中考专题(开放性问题专题)

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1、中考专题中考专题（开放性问题专题）（开放性问题专题）一知识网络梳理 教育部于 1999、2000 年接连印发的关于初中毕业、升学考试改革的指导意见中明 确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”此后，开放型试题成为各地中考的必考 试题所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条 件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、 培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必 考的题型 开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点 考题观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是

2、新课标思维能力新添的内容，学习中 应重视并应用 开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应 用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性开放性试题能为考生提供更大的 考虑问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的， 也有利于考生创新意识的培养 开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开 放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过 程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它 是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识过程开

3、放或结论开放的问题能形成 考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动 学生的潜在能力 题型 1条件开放与探索 条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的 必要条件，所需补充的条件不能由结论推出 题型 2结论开放与探索 给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现 多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变 化中的结论，这些问题都是结论开放性问题它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理 的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应

4、 用能力 题型 3解题方法的开放与探索 策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解 题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程 二、知识运用举例 （一）条件开放例 1.(04 苏州) 已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数xky 图象上的点，当x1x20 时，y1y2，则 k 的一个值可为_（只需写出符号条件的一个 k 的值） 解： 答案不唯一，只要符合 k0 即可，如 k 1，或 k 2例 2.(05 深圳市) 如图，已知，在ABC 和DCB 中，ACDB，若不增加任何字母与辅助 线，要使ABCDCB，则还需增加一个条件是_例 2

5、图 解：答案不惟一.如：ABDC；ACBDBC；ADRt例 3（07 南京市）已知点()P xy，位于第二象限，并且4yx，xy，为整数，写出一个符合上述条件的点P的坐标：答：( 13) ，( 12) ，( 11) ，( 21) ，( 2 2) ，( 31) ，六个中任意写出一个即可例 4（05 梅州）如图，四边形 ABCD 是矩形，O 是它的中心，E、F 是对角线 AC 上的点 （1）如果_ ，则 DECBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论 分析：分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论 成立，逐步探索其成立的条件 解解：（1）AE

6、CF（OEOF；DEAC；BFAC；DEBF 等 等）（2）四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ABCD，DCEBAF又AECF，ACAEACCF，AFCE，DECBAF 说明：说明：考查了矩形的性质及三角形全等的判定例 5（06 泰州市）已知：MAN30，O 为边 AN 上一点，以 O 为圆心，2 为半径作 O，交 AN 于 D，E 两点，设 ADx（1）如图（1）当 x 取何值时，O 与 AM 相切； （2）如图（2）当 x 为何值时，O 与 AM 相交于 B，C 两点，且BOC90【解答】（1）在图（1）中，当O 与 AM 相切时，设切点为 F 连结 OF，则 OFAM，在 RtAOF

7、中，MAN30，DBCABCDEFOgOF1 2OA21 2（x2），x2，当 x2 时，O 与 AM 相切 （2）在图（2）中，过点 O 作 OHBC 于 H 当BOC90时，BOC 是等腰直角三角形，BC222222OBOC22，OHBC，BHCH，OH1 2BC2在 RtAHO 中，A30，OH1 2OA，21 2（x2），x222当 x222 时，O 与 AM 相交于 B，C 两点，且BOC90 【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂 径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解（二）、结论开放 例 1（05 湖南湘潭）如图，在ABC 中，ABAC，A

8、DBC，D 为垂 足由以上两个条件可得_(写出一个结论) 解：12 或 BDDC 或ABDACD 等例 2（04 徐州）如图，Ol 与O2 相交于点 A、B，顺次连结 0l、A、02、B 四点，得四 边形 01A02B（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪些性质?(用文字语言写出 4 条性质)性质 1_； 性质 2_； 性质 3_； 性质 4_ （2）设O1 的半径为尺，O2 的半径为 r(Rr)，0l，02 的距离为 d当 d 变化时，四边形 01A02B 的形状也会发生变化要使四边形 01A02B 是凸四边形(把四边 形的任一边向两方延长，其他各边都在

9、延长所得直线同一旁的四边形)则 d 的取 值范围是_ 解：（1）是开放性问题，答案有许多，如： 性质 1：相交两圆连心线垂直公共弦； 性质 2：相交两圆连心线平分公共弦； 性质 3：线段 01A线段 01B； 性质 4：线段 02B线段 02A；21DCBA性质 5：01A0201B02； 等等 （2）实质是相交两圆的 d 与 Rr 的关系，应为 RrdRr例 3（06 莆田市）已知矩形 ABCD 和点 P，当点 P 在边 BC 上任一位置（如图所示） 时，易证得结论：PA2PC2PB2PD2，请你探究：当 P点分别在图、图中的 位置时，PA2、PB2、PC2和 PD2又有怎样的数量关系？请你

10、写出对上述两种情况的探究 结论，并利用图证明你的结论答：对图的探究结论为_ 对图的探究结论为_证明：如图 2结论均是：PA2PC2PB2PD2证明：如图过点 P 作 MNAD 交 AD 于点 M，交 BC 于点 NADBC，MNAD，MNBC在 RtAMP 中，PA2PM2MA2在 RtBNP 中，PB2PN2BN2在 RtDMP 中，PD2DM2PM2在 RtCNP 中，PC2PN2NC2PA2PC2PM2MA2PN2NC2PB2PD2PM2DM2BN2PN2MNAD，MNNC，DCBC四边形 MNCD 是矩形MDNC同理 AMBNPM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2PN2即 PA2P

11、C2PB2PD2【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确 结论，但是说明理由时，有一定的难度正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决 问题的关键（三）、综合开放 例 1（05 宁波）如图，ABC 中，ABAC，过点 A 作 GEBC，角平分线 BD、CF 相交 于点 H，它们的延长线分别交 GE 于点 E、G.试在图中找出 3 对全等三角形，并对其中一 对全等三角形给出证明解：BCFCBD. BHFCHD. BDACFA. (注意答案不唯一)ADHFEGBC证明BCFCBDABAC. ABCACB. BD、CF 是角平分线. BCF21ACB，CBD21AB

12、CBCFCBD. 又 BCCB. BCFCBD例 2（05 江西省）已知抛物线1)(2mxy与x轴的交点为 A、B（B 在 A 的右边），与y轴的交点为 C （1）写出1m时与抛物线有关的三个正确结论； （2）当点 B 在原点的右边，点 C 在原点的下方时，是否存在BOC 为等腰三角形的情形? 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； （3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次， 得分有差异）解：当 m1 时，抛物线解析式为 y ) 1(2x1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；（2）存在m2；（3）是结

13、论开放题，答案有许多，如：抛物线 y)(2mx1 与 x 轴总有交点，顶点纵坐标为 1 或函数最大值为 1 等例 3（07 福州市）如图 9，直线ACBD，连结AB，直线ACBD，及线段AB把平面 分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分 时，连结PAPB，构成PAC，APB，PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0o角）（1）当动点P落在第部分时，求证：APBPACPBD ； （2）当动点P落在第部分时，APBPACPBD 是否成立（直接回答成立或不 成立）？ （3）当动点P在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出 动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明ABCDABCDPABCD图 9解：（1）解法一：如图 91延长 BP 交直线 AC 于点 E ACBD ， PEA PBD APB PAE PEA ， APB PAC PBD 解法二：如图 92过点 P 作 FPAC ， PAC APF . ACBD ， FPBD . FPB PBD . APB APF FPB PAC PBD 解法三：如图 93， ACBD ， CAB ABD 180即 PAC PAB PBA PBD 180又APB PBA PAB 180， APB PAC PBD . （2）不成立. （3）(a)当动点 P 在