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1、剖析平面向量中的常见错误平面向量是高中数学教材中的新增内容，运用向量知识解题常可收到化繁 为简、化难为易的神奇功效，随着新教材的逐步实施，它已成为高考数学的新 宠。但学生在初学这部分内容时，往往会出现这样或那样的错误，现列举几种 常见错误，以期起到防患于未然的作用。 一、乱用平移公式致误例 1、已知、)2 , 4(B，则向量 AB 按向量平移后得到的向量是（ )2 , 1 (A)3 , 1(）A、 B、 C、 D、)3 , 2()5 , 0()5 , 3()0 , 3(错解：由、)2 , 4(B得)0 , 3()2 , 1 ()2 , 4(OAOBAB，将及)2 , 1 (A0, 3yx代入平
2、移公式 kyyhxx得，故选 D。3, 1kh 32 yx剖析： 平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系，它不适用于向 量平移的规律，上述错误是典型的乱用公式。正解 1：将、)2 , 4(B按向量平移后分别变为、，故)2 , 1 (A)3 , 1()5 , 0(A)5 , 3(B，故应选 C。)0 , 3(BA正解 2：因平移不影响向量大小的变化，故应选 C。 二、分不清平移前后致误例 2、把一个函数的图象按)2 ,4(a平移后得到的图象的函数解析式为，那么原来函数的解析式为（ ）2)4sin(xyA、 B、 C、 D、xysinxycos4sinxy4cosxy错解：由向量平移公式
3、得，即代入得 24 yyxx24 yyxx 2)4sin(xy，故选 C。4sinxy剖析：错选 C 项是分不清平移前后所致，是图象平移后得到的2)4sin(xy函数解析式，应为。2)4sin(xy正解：由平移公式得，代入得，故选 B。 24 yyxx 2)4sin(xyxycos三、忽略共线向量致误例 3、已知同一平面上的向量、 两两所成的角相等，并且，abc1|a，求向量的长度。2|b3|ccba错解：易知、 皆为非零向量，设、 所成的角均为，则abcabc，即，所以，同理，o3603 o1201120cos|obaba3cb，由=3，故23acaccbbacbacba222|2222。3
4、|cba剖析：本例误以为、 皆为非共线向量，而当向量、 共线且同向abcabc时，所成的角也相等均为，符合题意。o0正解：(1)当向量、 共线且同向时，所成的角均为,所以abco0|cba；6|cba(2)当向量、 不共线时，同错解.abc综上所述, 向量的长度为 6 或。cba3四、忽视两向量夹角的意义致误例 4、正的边长为 1，且，求的值。ABCaBC bCA cAB |cba错解：由于正的边长为 1，所以，且，ABCo60CBA1|cba所以，同理可得，21cos|Cbaba21cb21ac由=6，故。accbbacbacba222|22226|cba剖析：本题误以为与的夹角为。事实上，
5、两向量的夹角应为平面上同abBCA一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是，因此，与的180,0ooab夹角应为。BCAo180正解：作，与的夹角即与的夹角为，所BCCD abBCCAoo120180BCA以，同理可得，21120cos|obaba21cb21ac由=0，故。accbbacbacba222|22220|cba五、忽视充要条件致误例 5、已知，设与的夹角为，要使为锐角，求的取)3 , 1 (a), 2(bab值范围。错解：因为为锐角，所以，由cos|baba知，只须0ba，即0cos 0321，即。32剖析：本题误以为两非零向量与的夹角为锐角的充要条件是0ba，事实上，ab
6、两向量的夹角，当0时，有01cos，对于非零向量与仍有, 0ab，因此，是两非零向量与的夹角为锐角的必要不充分的条件。0ba0baab即有如下结论：两非零向量与的夹角为锐角的充要条件是且不平行ab0baa于。b正解：由为锐角，得且，由，而、恒大0cos 0cos|baba| a|b于 0，所以，0321，即；若平行则即0ba32ab0321，但若平行则0或，与为锐角相矛盾，所以；6ab6综上，且。326六、忽视向量的特性致误例 6、已知、都是非零向量，且向量与垂直，向量与abba3ba57 ba4垂直，求向量与的夹角。ba27 ab错解：由题意得，即 ，两式相减 0)27)(4(0)57()3
7、(babababa083070151672222bbaabbaa得，即，所以，（不合题意舍去）或023462bba0)2(bab0b，由知与同向，故向量与的夹角为。02ba02baababo0剖析：本题误用实数的性质，即实数、若满足则必有或，ab0ab0a0b但对于向量、若满足则不一定有或，因为由ab0ba0a0bcos|baba知与有关，当时，恒成立，此时、均可o900baab以不为。0正解：由前知代入得，所以，bab 2201516722bbaabaa 22，故。baba22221|21|cos22 aababa联系地址：四川省南部中学 袁启永 637300 联系电话：（小灵通） （0817）5555761 （宅电） （0817）8030309 E-mail： http:/
