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1、1 大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数 : 1. 类型 : (1)数列 : *( )naf n; *1()nnaf a(2)初等函数 : (3)分段函数 : *0102( )( ),( )xxf xF xxxfx; *00( )( ),xxf xF xxxa;* (4)复合 (含f)函数 : ( ),( )yf uux(5)隐式 (方程 ): ( , )0F x y(6)参式 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t(7)变限积分函数 : ( )( , )xaF xf x t dt(8)级数和函数 (数一 ,三): 0( ),n n nS xa xx2. 特征
2、(几何 ): (1)单调性与有界性(判别 ); ( )f x单调000, ()( )()xxxf xf x定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数: 11( )( )( )yf xxfyyfx二. 极限性质 : 1. 类型 : *limnna; *lim( ) xfx(含x); *0lim( ) xxf x(含0xx) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量 ): 3. 未定型 : 000, 1 , 0, 0 ,04. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性三. 常用结论 : 1 1nn, 1 (0)1naa, 1 ()m ax (,)nnnnabca b c,
3、00!naan2 1(0)xx, 0lim1xxx, l i m0nxxxe, lnlim0nxxx, 0l i ml n0nxxx, 0,xxex四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当( )0u x时, s i n()()u xu x; tan ( )( )u xu x; 211cos ( )( )2u xux; ()1( )u xeu x; ln(1( )( )u xu x; (1( )1( )u xu x; ar c si n()(u xu x; arctan ( )( )u xu x2. 泰勒公式 : (1)2211()2!xexxo x; (2)221ln(1)()2xxxo
4、x; (3)341sin()3!xxxo x; (4)24511cos1()2!4!xxxo x; (5)22(1)(1)1()2!xxxo x. 五. 常规方法 : 前提 : (1)准确判断0,1 ,0M(其它如 :00, 0,0 ,); (2)变量代换 (如:1tx) 1. 抓大弃小(), 2. 无穷小与有界量乘积(M) (注:1sin1,xx) 3. 1处理 (其它如 :000 ,) 4. 左右极限 (包括x): (1)1(0)xx; (2)()xex; 1 (0 )xex; (3)分段函数 : x, x, max( )f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注 : 非零因子 )
5、6. 洛必达法则(1)先” 处理 ” ,后法则 (00最后方法 ); (注意对比 : 1lnlim1xxxx与 0lnlim1xxxx) 3 (2)幂指型处理 : ( )( )ln( )( )v xv xu xu xe(如: 11111 11(1)xxxxxeeee) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : ( )lim( , )nf xF x n(分段函数 ) 六. 非常手段1. 收敛准则 : (1)( )lim( )nxaf nf x(2)双边夹 : *?nnnbac, *,?nnb ca(3)单边挤 : 1()n
6、naf a*21?aa*?naM*( )0?fx2. 导数定义 (洛必达 ?): 00l i m ()xffxx3. 积分和 : 10112l i m()()() () nnffffx d xnnnn, 4. 中值定理 : lim ()( )lim( ) xxfxaf xaf5. 级数和 (数一三 ): (1)1n na收敛lim0nna, (如2!limnnnnn) (2)12 1lim()nnnnaaaa, (3)na与1 1()nn naa同敛散七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 (等价 ,阶): *( ),(0)?nf xkxx(1)(1)( )(0)(0)(0)0,(0)nnfff
7、fa( )()!nnnaaf xxxxnn(2)00( )xxnf t dtkt dt2. 渐近线 (含斜 ): (1)( )lim,lim( ) xxf xabf xaxx( )fxaxb(2)( )f xaxb,(10x) 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性(附:极限函数 , ( )fx连续性 ) 八. , a b上连续函数性质4 1. 连通性 : ( , ),fa bm M(注:01, “ 平均 ” 值 :0( )(1)( )()f af bf x) 2. 介值定理 : (附: 达布定理 ) (1)零点存在定理 : ( )( )0f a f b0()0
8、f x(根的个数 ); (2)( )0( )0xaf xf x dx. 第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一. 基本概念 : 1. 差商与导数 : ( )fx 0()( )lim xfxxf xx; 0()fx000( )()lim xxf xf xxx(1) 0( )(0)(0)lim xf xffx(注: 0( )lim( xf xA fx连续 )(0)0,(0)ffA) (2)左右导 : 00(),()fxfx; (3)可导与连续 ; (在0x处, x连续不可导 ; x x可导 ) 2. 微分与导数 : ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx dx(
9、1)可微可导 ; (2)比较,fdf与“0“的大小比较 (图示 ); 二. 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式; (注: ( )f x) 2. 法则 : (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数1dxdyy三. 各类求导 (方法步骤 ): 1. 定义导 : (1)( )fa与( )x afx; (2)分段函数左右导; (3) 0()()lim hf xhf xhh(注: 00( )( ),xxF xf xxxa, 求:0(),( )fxfx及( )fx的连续性 ) 2. 初等导 (公式加法则 ): (1)( )uf g x, 求:0()u x(图形题 ); (2)( )( )
10、xaF xf t dt, 求:( )Fx(注: ( , ), ( , ), ( )xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt) (3)0102( ),( )xxfxyxxfx,求 00(),()fxfx及0()fx(待定系数 ) 5 3. 隐式 ( , )0f x y)导 : 22,dyd ydxdx(1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法 . 4. 参式导 (数一 ,二): ( )( )xx tyy t, 求:22,dyd ydxdx5. 高阶导( )( )nfx公式 : ( )()axnnaxea e; ()11!()()n nnb n
11、abxabx; ( )(sin)sin()2nnaxaaxn; ( )(cos)cos()2nnaxaaxn()( )1(1)2(2)()“nnnn nnuvuvC uvC uv注: ( )(0)nf与泰勒展式 : 2012( )n nf xaa xa xa x( )(0)!nnfan四. 各类应用 : 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : ( )yf x上点0M和过点0M的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): 23“( )( 1 ( )fxfx(曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 4. 边际与弹性 (数三 ): (附: 需求 , 收益 ,
12、成本 , 利润 )五. 单调性与极值(必求导 ) 1. 判别 (驻点0()0fx): (1) ( )0( )fxf x; ( )0( )fxf x; (2)分段函数的单调性(3)( )0fx零点唯一 ; “( )0fx驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : (1)表格 ( )fx变号 ); (由0002( )( )( )lim0, lim0, lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx的特点 ) (2)二阶导 (0()0fx) 注(1)f与,“ff的匹配 (f图形中包含的信息); 6 (2)实例 : 由( )( )( )( )fxx f xg x确定点 “0xx” 的特点 .
13、(3)闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 ) 3. 不等式证明 ( )0f x) (1)区别 : * 单变量与双变量? * , xa b与 ,),(,)xax? (2)类型 : *0,( )0ff a; *0,( )0ff b*“0,( ),( )0ff af b; *00“( )0,()0,()0fxfxf x(3)注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . (如: max( )( )f xMfxM) 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点 (必求导 !): 1. “y表格 ; (0“()0fx) 2. 应用 : (1)泰勒估计 ; (2)f单调 ; (3)凹凸
14、. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注 : 最值点必为驻点) 1. 结论 : ( )( )( )( )0F bF aFf2. 辅助函数构造实例: (1)( )f( )( )xaF xf t dt(2)( ) ( )( )( )0( )( )( )fgfgF xf x g x(3)( )( ) ( )( )( )0( )( )fxfgfgF xg x(4)( )( )( )0ff( )( )( )x dxF xef x; 3. ( )( )0( )nff x有1n个零点(1)( )nfx有2个零点4. 特例 : 证明( )( )nfa的常规方法 :令( )( )( )nF xf xP x有1n个零
15、点 ( )nP x待定 ) 5. 注: 含12,时,分家 !(柯西定理 ) 6. 附(达布定理 ): ( )f x在 , a b可导 ,( ),( )cfafb, , a b,使:( )fc八. 拉格朗日中值定理1. 结论 : ( )( )( )()f bf afba; ( )( ),( )0ab) 7 2. 估计 : ( )ffx九. 泰勒公式 (连接,“fff之间的桥梁 ) 1. 结论 : 23 00000011( )()()()“()()“( )()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx; 2. 应用 : 在已知( )f a或( )f b值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义
16、): 注:有定积分 (不含变限 )条件时使用 第三讲 : 一元积分学一. 基本概念 : 1. 原函数( )F x: (1)( )( )Fxf x; (2)( )( )f x dxdF x; (3)( )( )f x dxF xc注(1)( )( )xaF xf t dt(连续不一定可导); (2)() ( )( )( )xxaaxt f t dtf t dtf x( )f x连续 ) 2. 不定积分性质: (1)( )( )f x dxf x; ( )( )df x dxf x dx(2)( )( )fx dxf xc; ()()d fxfxc二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆(线性性 ) 1212()() )()()k fxk gxd xkfx d xkgx d x3. 凑微法 (基础 )
