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1、密 级 公 开 本科生毕业（学位）论文本科生毕业（学位）论文关于电磁学理论对称性的研究关于电磁学理论对称性的研究彭中桃彭中桃 (2009061119)指导教师姓名：刘晓春职 称：讲师单 位：物理与电子科学系专 业 名 称：物理学论文提交日期：论文答辩日期：学位授予单位：黔南民族师范学院论 文 评 阅 人:20 年 月 日1关于电磁学理论对称性的研究关于电磁学理论对称性的研究 彭中桃彭中桃 （黔南民族师范学院物理系与电子科学系 2009061119）摘要：摘要：在电磁学理论中，多处存在着的对称性，同时，对称性是物理学 中一个重要的概念，更是现代物理理论重要组成部分。利用对称性原理 进行分析教学是
2、一种极为有效的方法，本文主要对电磁学理论中存在的 对称性理论进行研究，并阐述对称性原理在电磁学中的应用，以及对称 性原理解题的一般思路和方法，从而有助于今后的教学工作。关键词：关键词：对称性原理；电磁学；电场；磁场；场强Research on electromagnetic theory symmetry Peng Zhong-tao (Department of Physics and Electronic Science, Qiannan Normal College for Nationalities) (2009061119) Abstract: Symmetry in electro
3、magnetic theory, many exist, at the same time, the symmetry is an important concept in physics, it is an important part of the modern physical theory. The use of the principle of symmetry analysis of teaching is a very effective method, the symmetry of the theory of electromagnetic theory, and expla
4、ins the application of the principle of symmetry in electromagnetism, as well as the principle of symmetry solving general ideas and methods, thus contributing to the future of the teaching work. Key words: The principle of symmetry; Electromagnetics; Electric field; Magnetic field; Field strength引言
5、引言：人们对对称性的认识可追溯到远古时期，最早注意到的应当是自 然界中普遍存在的现象空间对称。比如：当物体或一个系统各部分 之间比例适当、平衡、协调一致时，就会产生一种简单性和美感。所以， 对称性最初应用于打造石器和制作装饰物。随着人类文明的发展，对称 性广泛进入建筑、雕塑、文学、音乐等各个领域。在古希腊时期，对称 性终于走进了科学领域，随着经典物理学的建立，深化了人们对于对称 性的认识。 到 1918 年德国数学家艾米诺特（AENoether）提出著名的诺特 定理：作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量。从 而将对称和守恒性这两个概念紧密联系在一起，而且，诺特定理告诉我 们，一
6、个没有对称性的世界，物理定理也变动不定。从而使物理学家 6意识到，物理定律的对称性也意味着物理定律在各种变换条件下的不变 性，所以物理学中的对称性观念可以概括为：如果某一现象或系统在某 一变换下不改变，则说该现象或系统具有该变换所对应的对称性。或者 说它们存在对立性、相似性甚至是相同性。 电磁学理论中，宏观来说，电和磁其实就是一个对称的概念，电荷周 围即产生电场，磁体周围即产生磁场；电能生磁，磁也能生电；带电物 体在电场中要受到电场力的作用，在磁场中运动要受到磁场力（包括对 运动电荷的洛仑兹力和磁场对电流作用的安培力）等等。深入来探究，2诸如高斯定理、静电场与静磁场、安培环路定理、以及伟大的麦
7、克斯韦 方程组都有着强烈的对称性，下面我们一一进行深入研究。 1 利用高斯定理求解电场利用高斯定理求解电场 通过任意闭合曲面的 E 通量与该曲面所包含的净电荷成正比，这就是高斯定理。公式： 0qdsE我们知道，高斯定理主要运用在求解电场分布的问题上，下面我们来分 析几个具有对称性性质的例子。 由高斯定理求电场强度的思路： 电荷分布的对称性电场分布的对称性 适当的选取高斯面（，）nEe/ /nEe将从积分号内提出，化积分方程为代数方程求EE 1.1 例：无限长均匀带电直线的电场（）求解问题。 利用对称性原理，作图进行明了化，设空间任意一点到直线的垂直距离 为 r，利用直线为轴对称线，那么空间任意
8、一点的场强都可简易的表示出 来。解： EdEdEdll dOdlSdF=ESneE=， SdSEcosE=， 侧dSEcosne+， 左dSEcosner+， 右dSEcosEl=，侧dSErlE20l rE02例：无限大均匀带电平面的电场（） ，02E解： CABOdEEPdECP3ABSdF=ESneE=， SdSEcosnene=， 侧dSEcosESSSE+， 左dSEcoshh+ 右dSEcos=0+=，ESESES20S02E上面两题，充分的利用了电荷分布具有一定的对称性以至于场强 E 具 有轴对称以及面对称等空间对称的条件，从而能精确地表示出各种条件 下空间各点的场强。由此可见，
9、利用对称性解题既能简化问题又能很好 地帮助学生理解问题。作用可见一斑。高斯定理扩展：补偿法求电场强度 4例：带有圆孔的无限大均匀带电平面 求：圆孔轴线上的电场强度OxPOxPOxPRR解：= 2200sgn(sgn)22xxExx xR 2202Rxx例：均匀带电圆盘轴线上的电场OxPxPxP1R1R2R2R解： 22220021(sgn)(sgn)22xxxExx xRxR =)(22 222 120RxxRxx =+=+4例：均匀带电球体内挖去一小球 求：小球腔中的电场PPPOOOO= 0033Prr ee-=+EOPOP0()3r e-OPOP03r eOO小球腔内是均匀电场 E，方向
10、03Er e=OOOOOO 在求解有些特殊的问题中，不能直接用高斯定理来求解问题，因为高 斯定理应用的前提是电荷分布具有一定的对称性。这两道题利用补偿法 之后，使原题中的带电体具有一定的对称性。补偿法的精髓体现出了对 称性，把问题对称性的解出，并不影响求解结果。利用补偿法解题的思 路完全体现出了高斯定理与对称性的深刻意义。2 静电场与静磁场静电场与静磁场 在静电场中各带电体系的电场强度都可以看成是点电荷场强迭加的结果， 而点电荷场强正是从实验得到的基本规律库仑定律：3 01 4q rEr由上式可知，它是点电荷作为场源产生的电场在空间的分布，点电荷具 有球对称性。点电荷作为源它又能把这种对称性完
11、全的传递到静电场中。 在静磁场中，载流导线产生的磁场的基本规律毕-萨定律写成微分形式有0 24rIddrL eB整个回路产生的磁场是个电流元所产生的元磁场矢量迭加，式中矢径dB 从电流元指向场点的单位。re 1矢由于磁场是涡旋场，它只能满足旋转对称性，也就是轴对称，和静电 场所不同的是，静电场满足点对称，也就是球对称性。两种场各自的特 点和相似点。它们都利用对称性来求解，但是满足的对称性却不一样， 这和它们场的性质完全不一样有关。弄清楚了这一点，我们就能清晰的 解决电场和磁场分布的问题。要强调电场的对称性，可以用电场线来画出点电荷所激发的电场（如 下图 1） 。同理，电流元所激发的磁场具有轴对
12、称性（如图二） 。+=5（图一）（图二） 2上面图一、图二的分别表示出了静电场与磁场场强分布的特点，图像 直观、形象。对称性是一个抽象的概念，往往让初学者很难理解，但是 如果借助图像，理解起来会更加轻松，印象会更加深刻。在学习物理时， 一定要善于作图，发掘图像所具备的价值。 静电场和静磁场是电磁学部分非常重要的内容，占有绝大部分的篇幅. 静电场和静磁场的规律有很多可相互类比的地方。所以总结两部分内容 的相似点，进行比较，提炼相似部分的相异点具有重要意义。3 安培环路定理安培环路定理 当激发磁场的是一根无限长直导线时，某闭曲线包围该电流，那么 成立这样一个表达式： 0LdlnI B这就是安培环路
13、定理。当电流分布具有一定的对称性时，可以由电流分 布的对称性去分析磁场分布的对称性。下面我们通过一道例题来具体分 析一下。 例：无限长圆柱形均匀载流导线的磁场问题。6PBP LBrR（中图为俯视图） 0 2IBr（对rR ), 可见柱外磁场等同于全部电流集中于柱轴所得直线电流的磁场。在讨论场点 P 在导线内的情况（rR） 。对 L 使用安培环路定理得02 LIdBrgBL故有7因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场 的规律，也包含变化电磁场的规律。 3根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡
14、旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是：高斯定理安培环路定理电场在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：(2)sdgDS = 0涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是 (2)lsddt ggBEL = -S磁场变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即(2)sdgBS = 0变化的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为 (2)lsddt ggDHL =S在变化电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不可分割的一个整体
15、。 将两种电、磁场的规律合并在一起，就得到电磁场的基本规律，称之为 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组，表示如下：isidqgDS =sdgBS = 0cissidIdt+ggDHL =SsSddt ggBEL = -S上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式。 将麦克斯韦方程组的积分形式用高等数学中的方法可变换为微分形式。微分形式的方程组如下： gD = tBE = -ct+DH = jgB = 08从上面的阐述可见，麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不 可分割的整体。 麦克斯韦方程组高度地概括了电场、磁场的基本性质， 以及电场和磁场之间相互激励的普遍规律。方程组简洁，一目了然，具
