《高中数学论文：圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 沪教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学论文：圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 沪教版（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 2003 年北京高考数学卷第 18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质. 定理 1定理 1：在圆锥曲线中，过弦 AB 中点 M 任作两条弦 CD 和 EF，直线 CE 与 DF 交直线 AB 于P，Q，则有MQMP . 证明证明：如图 1，以 M 为原点，AB 所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设 A（0，t） ，B（0，-t） ，知 t，-t 是的两个根，所以022FEyDxCyBxyAx0F02 EyCyE. 若 CD，
2、EF 有一条斜率不存在，则 P，Q 与 A，B 重合，结论成立. 若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2） ，E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4） ，P（0，p） ，Q（0，q） ， 111 131132)(:xkxxxxxkxkyCE,132131 111 131132)()0(xxkkxxxkxxxxkxkp, 同 理242142)( xxkkxxq, 所 以)()()()()(13244321214321 xxxxxxxxxxxxkkqp FEMPQDCBAyx图 1 将代 入 (*) 得, 又得xky10)()(122 11FxEkDxCkBkA0
3、E2 1121CkBkADxx, 2 1121CkBkAFxx , 同理 2 22CkD 43BkxxA, 2 22BkAF43Ckxx，所以0 qp，即MQMP . 注注:2003 年高考数学北京卷第 18（III）题，就是定理 1 中取圆锥曲线为椭圆，AB 为平行长轴的弦的特殊情形. 定理 2定理 2：在圆锥曲线中，过弦 AB 端点的切线交于点 M，过 M 的直线 lAB，过 M 任作两条弦 CD 和 EF，直线 CE 与 DF 交直线 l 于 P，Q，则有MQMP . 证明证明：如图 2，以 M 为原点，AB 所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系. 用心 爱心 专心 设圆锥曲线的方程为(
4、*)，设 A（） ，B（） ，则切线 MA 的方程是022FEyDxCyBxyAx11, yx21, yx02211FyExD，切线 MB 的方程是0221ExD0)2 y02 FyE，得，所以.（下面与定理 1 的证明相同，略） (1yEF EMPQDCBAyx图 2 特别的，当弦 AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点 M 在圆锥曲线的该对称轴上. 性质 1性质 1：过点 M（m，0）做椭圆、双曲线12222 by ax的弦 CD，EF 是其焦点轴，则直线CE、DF 的连线交点 G 在直线 l：max2 上.特别的，当 M 为焦点时，l 就是准线.当 M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就是
5、过焦点的直线. 证明证明：如图 3，过 M 做直线 AB 垂直焦点轴所在的直线，直线 CE 与 DF 交直线 AB 于 P，Q，则根据定理 1，定理 2 得MQMP . 过 G 做 GH 垂直焦点轴所在直线于 H，得FHFMHGMQHGMPHEEM，设 M（m，0） ，H（n，0） ，焦点轴长为 2a，则有nama nama ，得. 2amn 注注:性质 1 就是文1中的性质 1，文2中的推论 2. yHGOFE MPQDCBAx图 3 若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图 3 中的 DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质 2. 性质 2性质 2：过点 M（m，0）做抛物线的
6、弦 CD，E 是抛物线的顶点，直线 DF 与抛物线的对称轴平行，则直线 CE、DF 的连线交点在直线 l：pxy22mx上.特别的，当 M 为焦点时，l就是准线.当 M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线. 注注:2001 年全国高考数学卷第 18 题，就是性质 2 中 M 为焦点的情形.性质 2 就是文1中的性质 2，文2中的推论 1. 用心 爱心 专心 性质 3性质 3：直线 l：max2 ，过点 M（m，0）做椭圆、双曲线12222 by ax的弦 CD，直线 l与 CD 交于点 I，则DIDMCICM. IyHGOFE MPQDCBAx图 5 EIyHGOFMPQDCBAx图
7、 4 证明证明：如图 4，由定理 1，定理 2 及性质 1 得： DIDMIGMQIGMPCICM. 性质 4性质 4： 过点 M （m， 0） 做椭圆、 双曲线12222 by ax的弦 CD、EF，则直线 CE、DF 的连线交点 G 在直线 l：max2 上. 证明证明： 如图 5， 过 G 做 GH 垂直焦点轴所在的直线，由定理 1， 定理 2 得： DIDMIGMQIGMPCICM直线 l：，由性质 3 得，点 I 在max2 上，所以点 G 在直线 l：max2 上. 4 得到性性质 5性质 5：直线 l：类似性质 3、性质质 5、性质 6. mx，过点 M（m，0）做抛物线的弦 C
8、D，直线 l 与 CD 交于点 I，则pxy22DIDM. CICM：过点0）做抛物线的弦 CD、EF，则直线 CE、DF 的连线交点 G在直性质 6性质 6M（m，pxy22线 l：mx上. 注注: 文3中的定理是性质 4、性质 6 的特殊情形，即取 M 为焦点时，直线 CE、DF 的连线交点 G 落在相应准线上. 性质 7性质 7：过点 M（m，0）做椭圆、双曲线12222 by ax的弦 CD，则以 C，D 为切点的圆锥用心 爱心 专心 曲线的切线的交点 G 在直线 l：max2 上. 证明证明：如图 6，设切线CG交直线l于G1，连接G1D，若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直
9、线FM交圆锥曲线于E，由性质 4 知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、G1三点共线，与CG1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D，G1D是圆锥曲线的切线，G1与G重合m，0）线的弦 CD，则以 C，D 为切点的圆锥曲线的切线的yHGOFM DCx图 6 ， G在直线l上. 性质 8性质 8：过点 M（做抛物pxy22交点 G 在直线 l： mx上. 注注:性质 7、性质 8 也是性质 4、性质 6 的一种极端情形，就是文4中的定理 1. 性质 9性质 9：直线l：，过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222 by ax max2 的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D
10、1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2，则2121 DDDDCCCC. 证 明证 明 ： 如 图7 ， 由 性 质3得 ： 221DIDM1 CCDDCICMDDCC,所以22DDCC1010：直线l：m11DDCC. 性质性质x，过点M（m，0）做抛物线pxy22上的射影为C的弦CD，C、的射影为C1、D1，在对称轴2、D2，则D在l上22DDCC11DDCC. 条弦 CD 和 EF，直线 CE 与 DF 交于点 G，过 G 做 GIAB，直线 GI 交 FE 于 I，则注注:性质 9、10 即文5中的定理 1、2、3，文5性质 11性质 11：在圆锥曲线中，过弦 AB 中点 M 任作两中
11、的推论也可由性质 3、5 直接推出. IyD2OFC2MC1DCD1x图 7 IFEMPQDCBAFIEI证明证明：如图 8，直线 CEB 于 P，Q，FMEM. 与 DF 交直线 AG图 8 用心 爱心 专心 用心 爱心 专心 由定理 1 得：MQMP , 所以FIFMIGMQIGMPEIEM. 性质 12性质 12：在圆锥曲线中，过弦 AB 端点的切线交于点 M，过 M 任作两条弦 CD 和 EF，直线CE 与 DF 交于点 G，过 G 做 GIAB，直线 GI 交 FE 于 I，则FIFMEIEM. 性质 11，12 可认为是性质 1，2，3，5 的推广，从性质 11，12 出发可以得到类似性质 4，6，7，8，9，10 的结论，限于篇幅，本文不再给出。 参考文献 参考文献 1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7 2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6 3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，4 4 李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2 5 姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7
