G，连接 GF，GD， GF 为三角形 BCE 的中位线， GFECDA，GF CEDA，12 四边形 GFAD 为平行四边形， AFGD. 又 GD平面 BDE，AF平面 BDE， AF平面 BDE. (2)ABAC，F 为 BC 的中点， AFBC. 又 GFAF，BCGFF，AF平面 BCE. AFGD，GD平面 BCE. 又 GD平面 BDE， 平面 BDE平面 BCE. 3. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60， PAABBC，E 是 PC 的中
12、点(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE平面 PCD； (3)求二面角 APDC 的正弦值 解：(1)在四棱锥 PABCD 中， 因 PA底面 ABCD，AB平面 ABCD， 故 PAAB.又 ABAD，PAADA， 从而 AB平面 PAD， 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA， 从而APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角 在 RtPAB 中，ABPA， 故APB45， 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45. (2)证明：在四棱锥 PABCD 中， 因 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，故 CDPA. 由条件 CDAC，PAACA，
13、所以 CD平面 PAC. 又 AE平面 PAC，所以 AECD. 由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA. 因为 E 是 PC 的中点，所以 AEPC.又 PCCDC，综上得 AE平面 PCD. (3)过点 E 作 EMPD，垂足为 M，连接 AM，如图所示 由(2)知，AE平面 PCD，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM，则 AMPD.因此AME 是二面角 APDC 的平面角 由已知，可得CAD30. 设 ACa，可得PAa，ADa，PDa，2 33213AEa.22 在 RtADP 中，因为 AMPD， 所以 AMPDPAAD，则 AMa.PAADPDa2 33a213a2 77 在 RtAEM 中，sinAME.AEAM144所以二面角 APDC 的正弦值为.144
