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1、谈研究年龄结构之数学模型Leslies Model许世壁 本文最主要的目的是介绍如何研究人口动力学 (Population Dynamics) 里的一些 有关年龄结构 (Age Strucure) 之问题。举个例来说明：目前台湾人口中 05 岁 有 x1 人，610 岁有 x2人，7680 岁有 x16 人。试问 20 年或 100 年后， 这些人口的变化如何？还有每一个年龄分类 (Age class) 在总人口上的比例会不 会很稳定地趋向某一个固定值？如果是的话，多快？就社会学、经济学而言，这是 一个很实际而且值得研究的重要问题。下面我们就要导出有关这个问题之数学模型 Leslies Mod
2、el。它同时也可以应用到其他生物，如鱼类及昆虫等。 首先，假设从现有的统计数据，我们能选择出一个适当的单位时间 T，而后将人口分成 A 类。令向量 代表在第 N 期时（时间为 NT）人口里的女性年龄结构 （在此我们假设男性，女性人口数目相等），简而言之令 在此，分量 Vk,N，k= 1,A 代表年龄介于 (k-1)T 及 kT 中间之女性总人数。譬 如说应用到实际人口时，我们通常取 T=5 年，而且将人口分成 16 类，即 A=16， V1,N = 在第 N 期时，介于 05 岁之女性总人数。 V2,N = 在第 N 期时，介于 610 岁之女性总人数。 V16,N = 在第 N 期时，介于
3、7680 岁之女性总人数。 如果年龄超过 80 岁时，则我们不予讨论。 下一步我们要做的工作是如何找出第 N+1 期的年龄结构向量 (Age structure vector) ，与在第 N 期之年龄结构向量 之关系。假设下列的 bk 及 mk,k=1,A 为已知， 对外搜寻关键词：人口动力学固有值固有向量Primary decomposition Theorem特征多项式Frobeniusbasis利用 bn，mk 及 Vk,N 之定义，我们可以导出下列关系式： 其中(2)式说明了从第 N 期到 N+1 期所出生之女孩总数。所以，如果我们假设 及 这些非负之实数均可由人口之统计资料得到，则我
4、们有 下列式子 或者用矩阵之表示法，(3)式可改写为 如果，我们假设现在的年龄结构向量 。为已知，则由(4)式，我们得到： 所以，我们将年龄结构的问题变成一个线性代数的问题： 当 N 很大时，向量 如何变化？ 为了解决这个问题，必须利用线性代数中有关固有值 (eigenvalue) 及固有向量 (eigenvector) 之观念及其重要定理 Primary decomposition Theorem（参考1） 。首先我们考虑 A x A 矩阵 M 之固有值 。从固有值之定义， 为 M 之特征多项式 (characteristic polynomial) 之根。通常特征多项式很难算，但在这里矩阵
5、 M 有其特殊形式 (5)，所以利用降级展开行列式 det ()，得到 因为 f(0) 0 而且当 够大时 ，所以 必有一正实根。事 实上，因为矩阵 M 里之系数皆大于或等于零，根据有名的 Frobenius 定理（参考2）我们得知存在一固有值 ，而且其他 A-1 个固有值 ，满足 。现在，我们假设矩阵 M 满足下列性质： (H) 存在一固有值 而且其他 A-1 个固有值 ，满足 。 在假设(H)下，我们可以用数值分析之方法 Power Method 实际地算出 （参考3）。有了 ，因为 满足(7)式，我们可以检查一下下列 为一对应于 之固有向量； 令 E0 为由向量 所产生之一维子空间， 。
6、由线性代数的 Primary decomposition Theorem，我们可将 RA写成 RA ，其中 E1 是以对于固有值 之固有向量 (eigenvectors) 或广义固有向量 (generalized eigenvectors) 为其基底 (basis) 所组成的 A-1 维子空间。为了讨论方便起见，我们就假设矩阵 M 之固有值为 ， , 当 而且令 为对应于 之固有向量。所以任何 ，可唯一表为 现令 P 为 E0 上之投影算子 (Projection operator on E0)，即 令 则 所以如果将 表为 则 从固有值，固有向量及 P,Q 之性质，可得 所以， 因为我们假设
7、 ，i=1,A-1，所以当 N 很大时 从(8)式，我们得到两个结论 (I) 年龄结构 (Age distribution) 是以 之速率成长 (II)每个年龄分类 (Age class) 对总人口之比例是稳定地趋向一固定值 因为由(8)式 1 Smale & Hirsch :Differential Equations,Dynamical System and Linear algebra,Academic Press 1974. 2 S, Karlin & H. M. Taylor :A first course in Stochastic Process,Academic Press 1975. 3 K. Atkinson: An introduction to Numerical Analysis,1978. John Wiley son. 4 F.C. Hoppensteadt: Mathematical method of Population Biology.Courant Institute Lecture Note 1976.
