2013年初中数学联赛

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1、20132013 年初中数学联赛年初中数学联赛2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 a 2b 3c 0， ab bc ca 1设非零实数 a ， b ， c 满足 则 的值为（ ） 2a 3b 4c a b c 0， 2 2 2 1 1 （A） （B） 0 （C） （D）1 2 2 【答案】A 【解答 】由已知得 a b c 2a 3b 4c a 2b 3c 0 ，故 a b c 2 于是 0 1 ab bc ca 1ab bc ca a 2 b2 c 2 ，所以 2 2 a b c 2 2 2 2已知 a ， b ， c 是实常数，关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c

2、 有两个非零实根 x1 ， 0 1 1x2 ，则下列关于 x 的一元二次方程中，以 2 ， 2 为两个实根的是（ ） x1 x2 （A） c 2 x 2 b2 2ac x a 2 0 （B） c 2 x 2 b2 2ac x a 2 0 （C） c 2 x 2 b2 2ac x a 2 0 （D） c 2 x 2 b2 2ac x a 2 0 【答案】B b 【解答】由于 ax 2 bx c 是关于 x 的一元二次方程，则 a 0 因为 x1 x2 ， 0 a c 1 1 x1 x2 2 2 x1 x2 b 2 2ac 1 1 a2x1 x2 ，且 x1 x2 0 ，所以 c 0 ，且 2 ，

3、 2 2 ， a x12 x2 x12 x22 c2 x1 x2 c 2 1 1 于是根据方程根与系数的关系，以 2 ， 2 为两个实根的一元二次方程是 x1 x2 b2 2ac a2x2 x c 2 x 2 b2 2ac x a 2 0 ，即 0 c2 c 3如图，在 RtABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点，CDAB，垂足为 D，DEOC，垂足为 E若 AD，DB，CD 的长度都是有理数，则线段 OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定是有理数 （第 3 题）的为（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC 【答案】D 【解答】因 AD，DB，CD 的长度都是有理数，所以，

4、OA AD BDOBOC 是有理数于是，ODOAAD 是有理 2 数 （第 3 题答题） OD 2 DC DO 由 RtDOERtCOD，知 OE ， DE 都 OC OC 是有理数，而 AC ADAB 不一定是有理数 4如图，已知ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC 4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 【答案】C （第 4 题） 【解答】因为 DCFE 是平行四边形，且 所以 DE/CF， EF/DC 连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 SDEB SDE

5、C， 因此原来阴影部分的面积等于ACE 的面积 连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 SACE SACF 因为 BC 4CF ， 以 SABC 4SACF 所 故阴影部分的面积为 6 5对于任意实数 x，y，z，定义运算“”为： 3x 3 y 3x 2 y 2 xy 3 45 （第 4 题答题） x y ， x 1 y 1 60 3 3 且 x yz x y z ，则 2013 2012 3 2 的值为（ ） 607 1821 5463 16389 （A） （B） （C） （D） 967 967 967 967 【答案】C 【解答】设 2013 2012 4 ，则 m 3m 3

6、3 3m 2 9 m 27 45 2013 2012 4 3 m 3 9， m 3 3m 2 3m 1 64 60 3 93 2 3 92 22 9 23 45 5463 于是 2013 2012 3 2 9 2 103 33 60 967 二、填空题 6设 a 3 ，b 是 a 2 的小数部分，则 b 23 的值为 3 【答案】 9 【解答】由于 1 a 2 a 2 3 ，故 b a 2 2 9 2 ，因此 b 2 3 9 9 3 3 3 7如图，点 D，E 分别是ABC 的边 AC，AB 上的点，直线 BD 与 CE 交于点 F，已知CDF，BFE，BCF 的面积分别是 3，4，5，则四边

7、形 AEFD 的面积是 204 【答案】 13 【解答】如图，连接 AF，则有： （第 7 题） SAEF 4 SAEF SBFE BF SBCF 5 ， SAFD SAFD FD SCDF 3 SAFD 3 SAFD SCDF CF SBCF 5 ， SAEF SAEF FE SBEF 4 108 96 解得 SAEF ， SAFD 13 13 （第 7 题答题） 204 所以，四边形 AEFD 的面积是 13 8 已 知 正 整 数 a ， b ， c 满 足 a b 2 2c 2 ， 3a 2 8b c ， 则 abc 的 最 大 值 0 0 为 【答案】 2013 【解答】由已知 a

8、b 2 2c 2 ， 3a 2 8b c 消去 c，并整理得 0 0 b 8 2 6a 2 a 由 a 为正整数及 6a 2 a 66，可得 1a3 66 若 a 1 ，则 b 8 2 59 ，无正整数解； 若 a 2 ，则 b 8 2 40 ，无正整数解； 若 a 3 ，则 b 8 2 9 ，于是可解得 b 11 ， b 5 （i）若 b 11 ，则 c 61 ，从而可得 abc 3 11 61 2013 ； （ii）若 b 5 ，则 c 13 ，从而可得 abc 3 5 13 195 综上知 abc 的最大值为 2013 9实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程 x 2 cx d 的两根

9、为 a，b，一元二次方程 0x 2 ax b 的 两 根 为 0 c ， d ， 则 所 有 满 足 条 件 的 数 组 a， ， ，d b c 为 2 1 0 t 【答案】 1， ， ， 2 ， t， ， ， 0 （ t 为任意实数） a b c， ab d， 【解答】由韦达定理得 c d a， cd b 由上式，可知 b a c d d b 若 b d 0 ，则 a 1 ， c 1 ，进而 b a c 2 d b d 若 b d 0 ，则 c a ，有 a， ， ， ， ， ， 0 t 0 （ t 为任意实数） b c d t 2 1 0 t 经检验，数组 1， ， ， 2 与 t， ，

10、， 0 （ t 为任意实数）满足条件 10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售 4 元，圆珠笔每支售 7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是 2013 元则他至少卖出了 支圆珠笔 【答案】207 4 x 7 y ， 2013 【解答】设 x，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则 x y 350， 2013 7 y y 1 所以 x 503 2 y ， 4 4 y 1 于是 是整数又 2013 4 x y 3 y 4 350 3 y ， 4 所以 y 204 ，故 y 的最小值为 207，此时 x 141 三、解答题 11如图，抛物

11、线 y ax 2 bx 3 ，顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴 1 交于点 C，且 OBOC3OA直线 y x 1 与 y 轴交于点 D 3 求DBCCBE 1 【解答】将 x 0 分别代入 y x 1 ， y ax 2 bx 3 知， 3D0，1，C0， 3 ， 1 所以 B3，0，A 1 ，0直线 y x 1 过点 B （第 11 题） 3 将点 C0， 3 的坐标代入 y a x 1 x 3 ，得 a 1 5 分 抛物线 y x 2 2 x 3 的顶点为 E 1， 4 于是由勾股定理得 BC 3 2 ，CE 2 ，BE 2 5 因为 BC2CE2BE2，所以，

12、 BCE 为直角三角形， BCE 90 10 分 （第 11 题答题） CE 1 OD 1 因此 tan CBE 又 tanDBO ，则DBO CBE CB 3 OB 3 15 分 所以， DBC CBE DBC DBO OBC 45 20 分 12设 ABC 的外心，垂心分别为 O，H ，若 B， ， ， C H O 共圆，对于所有的 ABC ，求 BAC 所有可能的度数 【解答】分三种情况讨论 （i）若 ABC 为锐角三角形 2 因为 BHC A，BOC A ， 180 BOC 所以由 BHC ，可得 180 A 2A ，于是 A 60 5 分 （第 12 题答题（i） ） （第 12 题

13、答题（ii） ） （ii）若 ABC 为钝角三角形 当 A 90 时，因为 BHC 180 A，BOC 2 180 A ， 所以由 BHC BOC 180 ，可得 3 180 A 180 ，于是 A 120 。 10 分 A， 2A 当 A 90 时，不妨假设 B 90 ，因为 BHC BOC ， 所以由 BHC BOC 180 ，可得 3A 180 ，于是 A 60 15 分 （iii）若 ABC 为直角三角形 当 A 90 时，因为 O 为边 BC 的中点，B， ， ， C H O 不可能共圆， 所以 A 不可能等于 90 ； 当 A 90 时，不妨假设 B 90 ，此时点 B 与 H 重

14、合，于是总有 B， ， ， C H O 共圆，因此 A 可以是满足 0 A 90 的所有角 综上可得， A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120 20 分 13 a ，b ，c 是素数， x b c a， ， c a b z a b c ， z y 设 记 y 当 2 x 2 y 时， a ， b ， c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论 【解答】不能 1 1 1 b 依题意，得 a y z ， ， x z c x y 2 2 2 1 1 2 z z 1 因为 y z 2 ，所以 a y z z z 2 2 2 又由于 z 为整数， a 为素数，所以 z 2 或 3 ， a 3 10 分

15、 当 z 2 时， y z 2 4，x y 2 2 16 进而， b 9 ， c 10 ，与 b ， c 是素数矛盾； 15 分 当 z 3 时， a b c 0 ，所以 a ， b ， c 不能构成三角形的三边长 20 分 14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数” （例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数） 求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数 a1， ， an ，满足对任意 a2 一个正整数 m，在 a1， ， an 中都至少有一个为 m 的魔术数 a2 【解答】若 n6，取 m 1，2，7，根据抽屉原理知，必有 a1， ， an 中的 a2 一个正整数 M 是 i，j 1 i j 7 的公共的魔术数，即 7 10M i ，7 10M j 则有 7 j i ，但 0 j i 6，矛盾 故 n7 10 分 又当 a1， ， an 为 1，2