雨滴下落收尾速度的一般讨论

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1、物理 与工程Vo 1 2 0 N o 5 2 0 1 0 雨滴 下 落收 尾 速 度 的一 般讨 论 刘俊 杰 周 秀芝 ( 滨 州 医学院烟 台校 区物理 学 教研 室 ， 山东 烟 台 2 6 4 0 0 3 ) ( 收稿 日期 ：2 0 1 0 0 3 2 2 ) 摘 要 运 用流体 力 学 的相关知 识 ， 分 析 了雨 滴下 落 所 受 的粘 性 阻力和 压 差 阻力 ， 考 虑 雨 滴在 空气 中下 落半 径增 加 对 雨滴速 度 的影 响 ， 得 出 了雨 滴下 落速 度 和 雨滴 半径 的关 系， 对 雨 滴下 落收尾 速度进 行 了一般讨论 关键 词 雨 滴 ； 粘 性 阻力

2、 ； 压 差 阻力 ； 雷诺数 ； 收尾 速度 CoM M oN DI S CUS Sl ON OF THE TERM I NAL VELoCI TY oF THE FALLI NG RAI NDRoPS Li u J u n i i e Z h o u Xi u z h i ( Ph y s i c s Te a c h i n g a n d Re s e a r c h De p a r t me n t ，Bi n z h o u M e d i c a l Co l l e g e， Ya n t a i ，Sh a n d o n g 2 6 4 0 0 3) Ab s t r a

3、 c t Us i ng t he kn owl e dg e o f hy dr o me c h a n i c s，we a n a l y z e d t h e i m p a c t of v i s c ou s dr a g a n d pr e s s u r e d r a g o f t he r a i nd r op Co ns i de r i ng t he i nf l u e n c e o f t h e i nc r e a s i ng r a d i us o n t h e v e l o c i t y o f t h e r a i nd r o

4、p s，we ga ve t he r e l a t i on s h i p be t we e n t he f a l l i n g ve l o c i t y a n d t h e r a d i u s o f t he r a i nd r op s The t e r m i na l ve l o c i t y o f t he f a l l i ng r a i n dr o ps ha s b e e n c o m mo nl y d i s c u s s e d Ke y W o r d s r a i nd r op；v i s c o us d r a

5、 g；p r e s s ur e r e s i s t a nc e；Re yn ol ds n umbe r；t e r mi n a l ve l oc i t y 1 引言 下雨 是常 见 的 自然 现象 ， 如 果 雨 滴 下 落 为 自 由落体运 动 ， 则 雨滴 落到地 面时 ， 速度 可 达 到数 百 米 每秒 ， 对地 表 动植 物 危 害 十 分 巨 大 但 实 际 上 ， 动植 物都 没 有 被雨 滴 砸 伤 因 为雨 滴 下 落 时不 仅 受重 力 ， 还 受空气 的浮力 和 阻力 ， 并 不 是 自由落 体 运动 ， 三 者共 同作 用 于雨滴 ， 才 使 得无 论

6、 是 小雨 淅 沥还是大雨滂沱， 雨 滴都不会 因速度太大而将人 畜击 伤 如果将 雨滴 看 作 质 点 ， 不 考 虑 空 气 浮 力 和 阻 力 ， 而作 自由落体 运 动 由质点 运 动学 的相 关公 式 1 一g t 和 h一去g t 可知 ， 雨滴从 2 0 0 0 m高的云层 厶 下落到地 面时 的速度 约 为 2 0 0 m s ， 时 速 7 2 0 k m h ， 大约是 F 1赛 车 的两 倍 根 据 动 量 定 理 粗 略 计 算 ， 一个直 径为 5 mm 的 如此 速 度 的 雨 滴撞 击 在 物 体 表 面产 生 的作 用力 超过 5 0 0 N， 与一 个成 年

7、人 的重 力 相 当 这样 的雨 滴 砸 在 人 身 上 ， 后 果 不 堪 设 想 但 实际 上雨 滴 在 空 气 中下 落 时 ， 它所 受 到 的空 气 阻力将 随它 下 落 速 度 的增 加 而 增 加 ， 因此 雨 滴 下 落 时 的加速 度 不 像 自 由落体 那 样 恒 定 不 变 ， 其 下 落速度也不会像 自由落体那样增加 文献 1 4 中 ， 把雨 滴看作 质量 不变 的球 体进 行 研 究 ， 没有 考 虑雨滴半径增加对其下落速度 的影响 ， 得 出雨滴 下 落最 后将 达 到 一 个 恒定 不 变 的最 大 速 度 ， 叫做 收尾速 度 然 而 ， 雨 滴在 下落 过程

8、 中不 断吸 收 空气 中的水 汽尘埃 等 ， 半 径将 会有 所增 加 假 设雨 滴 从 2 0 0 0 m 高 空下 落 ， 空 气 中水 蒸 气含 量 为 1 ， 雨 滴 通 过 的空间 内全 部 水蒸 气 被 其 吸收 ， 则 雨 滴 半 径 增 加量 至少 和其初 始半 径相 当 可 见 ， 雨 滴 半径 增 加量 不 可以 忽 略 但 由于不 同 大气 条 件 下 雨 滴 半 径增 加量 也 不尽 相 同 ， 精 确讨 论 雨 滴 半 径 的 增 加 作者简介刘俊杰( 1 9 7 9年出生 ) ， 男 ， 讲师 ， 山东威海人 ， 主要从 事医学物理学 的教学与科研 物理与工 程V

9、o 1 2 O No 5 2 0 1 0 量是 不可能 的 为不使 问题过 于复 杂而偏 离 主题 ， 在此 ， 只讨 论雨 滴 半 径 增 加量 的上 下 限 ：下 限为 零 ， 上限在接下 来的讨论 中将根据 实际情况 而定 由于考虑 了下 落 雨滴 半 径 的增加 ， 雨滴 下 落 速度将 随时 间 的增 加 而一 直 增加 ， 直 到 落 至地 面 时才强 行终 止 ， 将 不 存 在严 格 意 义上 恒 定不 变 的 收尾速度 在此 ， 将 雨滴 收尾 速度 视为 雨滴 下 落过 程 中的最 大速度 ， 即雨滴落至地 面时 的速度 雨滴下 落 区别 于 自由落 体 运动 ， 空 气

10、阻 力起 了关键作用 2空气 阻力分 类 由流体力 学可知 ， 雨 滴在空 气 中下落 ， 所受 阻 力有两种 ， 分别是 粘性阻力 和压差阻力 _ 5 2 1 粘性 阻力 雨滴 表面 附着着 一层空 气 ， 即附 面层 附面层 靠 近雨滴 的空 气微 团相对 于雨 滴静 止 ， 附 面层 外 侧 空气微 团相 对 于雨 滴有 一 定 流速 ， 造 成 雨滴 表 面附近 的空 气存 在 速 度梯 度 ， 因而空 气 层 之 间有 阻碍 雨滴下落 的摩 擦力 ， 叫做粘性阻 力 比较小 的 物 体 在 粘 性 较 大 的 流体 中 缓 慢 运 动 ， 即雷诺 数 很小 的情况 下 ， 该 阻力

11、是 主要 因 素 ， 著 名 的斯 托 克 斯 公 式 描 述球 形 物 体 受 到 的 粘 性 阻力 f l= 6 r l r v 式 中 ， 即是空 气 的粘滞 系数 ； r 是 雨滴 的半 径 ； 是 雨滴 的下 落速 度 该 公式 在 雷诺数 比 l小很 多 时 才正确 ， 即 R e d 1 雷 诺 数是 一 个无 量 纲 的数 ， 为 ， R 一 ； 是 与物体横截 面积 相联 系的特 征长 度 ； 刀是流体 的粘 滞系数 ， 式 中的 口是物体 的速度 2 2 压 差阻力 雨滴表 面处有 附 面 层 ， 远离 附面 层 处气 流受 附 面层 影 响 小 ， 流 速 快 ； 靠 近

12、 附 面 层 处 的 气 流 缓 慢 ， 因而在 雨滴上 方 ， 便 因靠 近 附面层 的空 气未 及 时赶到而 留下 空 间 ， 于是 外 层空 气 便 回旋 过 来 补 充 从而形成 涡旋 雨滴 上方 涡旋产 生 ， 所 以上方 的 气压便 小于 下 方气 压 ， 压 强差 构 成 雨滴 下 落 的 阻 力 ， 叫做 压差阻力 压差 阻力 与粘 性 阻力 同时 存 在 ， 但 涡 旋产 生 后 ， 粘性 阻力不 占重要地位 球形物体 在流体 中所受压差 阻力为 = =1p Cd 5 2 上式 中的 p是流体 密度 i S是物体 与流体 垂直方 向 的最大横截 面积 ； C d叫做 阻力系数

13、 3雨滴下落 的物理模 型 降雨云层 的厚 度 一 般 为 几 千米 ， 云层 的下 表 面距地 面大 约 为 2 0 0 0 m 极 小 雨 滴 在 云层 中经 过 漫长 的过 程 成 长 为 可 以从 云层 中掉 落 的较 大雨 滴 ， 成 为我们 通 常见 到 的降 雨 观 测 发 现 ， 普通 雨滴 的直 径约 为 2 mm， 最大 雨滴 的直 径 为 4 mm， 再 大些 的雨滴 会 由于不 稳 定 而破 裂 为 较 小雨 滴 在此 ， 最 大雨滴直径 取为 3 6 ram_ 8 结合前 面的分析 ， 将雨滴 视 为球 体 ， 并 且分 为 两类 ， 一类在 下 落 过程 中虽 然半

14、 径 增 加但 尺 度 仍 然极 小 ， 所受 空气阻力 始终 以粘性 阻力 为 主 ； 一类 半径较 大 ， 下 落过程 中其 上表 面产 生 涡旋 ， 所 受空 气阻力 以压差 阻力 为主 4雨滴下落 的分类 讨论 4 1空气 阻力 以 粘 性 阻 力 为 主 雨滴在重 力 、 浮力 和粘性 阻 力 的共 同作用 下 ， 运动 方程 为 一 ( 一 ) g 一 6 7 r q r v ( 1 ) 式 中， 4 r ? - 3 ， m， 一 4 7 c r 3 l0 空( 下 同) 先不考 虑雨滴半 径增加 ， 即将 视 为常量 ， 上 式 可写为 一 一k v ( 2)d tg L J 上

15、 式 一 署 一 g ( - F N ) 6 7 rr r一 取初始 条件 ( 0 ) 一o ， 解方 程可得 T r t Zr “ p 7 k ) 一 ( 1 e ) ( 3 ) 式 ( 2 ) 中 ， 令 警 一 o ， 可 得 收 尾 速 度 为 一 一 取 一1 0 0 X1 0 。 k gm； 1 0 空一1 2 9 3 k g m ； 叩 一1 7 11 0 k gm一 。s 一 ， 贝 4 T一 1 2 7 1 9 1 0 6 r z m s - t 因为斯托 克斯公 式 的适 用条件是 Re 物理 与工程Vo 1 2 0 N o 5 2 0 1 0 比 1小很 多 ， 将 V T代 入 R g可得若 R e -2 r p t ) T一 7 1 2 9 x 1 0 l ， 则 雨 滴 半 径 ， 0 3 6 x 1 0 1 T I 假设 存 在 r 一0 2 1 0 r n的极 小 雨滴 ， 则 其 收 尾 速度 一 5 0 8 81 0 m S ， 雨滴 几 乎 瞬 间 就 能 达到 这个速 度 因为 ( )一 T