利用excel进行时间序列的谱分析(i)

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1、 1利用利用 Excel 进行时间序列的谱分析（进行时间序列的谱分析（I） 在频域分析中， 功率谱是揭示时间序列周期特性的最为有力的工具之一。 下面列举几个 例子，分别从不同的角度识别时间序列的周期。 1 时间序列的周期图时间序列的周期图 【例 1】某水文观测站测得一条河流从 1979 年 6 月到 1980 年 5 月共计 12 月份的断面平均 流量。试判断该河流的径流量变化是否具有周期性，周期长度大约为多少？ 分析：假定将时间序列 xt展开为 Fourier 级数，则可表示为 =+=kitiiiittfbtfax1)2sin2cos( (1) 式中 fi为频率，t 为时间序号，k 为周期分

2、量的个数即主周期（基波）及其谐波的个数，t 为标准误差（白噪声序列） 。当频率 fi给定时，式（1）可以视为多元线性回归模型，可以证 明，待定系数 ai、bi的最小二乘估计为 =NtitiNtititfxNbtfxNa112sin22cos2（2） 这里 N 为观测值的个数。定义时间序列的周期图为 )(2)(22 iiibaNfI+=，ki, 2 , 1= (3) 式中 I(fi)为频率 fi处的强度。以 fi为横轴，以 I(fi)为纵轴，绘制时间序列的周期图，可以在 最大值处找到时间序列的周期。对于本例，N=12，t=1,2,N，fi=i/N，下面借助 Excel，利 用上述公式，计算有关参

3、数并分析时间序列的周期特性。 第一步，录入数据，并将数据标准化或中心化（图 1） 。 图 1 录入的数据及其中心化结果 图 1 录入的数据及其中心化结果 2中心化与标准化的区别在于，只需将原始数据减去均值，而不必再除以标准差。不难想 到，中心化的数据均值为 0，但方差与原始数据相同（未必为 1） 。 第二步，计算三角函数值 为了借助式（1）计算参数 ai、bi，首先需要计算正弦值和余弦值。 取6 , 2 , 1=i，则频率为12/6 ,12/2 ,12/1/=Nifi（图 1） 。 将频率写在单元格 C3-C14 中（根据对称性，我们只用前 6 个） ，将中心化的数据转置 粘贴于第一行的单元格

4、 D1-O1 中，月份的序号写在单元格 D2-O2 中（与中心化数据对齐） 。 图 2 计算余弦值的表格 图 2 计算余弦值的表格 在 D2 单元格中输入公式“=COS($B$1*$D$2*C3)” ，回车得到 0.866；按住单元格的右 下角右拉至 O3 单元格，得到 f=1/12=0.083，t=1,2,12 时的全部余弦值。在 D2 单元格中输 入公式“=COS($B$1*$D$2*C4)” ，回车得到 0.5；按住单元格的右下角右拉至 O4 单元格， 得到 f=2/12=0.167， t=1,2,12 时的全部余弦值。 依次类推， 可以算出全部所要的余弦值 （在 D3-O8 区域中）

5、。根据对称性，我们的计算到 k=6 为止（图 2） 。注意，这里 B1 单元格是 2=6.28319（图中未能显示） 。 在上面的计算中，只要将公式中的“COS”换成“SIN” ，即可得到正弦值，不过为了 计算过程清楚明白，最好在另外一个区域给出结算结果（在 D17-O22 区域中，参见图 3） 。 图 3 计算正弦值的表格 图 3 计算正弦值的表格 第三步，计算参数 ai、bi 利用中心化的数据（仍然表作 xt）计算参数 ai、bi。首先算出 xtcos2fit 和 xtsins2fit。在 D9 单元格中输入公式“=D1*D3” ，回车得到 18.309；按住单元格的右下角右拉至 O9 单

6、元 格，得到 f=1/12=0.083，t=1,2,12 时的全部 xtcos2fit 值；加和得 39.584，再除以 6，即得 a1=6.597。在 D10 单元格中输入公式“=D1*D4” ，回车得到 10.571；按住单元格的右下角右 拉至 O10 单元格，得到 f=2/12=0.083，t=1,2,12 时的全部 xtcos2fit 值；加和得-365.25，再 除以 6，得到 a2=-60.875。其余依此类推。 将上面公式中的余弦值换成正弦值，即可得到 bi值（见下表） 。上面的计算过程相当于3采用式（2）进行逐步计算。 第四步，计算频率强度 利用式（3） ，非常容易算出 I(f

7、i)值。例如 914.174096)213.170597. 6(*6)(2)(222 12 11=+=+=baNfI 其余依此类推（见图 4） 。 图 4 计算频率强度 图 4 计算频率强度 第五步，绘制时间序列周期图 利用图 4 中的数据，不难画出周期图（图 5） 。 02000040000600008000010000012000014000016000018000020000000.10.20.30.40.50.6频率频率强度图 5 某河流径流量的周期图（1979 年 6 月1980 年 5 月） 图 5 某河流径流量的周期图（1979 年 6 月1980 年 5 月） 第六步，周期识别

8、 关键是寻找频率的极值点或突变点。在本例中，没有极值点，但在 f1=1/12=0.0833 处， 频率强度突然增加（陡增） ，而此时 T=1/f1=12，故可判断时间序列可能存在一个 12 月的周 期，即 1 年周期。 4【例 2】为了映证上述判断，我们借助同一条河流的连续两年的平均月径流量（1961 年 6 月1963 年 5 月） 。原始数据见下图（图 6） 。 图 6 原始数据及部分处理结果 图 6 原始数据及部分处理结果 将原始数据回车时间序列变化图，可以初步估计具有 12 月变化周期，但不能肯定（图 6） 。 050100150200250300350051015202530时间（月

9、份序号）月平均径流量图 6 径流量的月变化图（1961 年 6 月1963 年 5 月） 图 6 径流量的月变化图（1961 年 6 月1963 年 5 月） 5按照例 1 给出的计算步骤，计算参数数 ai、bi，进而计算频率强度（结果将图 7） 。然后 绘制时间序列的周期图（图 8） 。注意这里，N=24，我们取 k=12。 图 7 参数和频率强度的计算结果 图 7 参数和频率强度的计算结果 从图 8 中可以看出，频率强度的最大值（极值点）对应于频率 f1=1/12=0.0833，故时间 序列的周期判断为 T=1/f1=12。这与用 12 月的数据进行估计的结果是一致的，但由于例 2 的 时

10、间序列比例 1 的时间序列长 1 倍，故判断结果更为可靠。 02000040000600008000010000012000014000000.10.20.30.40.50.6频率频率强度图 8 某河流径流量的周期图（1961 年 6 月1963 年 5 月） 图 8 某河流径流量的周期图（1961 年 6 月1963 年 5 月） 2 时间序列的频谱图时间序列的频谱图 【例 3】首先考虑对例 1 的数据进行功率谱分析。例 1 的时间序列较短，分析的效果不 佳，但计算过程简短。给出这个例子，主要是帮助大家理解 Fourier 变换过程和方法。为了 进行 Fourier 分析，需要对数据进行预处

11、理。第一，将数据中心化，即用原始数据减去其平 均值。中心化的数据均值为 0，我们对中心化的数据进行变换，其周期更为明显。第二，由 于 Fourier 分析通常采用所谓快速 Fourier 变换（Fast Fourier Transformation，FFT） ，而 FFT 要求数据必须为 2n个，这里 n 为正整数（1,2,3,） ，而我们的样本为 N=12，它不是 2 的某6个 n 次方。因此，在中心化的数据后面加上 4 个 0，这样新的样本数为 N=1241624 个，这才符合 FFT 的需要（图 9） 。下面，我们对延长后的中心化数据进行 Fourier 变换。 图 9 数据的中心化与“

12、延长” 图 9 数据的中心化与“延长” 第一步，打开 Foureir 分析对话框 沿着主菜单的“工具（Tools） ”“数据分析（Data Analysis） ”路径打开数据分析选项 框（图 10） ，从中选择“傅立叶分析（Fourier Analysis） ” 。 图 10 在数据分析选项框中选择 Fourier 分析 图 10 在数据分析选项框中选择 Fourier 分析 第二步，定义变量和输出区域 确定之后，弹出傅立叶分析对话框，根据数据在工作表中的分布情况进行如下设置： 将光标置于“输入区域”对应的空白栏，然后用鼠标选中单元格 C1-C17，这时空白栏 中自动以绝对单元格的形式定义中心

13、化数据的区域范围（即$C$1-$C$17） 。 选中“标志位于第一行” 。 选中输出区域，定义范围为 D2-D17（图 11） 。 注意：如果输入区域的数据范围定义为 C2-C17，则不要选中“标志位于第一行” ，这与 回归分析中的原始变量定义是一样的（图 12） 。如果不定义输出区域范围，则变换结果将会 自动给在新的工作表组上。这一点也与回归分析一样。 7图 11 选中“标志位于第一行”与数据输入范围的定义 图 11 选中“标志位于第一行”与数据输入范围的定义 图 12 不选中“标志位于第一行”与数据输入范围的定义 图 12 不选中“标志位于第一行”与数据输入范围的定义 第三步，结果转换 定

14、义数据输入输出区域完成之后，确定，立即得到 Fourier 变换的结果（图 13） 。 图 13 傅立叶变换的结果 图 13 傅立叶变换的结果 8变换的结果为一组复数，相当于将 f(t)变成了 F()，实际上是将 xt变成了 XT(f)。我们知 道，有了 f(t)的象函数 F()就可以计算能量谱密度函数 S()，即有 2)()()()(FFFS= (4) 相应地，有了 XT(f)也就容易计算功率谱（密度） TfXfPT2)()(= (5) 式中 f 表示线频率，与角频率 的转换关系是 =2/T，这里 T 为数据区间长度。 如果将 XT(f)表作 XT(f)=A+jB（这里 A 为实部，B 为虚

15、部） ，则有 222)()()()(iiiiiiiTiTiTBAjBAjBAfXfXfX+=+= （6） 因此这一步是要分离变换结果的实部与虚部。逐个手动提取是非常麻烦而且容易出错 的，可以利用 Excel 有关复数计算的命令。提取实部的 Excel 命令是 imreal。在 H2 单元格 中输入命令“=IMREAL(D2)” （这里 D2 为变换结果的第一个复数所在的单元格） ，回车得到 第一个复数的实部 0；点中 H2 单元格的右下角，揿住鼠标左键下拉至 H17，得到全部的实 部数值。提取虚部的命令是 imaginary。在 I2 单元格中输入公式“=IMAGINARY(D2)” ，回 车得到第一个复数的虚部 0；下拉至 I17，得到全部的虚部数值。根据式（5） 、 （6） ，功率谱 密度的计算公式为 TBAfPii i22 )(+= （7） 考虑到本例中 T=N=16，在 J2 单元格中输入公式“=(H22+I22)/16” ，回车得到第一个功率 谱密度 0；下拉至 J17，得到全部谱密度数值（图 14） 。基于 FFT 的谱密度分布是对称的， 可以看出，以 J10 所在的 3105.28 为对称点，上下的数值完全对称。 图 14 功率谱密度的计算结果 图 14 功率谱密度的计算结果 9第四步，绘制频谱图 线频率 fi可以表作 N