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1、必修 4 代数部分三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和 其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及 其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用。 三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和 运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式， 由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变 换。 内容与要求1三角函数（约 16 课时） （1）任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。 （2）三角函数 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、
2、正切）的定义。借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（/2, 的正 弦、余弦、正切） ，能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周 期性。 借助图像理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（-/2，/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等） 。理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sin x/cos x=tan x。 结合具体实例，了解 y=Asin（x+）的实际意义；能借助计算器或计算 机画出 y=Asin（x+）的图像，观察参数 A， 对函数图像变化的影响。 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是
3、描述周期变化现 象的重要函数模型。 3三角恒等变换（约 8 课时）（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体 会向量方法的作用。（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式， 二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、 和差化积、半角公式，但不要求记忆） 。说明与建议1在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规
4、律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型。 。2在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图像和基本性质。借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。3提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容（如单摆运动、波的传播、交流电）时，注意运用三角函数来分析和理解。4弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的 1/2 所对的圆心角或周角的 1/2） 。随着后续课程的学习，他们将会
5、逐步理解这一概念，在此不必深究。5在三角恒等变换的教学中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练。6在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，求三角函数值，求解测量问题，分析 y=Asin（x+）中参数变化对函数的影 响等。在三角函数、平面上的向量和三角恒等变换相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。教材编写建议1素材的选取应体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点教材中素
6、材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平。素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性。高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识。因此，教材中应选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，现实世界中的常见现象或其他科学的实例，展现数学的概念、结论，体现数学的思想、方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在自己身边，数学的应用无处不在。例如，在统计内容中，可以选择具有丰富生活背景的案例，展示统计思想和方法的广泛应用；通过行星运动的轨迹、凸凹镜等说明圆锥曲线的意义和应用；通过速度的变化率、体积
7、的膨胀率，以及效率、密度等大量丰富的现实背景引入导数的概念。2体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。例如，在引入函数的一般概念时，应从学生已学过的具体函数（一次函数、二次函数）和生活中常见的函数关系（如气温的变化、出租车的计价）等入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生逐步理解函数的概念；立体几何内容，可以用长方体内点、线、面的关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、面的位置关系。教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，
8、经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程。编写教材时，可以通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解。3体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的学习是循序渐进、逐步发展的。教材编写时应充分注意这些问题，不要因为高中数学课程内容划分成了若干模块，而忽视相关内容的联系。为了培养学生对数学内部联系的认识，教材需要将不同的数学
9、内容相互沟通，以加深学生对数学的认识和对本质的理解。例如，教材编写中可以借助二次函数的图像，比较和研究一元二次方程、不等式的解；比较等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的图像，发现它们之间的联系等。本标准的内容是根据学生的不同需要，分不同的系列和层次展开的。教材在处理这些内容时，还要注意明确相关内容在不同模块中的要求及其前后联系，注意使学生在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高。例如，统计的内容，在必修系列课程中主要是通过尽可能多的实例，使学生在义务教育阶段的基础上，体会随机抽样、用样本估计总体的统计思想，并学习一些处理数据的方法；在选修课中则是通过各种不同的案例，使学生进一步学习一些常用的统
10、计方法，加深对统计思想及统计在社会生产生活中的作用的认识。4注意新理念、新内容在教材编写上的特殊处理依据本次课程改革的新理念，在高中数学课程中，引入了一些新的课程内容和新的处理方式，编写教材时应特别留意对它们的处理，按照本标准规定的内容要求来进行。算法是高中数学课程中的新内容之一。教材要注意突出算法的思想，提供实例，使学生经历模仿、探索、程序框图设计、操作等过程，从而体会算法思想的本质，而不应将算法内容单纯处理成程序语言的学习和程序设计。同时，教材还要注意在能够与算法结合的课程内容中，融入用算法解决问题的练习，不断加深学生对算法的认识。例如，可以在求一元二次不等式解的内容中融入算法的内容。本标
11、准设置了“数学探究” 、 “数学建模”和“数学文化”等新的学习活动。教材编写时，应把这些活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中，并注意提供相关的推荐课题、背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的学习活动，完成课题作业或专题总结报告。选修系列 3，选修系列 4 教材的编写，应根据各系列的特点以及各专题的具体要求，进行积极的、有意义的、富有创造性的开发与探索。5渗透数学文化，体现人文精神 在教材编写中，应将数学的文化价值渗透在各部分内容中，采取多种形式，如与具体数学内容相结合或单独设置栏目做专题介绍；也可以列出课外阅读的参考书目及相关资料源，以便学生自己查阅、收集整理。6内容设计要有一定的弹性 教材编
12、写时，内容设计要具有一定的弹性。例如，根据学生特点和兴趣，教材可以在高中数学课程的相关内容中安排一些引申的内容，这些内容可能是一些具有探索性的问题，也可能是一些拓展的数学内容，或一些重要的数学思想方法。选择和安排这些内容时，要注意思想性、反映数学的本质。这些内容不作评价要求。7反映现代信息技术与数学课程的整合随着时代的发展，信息技术已经渗透到数学教学中。如何使现代信息技术为学生的数学学习提供更多的帮助，是教材编写中值得注意和进一步思考的问题。使用现代信息技术的原则是有利于对数学本质的理解。教材可以在处理某些内容时，提倡使用计算器或计算机，帮助学生理解数学概念、探索数学结论，还应鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂的计算、解决实际问题，以取得更多的时间和精力去探索和发现数学的规律，培养创新精神和实践能力。另一方面，现代信息技术不仅在改进学生的学习方式上可以发挥巨大的潜力，而且可以渗透到数学的课程内容中来，教材应注意这些资源的整合。例如，可以把算法融入有关数学课程内容中；也可以引导学生通过网络搜集资料，研究数学的文化，体会数学的人文价值。
