探索型问题一(开放性问题)

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1、探索型问题（开放性问题）1（共 9 页）探索型问题一（开放性问题）探索型问题一（开放性问题）【考点透视考点透视】 习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确 定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者 为开放题型. 开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备） ；结论开放题（问题的结论不确定 或不唯一） ，这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问 题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开 放题和题干结构的开放题

2、. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完 整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答. 开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的. 教育部在2000 年初中毕业、升学考试改革的指导意见中特别指出：数学考试“应设计一定结合情 境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试 题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题典型例题】 一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件 使题目结论成立. 这两种

3、情况所需补充的条件往往不惟一. 例 1 （1）如图 7.1，ABC 中，AB=AC，D 为 AC 边上的一点，要使ABCBCD，还需要添加一个条件，这个条件可以是_ _（只需填写一个你认为适当的条件即可）. （2001 年淄博市中考题） （2）如图 7.2，在ABC 和FED 中，AD=FC，AB=FE，当添加条 件：_时，就可得到ABCFED（只需填写一 个你认为正确的条件）. （2003 年无锡市中考题） 解：（1）BD=BC.（也可以是：ABC=BDC；或A=DBC； 或 BCCD=ACBC；或 BC2=ACCD 中的某一个） （2）A=F. （或 BC=ED 等） 说明：开放题的一个显

4、著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立 的一个答案即可.例 2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，2, 4x y 2, 4x y 试写出符合要求的方程组_.（只要填写一个即可） （2000 年安徽省中考 题） 分析：我们只要分别构造出一个既含 x，又含 y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方 程实际上就是寻找 x 与 y 之间的关系.解：2 , 8.yx xy 说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个 点 A（2，4） ，B（-2，-4） ，则我们可以写出过这两个点的一个一次函数

5、的解析式（也是一个二元一次BACD图 7.1ABC DEF图 7.2探索型问题（开放性问题）2（共 9 页）方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）. 本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合一种重要的数学思 想方法） ；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是 一个条件开放题，也是一个策略开放题.例 3 已知：如图 7.3.1，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，A 是的中点，过 A 点的切线与BD CB 的延长线交于点 E. （1）求证：ABDA=CDBE；（2）若点 E 在 CB 延长线上运动，

6、点 A 在上运动，使切线 EA 变为割线 EFA，其它条件不变，BD 问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明） （2000 年北京海淀区中 考题） 分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们 可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结 AC.A 是的中点,ACB=ACD.BDABAD EA 切O 于 A，EAB=ACB. 又ABE=D，EABACD，ABCD=EBAD， ABAD=CDBE. （2）解：如图 7.3.2 中，若有EABACD，则原结论成立，故我们 只需探求使EABACD 的条件.由于ABE=D，所

7、以只要BAE=DAC 即可，这只要即可.BFCD所以本题只要，原结论就成立.BFAD 说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法分析法.例 4 如图 7.4，AB、AC 分别是O 的直径和弦，D 为劣弧上一点，DEAB 于点 H，交OAC于点 E，交 AC 于点 F，P 为 ED 的延长线上一点. （1）当PCF 满足什么条件时，PC 与O 相切？为什么？（2）点 D 在劣弧的什么位置时，才能使 AD2=DEDF？为什么？AC(2002 年济南市中考题) 分析：（1）连 OC.要使 PC 与O 相切，则只需PCO=900即可. 由OCA=OAC，PFC=AFH，

8、即可寻找出PCF 所要满足的条件（2）要使 AD2=DEDF，即，也就是要使DAFDEA，ADDF DEAD这样问题就较容易解决了. 解：（1）当 PC=PF（或PCF=PFC，或PCF 是等边三角形）时，PC 与O 相切. 连 OC. PC=PF，PCF=PFC， PCO=PCF+OCA=PFC+OAC=AFH+AHF=900, PC 与O 相切.（2）当点 D 是的中点时，AD2=DEDF.ACBACDOE图 7.3.1ABCEDOF图 7.3.2HBAEPA OCDF图 7.4探索型问题（开放性问题）3（共 9 页）连结 AE.，DAF=DEA.ADCD又ADF=EDA，DAFDEA，即

9、 AD2=DEDF.ADDF DEAD说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条 件.如第(1)小题中,若要 PC 与O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题 结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结 论. 例 5 如图 7.5.1，以等腰三角形 ABC 的一腰 AB 为直径的O 交 BC 于 D，过 D 作 DEAC 于 E，可得结论 DE 是O 的切线. 问：（1）若点 O 在 AB 上向点 B 移动，以 O 为圆心，OB 长为半径的圆 仍交 BC 于 D，DEAC 的条件

10、不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由. （2）如果 AB=AC=5cm, sinA=,那么圆心 O 在 AB 的什么位置时，O3 5与 AC 相切？ （2001 年黑龙江省中考题） 分析：（1）连 OD. OB=OD，OBD=ODB=C， ODAC， 从而可得 ODDE，结论仍然成立. （2）若O 与 AC 相切，设切点为 F，连 OF，则由 RtAOF 中可求得 OF=，即 OB=. 15 815 8解：（1）结论仍然成立. 如图 7.5.2，连 OD，则 OD=OB，OBD=ODB. 又 AB=AC，B=C，ODB=C， ODAC. DEAC，ODDE， DE 是O 的切线. （2）如

11、图 7.5.3，若 AC 与O 切于点 F，连 OF， 则 OFAC，即AOF 是直角三角形，sinA=，3 55OFOB AOOBOB=，15 8即当 OB=时，O 与 AC 相切. 15 8说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求 结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用 方法. ABOECD图 7.5.1AOBECD图 7.5.2ABCOF图 7.5.3探索型问题（开放性问题）4（共 9 页）例 6 如图 7.6.1，O 的直径 AB，过半径 OA 的中点 G 作弦 CEAB，在上取一点 D

12、，分别作CB直线 CD、ED，交直线 AB 于点 F、M. （1）求COA 和FDM 的度数； （2）求证：FDMCOM； （3）如图 7.6.2，若将垂足 G 改取为半径 OB 上任意一点，点 D 改取在上，仍作直线 CD、ED，分别交直线EB AB 于点 F、M. 试判断：此时是否仍有FDMCOM？ 证明你的结论. （2003 年苏州市中考题）（1）解：AB 是O 的直径，CEAB，CG=EG. ACCE在 RtCOG 中，OG=OC，OCG=，COA=. 又CDE 的度数=的度数=1 230o60o1 2CAE的度数=COA=，FDM=-COA=. AC60o180o120o（2）证明：

13、COM=-COA=，COM=FDM. 180o120o 在 RtCGM 和 RtEGM 中， GM=GM，CG=EG，RtCGMRtEGM， GMC=GME. 又DMF=GME，OMC=DMF，FDMCOM. （3）解：结论仍然成立. FDM=-CDE，180oCDE 的度数=的度数=的度数=COA，1 2CAEACFDM=-COA=COM. 180o AB 为直径，CEAB，在 RtCGM 和 RtEGM 中， GM=GM，CG=EG，RtCGMRtEGM， GMC=GME，FDMCOM. 说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时 应寻着（2）

14、的解题思路来进行. 三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目. 例 7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含 300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一 个含 150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法. （2000 年荆州市中考题）DAFCEDMOGBAFCEMOGB图 7.6.1图 7.6.2探索型问题（开放性问题）5（共 9 页）分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或 450-300，或 600+450-900等来得到 150的角. 解：如图所示. 图 7.7.1 中就包含

15、有两中构造方法，ABD 和ACD 都等于；图 7.7.2 中，EFG=. 15o15o请同学们试着拼出其它的图形. 说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这 类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到. 例 8 如图，把边长为 2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合 下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙） ，并把你的拼法仿照图 1 按实际大小画在方格纸内 （方格为 1cm1cm）. （1）不是正方形的菱形（一个） ； （2）不是正方形的矩形（一个） ； （3）梯形（一个） ； （4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个） ； （5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个） ； （6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等