不同周期信号激励下分数阶线性系统的响应特性分析

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1、物 理 学 报Ac t a P h y s S i n V o 1 6 2 ， N o 2( 2 0 1 3 )0 2 4 5 0 1 不同周期信号激励下分数阶线性系统 的响应特性分析冰 杨建华十 朱华 ( 中国矿业大学， 机电工程学院， 徐州 I 2 2 1 1 1 6 ) ( 2 0 1 2年 7月 8日收到： 2 0 1 2年 8月 2 0目收到修改稿 ) 研究了含分数阶导数阻尼的一类线性系统在不同周期信号激励下系统的响应问题 首先在简谐信号的激励下， 利用谐波平衡法得到了系统响应的近似解， 这一结果和已有文献 ( 申永军， 杨绍普， 邢海军2 0 1 2物理学报 6 1 1 1 0 5

2、 0 5 ) 的结果完全相同， 但本文的求解过程大为简化， 而且本文进一步扩展了分数阶导数阻尼微分阶数的取值范围 接着， 利用傅里叶级数展开法和线性系统的叠加原理， 求得了一般周期信号激励下系统响应的近似解， 并以周期方波信号 和周期全波正弦信号为例进行了说明 本文的结果表明， 分数阶导数阻尼的微分阶数影响系统响应中各阶谐波的共 振频率和共振振幅 系统响应的幅值与分数阶导数阻尼的微分阶数之间的单调关系主要受外激信号频率的影响 除 解析分析外， 本文还用数值模拟对相关结论进行了验证， 两种结果符合良好， 表明本文的分析方法是可行的 关键词： 分数阶导数阻尼， 周期信号， 谐波平衡法 P A C

3、S ： 4 5 1 0 H j ， 3 3 2 0 T p D OI ： 1 0 7 4 9 8 a p s 6 2 0 2 4 5 0 1 1引 言 近年来， 分数 阶微积分 及其应用 的研 究 引起 了不 同领 域科研人 员的广 泛关注， 尤其在材料 学 1 】 、流变学 2 】 、黏弹性理论 3 、电化学 4 】 、生物工 程 5 、力 学 【6 、 自动控制理论 7 、信 号处理 8 】 、 复杂量子系统 【9 】 等领域得到了广泛研究 含有分数 阶微积分 的系统甚至被称为 2 1世纪的系统 【 l 0 j ， 由 此可见其重要性 与常规 的整数阶微积分系统相 比较， 含有分数 阶微积

4、 分的系统 具有 更多的优越性， 这也是 其得 到广泛 关注 的原因之一， 但 是其分析方法 也变得 更加复杂和 困难 在动力学领域， 对分数阶微积分 系统的研究一方面集中在系统的动力学行为方面， 如混沌、分岔等现象的探索 【1 1 3 l ， 另一方面集中 在运用各种近似理论对系统响应的近似求解问题 上 f l 4 1 6 1 由于分数阶微积分和系统中的非线性项 在求解过程中会带来诸多的困难， 因此用解析法 可 以求解的非线性系统还是非常有限的 Y a n g和 Z h u用快慢变量分离法研究 了双频信号激励 下的 D u f fi n g系统， 得到 了系统对高频激励和低频激励 响应的近似

5、解， 并基于此研究了系统的振动共振现 象， 发现 了常规的整数 阶 Du f fi n g系统所不具有 的 新现象 _ 1 4 _ S h e n等人分别研究了简谐信号激励 下 的 D u f fi n g系统 1 5 和线性单 自由度系统 1 6 ， 利用 平均法得到了系统响应的幅频特性， 并对分数阶导 数阻尼对系统响应的影响作用进行了分析 处理非线性系统的响应问题， 平均法无疑是一 种非常方便且有效的方法， 但对于一般的线性系统， 用谐波平衡法求解有时则更为方便 本文仍 以文献 1 6 】中的模型为研究对象， 使用谐波平衡法得到系 统响应 的近似解 我们发现， 使用两种方法得到的 结果是完

6、全一致的， 且用谐波平衡法使得求解过程 大为简化 另外， 我们还扩展 了分数阶阻尼微分阶 数的取值范围 再者， 基于前一部分 的结果， 我们还 推导得到了系统对任意的非简谐周期信号响应 的 近似解， 并 以周期方波信号和周期全波正弦信号为 中央高校基本科研业务费专项基金 ( 批准号： 2 0 1 2 Q NA 2 1 ) 和江苏省高校优势学科建设工程资助的课题 十 通讯作者 E ma i l ： j i a n h u a y a n g c u m t e d u c n 2 0 1 3中 国 物 理 学 会 C h i n e s e P h y s ic a l S o c ie t y

7、 h t t p ： w u l i x b h y a c c n 0 2 4 5 0 1 1 物 理 学 报A c t a P h y s S i n V o 1 6 2 ， N o 2( 2 0 1 3 )0 2 4 5 0 1 例进行 了说 明 通过数值模拟验证表 明， 近似解和 数值解符合 良好， 用本文的方法来分析任意周期信 号激励 下分数阶线性系统的响应特性是有效的 2 简谐 信 号激励 下系 统响应 的幅频 特性 研究模型为受余弦信号激励 的含分数阶导数 阻尼 的单 自由度线性系统， 即 ， ( f ) + ) +c k ( t ) +K I D p ( f ) =F c o

8、s ( fo t ) ，( 1 ) 其 中 m， k ， C分别表 示系统的质量， 线性 刚度系数， 线性阻尼系数， F和 分别表示激励信号的幅值和 频率 D P x ( t ) 为 ( f ) 关于时间t 的P阶微分， 表示 分数阶导数阻尼， l 为分数阶导数阻尼的系数 关 于分数阶微积分的定义较多， 最常用的为 R i e ma n n L i o u v i l l e 定义， C a p u t o定义和 Gr t i n wa l d L e t n i k o v定 义 1 7 在一定条件下， 这三种 定义是等价的 为便 于数值计算， 本文采用 Gr t i n w a l d L

9、 e t n i k o v定义， 即 = lf= l i m 1p k -1 、 f p 1 f (k h 一 川， (2 ) 其 中( p0 ) = ， ( ) = 二 ， 1为二项式 系数在工程应用 中， 分数 阶微 分 阶数 P的取值范围一般为 P( 0 ， 2 ) ， 本文也选取 P( 0 ， 2 ) 因此， 我们扩展了文献 1 6 】 中分数阶导 数阻尼 的微分阶数 P的取值范围 2 1近似解析解 设方程 ( 1 ) 的近似解为 x ( t ) =a c o s ( m t 一 ) ， ( 3 ) 则 戈 ( ) =一 a o 9 s i n ( o t e ) ， 2 ( t )

10、 =一 a o ) c o s ( ro t 一 ) ， D p ( ) = P c o s ( 一日 + ) ( 4 ) 将 ( 4 ) 式代入 ( 1 ) 式， 利用三角公式计算并分别 比较 方程中等号两侧 s i n ( c o t 一0 ) 和 C O S ( CO t 一0 ) 的系数 后得到方程组 ( |i= 一 n ) ) +以 K 1 co P C O S p 7T =F c 。 s e ， 以 (c fO W K l m n 等 ) = ( 5 ) 解此方程组得 c C O+ Kl C O p s i n t an一 k m 0 ) 2 K1 0 )PCO箨S 一 + ( 6

11、 ) 式 的结果和文献 1 6 】中的结果是完全相 同 的， 但本文 的计算过程大为简化， 由此可见在处理 含分数阶导数阻尼的单 自由度线性系统响应 问题 时， 谐波平衡法 比平均法更具有优越性 如果将系 统 ( 1 ) 中的激励信号换为正弦信号， 即 ， ) +k x ( t ) +c 贾 ) + D p ( f ) =F s i n ( o g t ) ，( 7 ) 利用相 同的分析方法得到系统响应的近似解为 x ( t ) =a s i n ( o t 一9 ) ， ( 8 ) ( 6 ) 2 2数值仿真结果分析 利用计算傅里叶系数 的方法可 以得 到系统 响 应在激励信号频率 处幅值的

12、数值解， 即 J 。 。 。 。 _ 。 。 。 。 。 。 。 _ 。 。 。 。 。 一 日 =、 n + 以 ， (9 ) 其中a 和 a 。 分别为系统响应在激励信号频率 处 的正弦和余弦傅里叶分量， 其定义式为 口 = 2 f om ( n ( ) 2 f mT 口 c 0 (f ) c 。 s (C 0 t ) d t ， ( 1 0 ) 振幅 a和相位角 0仍由 ( 6 ) 式来表示 m为正整数， 一般要在系统的响应稳定之后再运行 6 7 物 理 学 报A c t aP h y s S i n V o 1 6 2 ， N o 2( 2 0 1 3 )0 2 4 5 0 1 m个周

13、期 在本文的数值仿真计算中， 选取 m=8 0 我们利用分数阶导数 的 G r i J n w a l d L e t n i k o v定 义来离散系统 ( 1 ) ， 得到响应的时间序列 ( f ) 根据 分数阶算子的叠加关系 D q D P x ( t ) =D q + p ( f ) 将 系统 ( 1 ) 变形为 D p ( ) = ) I( f ) ， D1 - p Ly ( t ) = z ( f ) ， = - z ( ) 一c z ( t ) 一K l y ( t ) +F c o s ( CO t ) ( 1 1 ) 选取适 当的步长， 将 ( 1 1 ) 式离散化， 通过循

14、环计算 可得到 ( f ) ， 具体 的离散及计算过程在文献 1 4 ， 1 7 】 中有详细介绍， 此处不再赘述 在 以下的数值仿真 过程 中， 如无特殊说明， 均参照文献 1 6 将基本参 数选取为 m=5 ， k =1 0 ， C =0 3 ， F=2 ， K1 =1 5 ， 以 便进行比较 2 8 1 0 3 0 0 p 图 1给 出了系统响应 的幅值 a与激 励信 号的 频率 c o及分数阶导数阻尼 的微分阶数 P之间的函 数关系 该 图表 明， 分数阶导数 阻尼 的微分阶数 P 影响系统的共振频率和共振振幅， 这一点不仅可以 在数值模拟结果上观察到， 也可以通过利用对响应 幅值 a

15、求极值的方法得到 图 l ( a ) 是根据 ( 6 ) 式给 出的近似解三维图形， 从 图上可 以看 出共振振幅与 分数阶导数阻尼的微分阶数 P之间的函数关系 在 区间P( 0 ， 2 ) 共振振幅a m a x 与分数阶导数阻尼的 微分阶数 P之间并不具有单调性， 而是一种非单调 关系， 即随着 P的逐渐增大， 共振振幅先逐渐减小 而后再逐渐增大 文献 1 6 中由于 P的范围限制在 O ， 1 】 之 间， 因此只发现了共振振幅随着 P的增大将 逐渐减小这一规律， 本文结果是文献 1 6 中相关结 果 的补充图 1 ( b ) 一( d ) 给 出了近似解和数值解 的 对 比曲线， 两种解 基本符合， 因此本文的分析方法 是可行的 图 1 余弦信号激励下系统响应的幅频特性( a ) 近似解； ( b ) P=0 5 ； ( c ) P=1 0 ； ( d ) P=1 5 图 2给 出了系统响应幅值 a与分数 阶导数 阻 尼的微分阶数 P之间的函数依赖关系 我们发现， 当