《【全国百强校】江苏省2017高三清华北大自主招生数学训练题4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全国百强校】江苏省2017高三清华北大自主招生数学训练题4（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学自主招生训练题（数学自主招生训练题（4 4）1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54 B.60 C.66 D.72来源:Z&xx&k.Com2. 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序， 则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144 D.3来源:Z,xx,k.Com3. 已知的内角、满足，ABCABC1sin2sin()sin()2AABCCAB面积满足，记、分别为、所对的边，则下列不等式成S12SabcABC 立的是（ ）A.B.()8bc bc()16 2ab abC.D.612abc1224abc
2、4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D.31322312325423 正视图侧视图俯视图5.在平面直角坐标系中，已知向量a a，b b，| |a a| | |b b| |，a ab b，点满足xOy10Qa ab b，曲线a ab b，区域(2OQ)OPPC|cos20,sin，若IC为两段分离的曲线，则,0|RrRPQrP（A）31Rr （B）Rr31 （C） （D）31RrRr316.若定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（0）=1，其导函数 f（x）满足 f（x）k1，则下列结论中一定错误的是（ ）A BCD 7.若 a，b 是函数 f（x）=x2px+
3、q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b，2 这 三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于( ）A 6B 7C 8D 98.已知，若 P 点是ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）A 13B 15C 19D 219.在 的展开式中， 的系数为 .61 4xx2x10.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为ABC, ,A B C, ,a b cABC， 则 的值为 .3 1512,cos,4bcA a11.在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 ABCD/ /,2,1,60ABDC ABBCABCoEFxOyQrRC分别在线段 和 上, 且，则的
4、最小值为 .BCDC1,9BEBC DFDCuuu ruuu r uuu ruuu rAE AFuuu r uuu rg12.平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：=1（a0，b0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为 13如图，在三棱台 DEFABC 中，AB=2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点 （）求证：BD平面 FGH； （）若 CF平面 ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的 角（锐角）的大小14设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3
5、（）求an的通项公式； （）若数列bn，满足 anbn=log3an，求bn的前 n 项和 Tn15.若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则 称 n 为“三位递增数” （如 137，359，567 等） 在某次数学趣味活动中，每位参加者需 从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取 的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分，若能被 5 整除，但不 能被 10 整除，得1 分，若能被 10 整除，得 1 分 （）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ； （）若甲参加活动，求甲得分 X 的
6、分布列和数学期望 EX来源:学_科_网16平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是 F1，F2，以 F1为圆心以 3 为半径的圆与以 F2为圆心以 1 为半径的圆相交，且 交点在椭圆 C 上 （）求椭圆 C 的方程；（）设椭圆 E：+=1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q（i）求|的值；（ii）求ABQ 面积的最大值17设函数 f（x）=ln（x+1）+a（x2x） ，其中 aR， （）讨论函数 f（x）极值点的个数，并说明理由； （）若x0，f（x）0 成立，
7、求 a 的取值范围18.已知函数，其中.( )n,nf xxxxR*n,n2N(I)讨论的单调性；( )f x(II)设曲线与轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为( )yf x=x,求证：对于任意的正实数，都有；( )yg x=x( )( )f xg x(III)若关于的方程有两个正实根，求证： x( )=a(a)f x为实数12xx，.21|-|21ax xn+-来源:学科网 ZXXK数学自主招生训练题（数学自主招生训练题（4 4）答案）答案1-8.BBAAACDA 9. 10.8 11. 12.15 1629 1813. 解：（）证明：根据已知条件，BC=2EF，H 为 BC
8、 中点，EFBC； EFBH，且 EF=BH； 四边形 EFHB 为平行四边形； BEHF，HF平面 FGH，BE平面 FGH； BE平面 FGH； 同样，因为 GH 为ABC 中位线，GHAB； 又 DEAB； DEGH； DE平面 FGH，DEBE=E； 平面 BDE平面 FGH，BD平面 BDE； BD平面 FGH； （）连接 HE，则 HECF； CF平面 ABC； HE平面 ABC，并且 HGHC； HC，HG，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空 间直角坐标系，设 HC=1，则：H（0，0，0） ，G（0，1，0） ，F（1，0，1） ，B（1，0
9、，0） ； 连接 BG，根据已知条件 BA=BC，G 为 AC 中点； BGAC； 又 CF平面 ABC，BG平面 ABC； BGCF，ACCF=C； BG平面 ACFD；向量为平面 ACFD 的法向量；设平面 FGH 的法向量为，则：，取 z=1，则：；设平面 FGH 和平面 ACFD 所成的锐二面角为 ，则：cos=|cos|=；平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 6014. 解：（）因为 2Sn=3n+3，所以 2a1=31+3=6，故 a1=3， 当 n1 时，2Sn1=3n1+3， 此时，2an=2Sn2Sn1=3n3n1=23n1，即 an=3n1，所以 an=（）因为 a
10、nbn=log3an，所以 b1= ，当 n1 时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，所以 T1=b1= ；当 n1 时，Tn=b1+b2+bn= +（131+232+（n1）31n） ，所以 3Tn=1+（130+231+332+（n1）32n） ，两式相减得：2Tn= +（30+31+32+32n（n1）31n）= +（n1）31n）=，所以 Tn=，经检验，n=1 时也适合，综上可得 Tn=来源:Zxxk.Com15.解：（）根据定义个位数字是 5 的“三位递增数”有： 125，135，145，235，245，345；（）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量 X 的取
11、值为：0，1，1，当 X=0 时，可以选择除去 5 以外的剩下 8 个数字中选择 3 个进行组合，即；当 X=1 时，首先选择 5，由于不能被 10 整除，因此不能选择数字 2，4，6，8，可以从 1，3，5，7 中选择两个数字和 5 进行组合，即；当 X=1 时，有两种组合方式，第一种方案：首先选 5，然后从 2，4，6，8 中选择2 个数字和 5 进行组合，即；第二种方案：首先选 5，然后从 2，4，6，8 中选择 1 个数字，再从 1，3，7，9 中选择 1 个数字，最后把 3 个数字进行组合，即则 P（X=0）= ，P（X=1）=，P（X=1）=，X011 PEX=0 +（1）+1=1
12、6 解：（）由题意可知，2a=4，可得 a=2，又 =，a2c2=b2，可得 b=1，即有椭圆 C 的方程为+y2=1；（）由（）知椭圆 E 的方程为+=1，（i）设 P（x0，y0） ，|=，由题意可知，Q（x0，y0） ，由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以 =2，即|=2；（ii）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程，可得 （1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，由0，可得 m24+16k2，则有 x1+x2=，x1x2=，所以|x1x2|=，由直线 y=kx+m 与 y 轴交于（0，m） ，则AOB 的面积为 S=
13、|m|x1x2|= |m|=2，设=t，则 S=2，将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0， 由0 可得 m21+4k2，由可得 0t1，则 S=2在（0，1递增，即有 t=1 取得最大值，即有 S，即 m2=1+4k2，取得最大值 2， 由（i）知，ABQ 的面积为 3S，即ABQ 面积的最大值为 6 17 解：（I）函数 f（x）=ln（x+1）+a（x2x） ，其中 aR，x（1，+） = 令 g（x）=2ax2+axa+1 （1）当 a=0 时，g（x）=1，此时 f（x）0，函数 f（x）在（1，+）上单 调递增，无极值点 （2）当
14、 a0 时，=a28a（1a）=a（9a8） 当时，0，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）在（1，+） 上单调递增，无极值点当 a时，0，设方程 2ax2+axa+1=0 的两个实数根分别为 x1，x2，x1x2x1+x2=，由 g（1）0，可得1x1 当 x（1，x1）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递增； 当 x（x1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递减； 当 x（x2，+）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递增 因此函数 f（x）有两个极值点（3）当 a0 时，0由 g（1）=10，可得1x1 当 x（1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递增； 当 x（x2，+）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递减 因此函数 f（x）有一个极值点 综上所述：当 a0 时，函数 f（x）有一个极值点；当 0a时，函数 f（x）无极值点；当 a0 时，函数 f（x）有两个极值点 （II）由（I）可知：（1）当 0a时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增 f（0）=0， x（0，+）时，f（x）0，符合题意（2）当 a1 时，由 g（0）
