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1、高中数学简化运算的小技巧 高中的题型中，思维难度最大的是数列和不等式，其次是函数，函数比较活，要靠平时 积累。然而会做高难度题型显然是不够的，很多人栽在时间不够和计算失误上。在高考有限 的时间内能尽可能挤出时间去解决高难度题型是得高分的关键之一。下面推荐几个方法，可 以减少不少运算，而且能有效提高计算准确率。 假如能在高考中节约 10 分钟，那都是异常宝贵的，更不用说提高计算准确率了。 注意：下面这些方法是高中没有讲的，在做题时一定注明用到的定理方法名称。否则遇到钻 牛角尖的改卷老师，只能白吃亏。 一.立体几何 （强烈建议学会这个方法，其他的如果觉得理解困难可以不掌握。 ） 行列式简化运算（大
2、概减少 5 分钟运算） 在涉及法向量的计算时用行列式会非常简洁。 二阶行列式 1112 2122 = 11222112 （即对角线乘积之差） 三阶行列式 111213 212223 313233可以按照某一行或者某一列展开（习惯按照行展开） 111213 212223 313233 = 112223 3233 122123 3133 + 132132 3133 （即某个元素乘以剔除这个元素所在行和列后所得的新行列式，注意第二个展开式前面是负 号，这里是最容易错的） 立体几何里要用到向量乘法扩展。 1.求平面法向量 做立体几何的试题的模式化操作无非是建立直角坐标系，然而有点难度的题都会考法向量的
3、 应用，平常解方程组的方法求法向量非常麻烦，还要讨论方向。但用这个方法非常简便，能 节省不少时间。 （大一开始就要学这个，其实高中就应该学。 ） 这是行列式最有用最简洁的地方 设方程组求解需要解三元一次方程还要指定一个变量为定值，比较麻烦而且容易出错。 下面的方法简单且容易记忆。 设是 = (1,1,1)， = (2,2,2)所成的平面的法向量 则（，是坐标轴单位向量） = 111 222按第一行展开，就求得的向量表达式 = 111 222 = 11 22 11 22 + 11 22 当然，还可以写成更简单的坐标形式。 求出的法向量最好把长度提出来写成单位向量乘以长度， 即| |= 的形式，计
4、算时直接算单位向量要方便得多。 因为某向量在单位向量的方向的投影就是 步骤： = 行列式 = 行列式展开式 = 坐标式 = 顺便说一下| = | 。 （显然，若 = ，则,共线，等效 = ） 的大小等于，所成平行四边形的面积 （这个就是向量积 = ，也叫外积，向量积是一个向量，而且垂直于，。物理上的 洛伦兹力表达式就是这个关系。 最后关于法向量的方向： （ = ） 右手定则：右手定则：右手除了大拇指的其余四指，指头所指的方向从向量的方向弯向向量的方向， 弯过的角度小于 180 度，大拇指所在方向就是的方向。 有时候二面角不容易判断是钝角还是锐角，要确定法向量的具体方向，在平面的哪一侧。 可见使
5、用向量外积可以直接确定法向量的精确坐标，而设方程还要进行方向的讨论，非常麻 烦。 2.求平行六面体体积 假设 = (1,1,1)， = (2,2,2)， = (3,3,3)，求，组成的平行六面体体积。 = 111 222 333 （行列式再加绝对值） （混合积( ) ，它的大小等于，组成的平行六面体体积，高中生完全可以推出这 个结论。解题时写到混合积） 3.求三角形面积 设 = (1,1,1)， = (2,2,2)，求，所成三角形面积。 因为 =1 2| =1 2| 所以按照上面的，先求出，再算的大小，最后除以 2。 （上面解题时写到向量积） 如果是二维 （平面） 坐标就更加简单了， 已知 =
6、 (1,1)， = (2,2)， 可看作三维坐标下 0， ( ) (0,0,1)，即三角形面积数值上等于高为 1 的平行六面体体积的 1/2。 即 = 110 220 001 = 11 22 = |12 12| 若已知三角形三个顶点坐标，写出 2 个向量，按照这种方法很快就能求解，避免了大量的运 算。 这个可转化为求三棱柱体积、三棱锥体积、四棱锥体积。 三棱柱体积等于平行六面体体积的 1/2 三棱锥体积等于平行六面体体积的 1/6（棱锥体积等于相应棱柱体积的 1/3 四棱锥体积等于平行六面体体积的 1/3 二.解析几何 解析几何的思维难度不大，重点是简化运算。下面给出几个经验公式，能大概简化
7、3 到 5 分 钟运算。 高中解析几何一般就涉及直线与圆锥曲线相交问题 1.抛物线切线 若抛物线是 = 2，则求导求切线更容易。 2.关于何时消， 一般来说消就行了 以下几种情况会事半功倍 (1)双曲线、抛物线口朝哪根轴就消那个 这样可以避免直线垂直曲线对称轴时的讨论 例：抛物线为2= 2，直线设 = + 最佳（不平行轴） 。 (2)直线交坐标轴于，与圆锥曲线交于(1,1)(2,2)，分的比为。 若在轴上则消 若在轴上则消 因为这样，比如：若在轴上，1= 2，简化运算。 3.直线与圆锥曲线交线长度 设直线 = + 与圆锥曲线2+ 2+ + + = 0 消去后得到2+ + = 0 一般我们常常会
8、用到(1 2)2 如果按照韦达定理带入表达式计算，那样容易出错。其实很容易证明： (1 2)2= | ( = 2 4 0) 比如，交线长度的经验公式 = (1 2)2+ (1 2)2=1 + 2 |( = 2 4 0) 消去后得到2+ + = 0 =1 +1 2|( = 2 4 0) 由于是个经验公式，前面最好写上 = (1 2)2+ (1 2)2 直线设成 = + 时同理，注意此时斜率为1 。 4.几何性质简化运算或提供思考方向 圆锥曲线的几何性质（第一定义） 、三角形的中位线性质不一一举例 *我就说一些不常见的，有点难的。关于几个初中定理的反推（这几个定理本来就是充分必要 条件，只是在初中
9、只讲充分条件的部分） ，主要用于提供思考方向，一般对很难的问题来说可 能有些帮助。 (1)初中的切割线定理，反之若那种情形的比值条件成立，则相应的直线与圆相切。 (2)初中的圆周角相等定理，反之，即三点，2 定点，1 动点，若动点与而定点所成的角为定 值，则这三点在一个圆上，即动点的轨迹是个圆。 三求极限0 0和 型 求极限的简便方法，我推荐大家最好掌握，万一遇到抽筋的极限可以轻松解决。 在一般的不定型极限里也是事半功倍。 () ()是0 0和 型（只有这 2 种时才能用） () ()= () () 注意：后者无穷时前者也无穷，后者摆动时前者可能还存在极限。 例： 1，2 1有极限，求这个极限
10、。 一般的做法要求出 ，而这个做法就可以绕过它。 上下分别求导得12 1= 12 = 2 当然这是小儿科级别，对于一般难求的极限，这个法则的作用就大了，求导一般来说可以降 次，从而有效简化运算。 注意：解大题时写上由洛必达法则 四.求导 求导有比较多的简化方法。其中只说隐函数求导法则 一个函数，例如抛物线：2= 2 ( 0)，也可以写成 = 2。 前者就是隐函数，后者就是显函数。 是一个关于的函数，由复合函数求导法则知，所以对()求导()。 两边求导 2= 2，= ，代入 = 2，即得=2 如果对于关系复杂的显函数求导，比如 =( 1)( 2) 3，求导比较痛苦。 然而如果我们用隐函数求导法则，两边取对数 =1 2(| 1| + | 2| | 3|) 两边求导 =1 21 1+1 21 3， = 21 1+1 21 3 代入 =( 1)( 2) 3， =1 2( 1)( 2) 31 1+1 21 3 上面类似的根式形式都可以用这个做法。 这个东西考得比较少，可以不掌握。但建议掌握隐函数求导法则，在解某些物理题时，隐函 数数求导是事半功倍的，详见后面高中物理的一些概念阐明、基本结论及计算技巧 。 我只讲教辅中没有的， 教辅中的是基础，如果我讲教辅中的或许还不如那些教辅。
