【2017年整理】工程断裂力学第五章new

第五章 弹塑性断裂力学 的基本概念 5-1 Irwin对裂端塑性区的估计 线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随 r-1/2而变化当 r->0时，即趋近于裂纹端点，应力无限大事实上，不论强度多么高的材料， 无限大的应力是不可能存在的 尤其是断裂力学主要应用于金属材料，金属材料总有一定的塑性，塑性流动的发生使这种无限大应力的结果并不符实当含裂纹的弹塑性体受到外载荷作用时， 裂纹端点附近有个塑性区 (plastic zone)，塑性区内的应力是有界的 ，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强度有关 裂端塑性区 对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零构件尺寸相比可忽略不计此时，线弹性断裂力学的理论和应力强度因子的概念完全适用当塑性区尺寸不合忽略时，则必须给一定的修正， 才能应用线弹性断裂力学结果 裂端塑性区 若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸，则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场强度的新力学参量这属于塑性断裂力学的内容 现在的问题是：如何估算裂端塑性区的形状、大小？ 裂端塑性区尺寸的初步估计 Irwin首先对裂纹尖端塑性区的尺寸给予初步的估计 。

假设裂纹是 I型 ， 裂端前 r等于 r*p处 y方向的拉伸应力刚好达到屈服应力 σys,则 r*p就是塑性区的尺寸 用公式表示如下 : 所以塑性区尺寸为： ysprry rKp   *02*22*2 yspKrI型裂纹的应力场 由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为 ＋高次项 在裂端区，即 r足够小的情形下，式中 r的高次项比首项小得多，因而可以忽略 所以裂纹前沿任一点的 σx =σy=σ 23c os2c os2s i n223s i n2s i n12c os223s i n2s i n12c os2rKrKrKIxyIyIx裂端塑性区尺寸 平面应力时： 平面应变时： 按 上 式估计的塑性区尺寸被认为过于偏小因为平面应变时，塑性内的应力分布并不是恒为 σ ys，而是呈峰形分布 Irwin建议取平面应变时裂端塑性区尺寸 为： 22*2 spKr22*2)21(spKr22*6 spKr裂纹有效长度 第二步估计可以假设裂纹的有效长度为 aeff， 而 aeff=a+ρ，这里 ρ大于零 。

用此 aeff来计算应力强度因子 Keff和应力场 如图所示 ， 仍是 I型裂纹 ， 当有效裂纹端点前 λ处的 σy等于σys时 ， 则 : 得： yseffK  2222 yseffK Irwin塑性区的再度估计 当 ρ<

由此他仿照 Irwin有效裂纹长度的概念，认为裂纹的有效半长度是 a+ρ这里 ρ是塑性区尺寸由于在 a到a+ρ间的有效裂纹表面受到屈服应力引起的压缩，所以这一段没有开裂因此他假设：塑性区尺寸 ρ的大小，刚好使有效裂纹端点消失了应力奇异性 Dugdale模型 对于无限大平板 I型中心裂纹，设此裂纹受到无穷远处均匀拉伸应力 σ作用，此时有效应力强度因子为： 利用叠加原理 ， 在裂纹两边都受到离中心为 x处的一对集中压力 (-σysdx)作用下 ， 右裂端的应力强度因子为 : )(   aK)()()()()()()(axaxaxaxaxaadxdK ysDugdale模型 上式中括号内的第一项来自 y轴右边的集中力，第二项来自左边的集中力对上式从 a积分到 a+ρ ，则可得作用在塑性区上的应力强度因子 Kρ ： Dugdale模型假设在有效裂纹裂端的应力奇异性消失，即有： 整理得确定塑性区尺寸的条件为 ：      a aaK ys 1co s20  KK ysaa 2co s大范围屈服时塑性区尺寸 由此式直接解出 Dugdale模型 以 Griffith裂纹为例 ， 在小范围屈服时： 与 Irwin第二步估计比较 ， 上式给出的塑性区尺寸要比 Irwin估计稍大 。

Dugdale模型比较简单，有时还可得到解析表达式，因此作为大范围屈服的塑性区初步估计在工程上还是可行的 但是 Irwin模型和 Dugdale模型都只给出了裂纹前沿塑性区尺寸，没有给出塑性区形状，这在下一节讨论 222288 sysKa习 题 1． 若把 Dugdale模型扩充到 III型裂纹 ， 试求图中确定塑性区尺寸的方程 设已知图示的裂纹的应力强度因子为： aPK25-3 裂端塑性区形状 Dugdale模型是基于狭长块的裂端塑性区而得以建立的，是简化的模型，没有考虑应力的空间状态对适用于线弹性力学的高强度材料，比较正确的形状可由 Von Misses屈服准则和 Tresca屈服准则得到 裂端塑性区形状 现在以 I型裂纹为例，裂端的主应力为： 在 范围内， I型裂纹的主应力为： 平面应力： 平面应变： 假设问题满足平面应力条件，由 Misses屈服准则 ： 222122 xyyxyx   0)2s i n1(2c o s221  rK )(0213 2213232221 2)()()( s 裂端塑性区形状 于是得 裂端到塑性区周界的距离 rp是 θ 的函数，其形式为 ： 在平面应变时：    222s i n23co s14)(spKr   2222s i n23)co s1()21(4)(spKr裂端塑性区形状 I型裂纹塑性区形状（ a） Von Mises 和 (b)Tresca屈服准则 问题在哪里？ 习 题 1. 试用 Tresca屈服准则给出 I型裂纹的裂端塑性区形状公式 。

2. 试用 Mises屈服准则作出 II型裂纹的塑性区形状 5-4 平面应力和平面应变的塑性区 除了很薄的平板，大多数的线弹性平板都处于平面应力与平面应变之间的状态因此，含有贯穿板厚裂纹的平板，其裂端塑性区的状态将从表面的平面应力塑性区过渡到内部的平面应变塑性区，其形状将如图 (5－ 7)所示，呈哑铃形塑性区的尺寸在表面较大（因为是平面应力状态），往内部则渐渐减小到平面应变塑性区的尺寸 图 5-7 平面应变过渡到平面应力的塑性区 在实际中，平面应变的断裂其断口较平整，即失稳断裂面仍在原来的裂纹平面上；而平面应力的断裂面则与原来的断裂平面成 45角 D表征了塑性区的大小 根据 剪切唇 的高度 D， 可近似地 估计破断时应力强度因子和应力水平估计公式如下： 剪切唇的存在可用最大剪切应力理论来解释，即断裂面是在最大剪切应力的平面上 2)(21spKrD 平面应力状态 5-5 裂纹尖端张开位移 CTOD 裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离裂纹张开位移简写为 COD (crack opening displacement)。

对 I型裂纹来说 : 当 时，即在裂纹面时： 2s i n2co s2)1(2222/1    rKv I 212 rKvC O D  裂纹尖端张开位移 CTOD 习惯上称在裂端的 COD为 CTOD(crack tip opening displacement) 线弹性时 CTOD=0 （ 实际上是一个点 ， 当然没有位移 ） 若用 Irwin塑性区修正 ， 真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代 ， 以 Keff代替 K， 以 rp*代替 r， 则真正裂纹端点的 CTOD为 : 因为： 小范围屈服时： Dugdale法： 21 *pe ff rKC T O D 1181  EysEKC T O D 124)]2l n [ s ec (8ysysEaC T O DCTOD与 G的关系 Irwin法： Dugdale法： ysysGGC T O D4CTOD是英国人 WeIIs首先提出的因为实验发现中低强度、高韧性钢的平板若带有穿透板厚的裂纹，在失稳断裂前，裂端有相当大的塑性区，裂纹张开位移也相当大 (肉眼可看出 )。

裂端由不加载时的尖锐形状变成加载时的钝化形状，因此， CTOD是个宏观的、力学的表征参量，在工程中得到应用，用于简单判断裂纹是否将发生扩展 启裂判据 考虑到在裂纹启裂或进一步引起失稳断裂之前，有CTOD随加载增大而增加的现象，因此，工程上采用CTOD的启裂判据或断裂判据如下 ∶ CTOD≥ 某临界值 CTOD断裂判据使用的局限性 一个是 CTOD临界值在什么条件下测试，才能显示出是材料常数 ? 另一个问题是构件的 CTOD如何求得，与试件的CTOD是不是代表同一个力学参量 ? 对于小范围屈服，第二个问题可以用前面方法解决但问题是，工程结构绝大多数是中低强度、高韧性材料，在启裂前已有相当大的裂端塑性区，而不再是属于小范围的屈服情形然而，计算大范围屈服时的 CTOD通常是很不容易的因此，工程上常用的 CTOD表达试通常是经过实验检验过的半理论半经验的表达式 尺寸效应问题 5-5 J积分简介 要想得到裂纹端点区的 弹塑性应力场 的封闭解是相当困难的Rice避开了直接求解裂端塑性应力场的困难，而提出综合度量裂端应力应变场强度的 J积分概念，是对断裂力学的重大贡献 J积分定义如下：   cii dsxuTdyWJ1这里 C是由裂纹下表面某点到裂纹上表面某点的简单的积分线路。

W1是弹性应变能密度， Ti和 ui分别为线路上作用于 ds积分单元上 i方向的面力分量和位移分量 J积分 可以证明 J积分与积分线路的选取无关 因此，可选取应力应变场较易求解的线。