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1、1.4.4 单位圆与诱导公式单位圆与诱导公式（第二课时）（第二课时）主备人：刘红岩主备人：刘红岩导入新课导入新课先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用 的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出 与+ 或- 的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题.2 2新知探究新知探究 提出问题提出问题以下按两种思路来探究 与+ 或- 的关系.2 2思路 1.先得出 与- 的关系.2先计算 sin、cos、sin、cos的值(、,)，你有什么猜想结论？3 6 3 6 23 21 23 21怎样验证探究 与- 的关系呢？在单位
2、圆中，让学生画出终边与角 的终边关于直线2y=x 对称的角，观察它们有什么样的位置关系？如何由 与- 的关系，得到 与+ 的关系？2 2图 7活动活动:学生很容易得到如下猜想：cos(-)=sin,sin(-)=cos.这时教师适时点拨，以上猜2 2测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有 经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角 、-,探究终边与角 的终边关于直线 y=x 对称的角的数量关系.先让学生充2分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线 y=x 对称的两个角之 间的数量关系
3、，关于直线 y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图 7).设任意角- 的终边与单位圆的交点 P1(x,y)，由于角 的终边与角- 的终边关于直线 y=x 对称，2 2角- 的终边与单位圆的交点 P2与点 P1关于直线 y=x 对称，因此点 P2的坐标是(y,x)，于2是，我们有sin=y, cos=x, cos（-)=y, sin(-)=x.2 2从而得到我们的猜想，也就是如下公式：sin(-)=cos,cos（-)=sin.2 2教师进一步引导学生，因为+ 可以转化为 -(-).所以求+ 角的正弦、余弦问题就2 2 2转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(+)=c
4、os,cos（+)=-sin.2 2思路 2.先得出 与+ 的关系.2图 8教师引导学生观察图 8，设任意角 的终边与单位圆交于点 P(a,b)，则角+ 的终边2与单位圆交于点 P1.由平面几何知识,可知 RtOPMRtP1OM1，不难证明，点 P1的坐标为(-b，a)，且 a=cos, b=sin.所以点 P 的横坐标 cos 与点 P1的纵坐标 sin(+)相等，即2sin(+)cos.点 P 的纵坐标 sin 与点 P1的横坐标 cos（+)的绝对值相等且符号相反，2 2由此得到公式sin(+)=cos,cos（+)=-sin.2 2教师进一步引导学生，因为-=-(+)，所以求- 角的正
5、弦、余弦问题就转化2 2 2为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(-)=cos,cos（-)=sin.2 2至此，我们得到了任意角 的三角函数公式 sin(k2+)=sin，cos（k2+)=cos. sin(-)=-sin，cos（-)=cos. sin(-)=sin，cos（-)=-cos. sin(+)=-sin，cos（+)=-cos.sin(+)=cos,cos(+)=-sin2 2sin(-)=cos,cos（-)=sin.2 2以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2k+(kZ)，-，2- 的正 (余)弦函数值，等于 的相应的正(余)弦函数值，前面加上把 看
6、成锐角时原函数值的符号； 的正(余)弦函数值，等于 的相应的余(正)弦函数值，前面加上把 看成锐角时这些2角所在象限的正(余)弦函数值的符号.教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：(kZ)的三角2k函数值，当 k 为偶数时，得角 的同名函数值；当 k 为奇数时，得 相应的余弦函数值.然 后前面加上把 看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这 里特别要弄清“把 看成锐角”的含义，不管 是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成” 而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 例题讲解例题讲解 例 1 求下列函数值：(
7、1)sin(+);(2)sin(-);(3)sincos（-)+sincos.25 4 655 65 4 611 45活动活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同 会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.解解:(1)sin(+)sin(+)=cos=.25 4 2 4 4 22(2)sin(-)=-sin=-sin(8+)-sin655 655 67 67=-sin(+)=sin=6 6 21(3)sincos（-)+sincos=sin()cos+sin(2-)cos(+)65 4 611 45 64 6 4=sincos+(-sin)(-c
8、os)6 4 6 4=+.21 22 21 22 22点评点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-)=sin(-10+).以此活化学生的思路.655 65例 2 化简：)cos()3sin()sin()23cos()3cos()2sin(活动活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生 特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得 问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的.解解:原式 )(cos)sin()(sin)cos(
9、)cos(sin)( a=)cos(sin1 )sin()2cos()cos()sin( =1. sinsin点评点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化 功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型. 解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练变式训练 1.求 sin(-870)的值. 解法一:sin(-870)=-sin870=-sin(2360+150)=-sin150=-sin(180-30)=-sin30=-.21解法二:sin(-870)=sin(-1090+30)=-sin30-21点
10、评点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀 来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵 活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规 律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里 k=-10 是偶数，所以得到同名函数，得到右边 的符号是正弦在第三象限(-870)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很 好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样：sin(-870)=sin(-990-60)=-cos(-60)-cos60-212.已知 cos(-)=m(|m|1),
11、求 sin(-)的值.6 32解解:-(-)=,-=+(-).32 6 2 32 2 6sin(-)=sin+(-)=cos(-)=m.32 6 6 6点评点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化 简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法. 3.(1)已知 f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x; (2)对于怎样的整数 n,才能由 f(sinx)=sinnx 推出 f(cosx)=cosnx?(1)证明证明:f(sinx)=fcos(-x)=cos17(-x)=cos(8+-17x)=cos(-17x)=
12、sin17x,2 2 2 2即 f(sinx)=sin17x.(2)解解:f(cosx)=fsin(-x)=sinn(-x)=sin(-nx)2 2 2n= )., 34,cos, 24,sin, 14,cos,4,sinZkknnxZkknnxZkknnxZkknnx故所求的整数 n=4k+1(kZ). 点评点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间， 要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助 sinx=cos(-x)或 cosx=sin(-x).要善于观察条2 2件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函 数名称之间的转移. 知能训练知能训练 课本练习 2 14. 课堂小结课堂小结先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用 单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式 比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱 导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再 查表”. 作业作业 1.课本习题 14 A 组 7、8. 2.B 组 1、2、3.
