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1、多输入多输出系统的多输入多输出系统的 MATLABMATLAB 分析与仿真分析与仿真卞亚涛卞亚涛 5071509041 F07030211 1，MIMOMIMO 系统典型实例系统典型实例双水槽过程双水槽过程 双水槽过程是一个典型的 2*2 的 MIMO 系统，其结构图如下：图图 1 1 双水槽过程示意图双水槽过程示意图水流入水槽 1 和水槽 2 的流量分别是和，各水槽流出的水量与水槽1F2F的水位和成正比。流出水槽 2 的水根据比例分成两部分：排除系统外的部1h2h分，保留在系统内通过循环泵返回到水槽 1 的部分。是一个典型的 2*2 系统：2 个入口的流量作为输入，每个水槽的水位作为输 出变
2、量。2 2，双水槽过程实例建模，双水槽过程实例建模2.12.1 状态空间方程推导状态空间方程推导设水槽 1 和水槽 2 的截面积分别是和，每个水槽的物料平衡方程为：1A2A1 11 121dhAhhFdt 2 22212dhAhhFdt 设偏差变量为：111222111122,ssssxhhxhhuFFuFF则可得：11 121 11121 122 22211dxxxudtAAAdxxxudtAAA 设：1122,yx yx则状态空间向量和状态矩阵分别为：111222111 1 1 2 22,1 0 ,1 0xyuXYUxyuA AAABCIAAA 2.22.2 实例具体化实例具体化 为了研究
3、方便，不妨做如下设定:水槽 1 和水槽 2 的容量分别为 500L 和 200L；截面积分别为 0.5和 0.22m。每个水槽的流量与其液位成比例；比例常数为；水槽 22m2 120.1/ms中 40%的水返回水槽 1，也就是220.04/ ,0.06/msms过程的初始稳态条件如下：液位：120.7 ,0.5sshm hm入口流量：33 120.05/ ,0.05/ssFms Fms易知：过程参数如下：0.20.0820,0.50.505ABCI2.32.3 实例的传递函数实例的传递函数由如下代码易：A=-0.2 0.08;0.5 -0.5;B=2 0;0 5;C=eye(2);D=0 0;
4、0 0;p=sym(p);n,m=size(A);G=C*inv(p*eye(n) - A)*B +Dpretty(G);容易求出其传递函数为：G = (2*(50*p + 25)/(50*p2 + 35*p + 3), 20/(50*p2 + 35*p + 3) 50/(50*p2 + 35*p + 3), (5*(50*p + 10)/(50*p2 + 35*p + 3)传递函数的示意图如下：图图 2 2 MIMOMIMO 系统传递函数示意图系统传递函数示意图3 3，利用，利用 matlabmatlab 分析分析 MIMOMIMO 系统系统（相关函数已用 matlab 实现，代码详见附录）
5、3.13.1 分析开环稳定性：分析开环稳定性： 容易求出系统的特征值是-0.1，-0.6，都具有负实部，所以此系统开环稳定。3.23.2 对对 MIMOMIMO 系统进行耦合分析系统进行耦合分析利用相对增益矩阵（RGA）的计算原理，写出计算 RGA 的函数：A=rga(G) （代码见附录 1） 其中 G 为 MIMO 系统的传递函数矩阵 可以算出 rga 如下： A =1.6667 -0.6667-0.6667 1.66673.33.3 闭环稳定性分析：闭环稳定性分析：MIMO 系统的闭环稳定性同样可以用 Nyquist 准则来判定 开环传递函数的极点为-0.1，-0.6，右半平面的极点数为
6、0同 SISO 系统的 Nyquist 准则一样，MIMO 系统也可以由 Nyquist 准则来判断 稳定性。 以下是 MIMO 系统的 Nyquist 判定准则（由于有些术语不知如何翻译，所 以干脆用英文原文，望见谅） 。Let G s be a rational TFM, assuming that it has no cancellations between poles andzeros. Let K be a compensator with a negative feedback loop, that isK kI;Let the detI+KG(s) have P poles a
7、nd Z zeros in the right hand plane (RHP), then like in SISO systems argdet( )2 ()IKG sZP Theorem If G s has right hand plane poles (RHPP), P, given by the Smith- McMillantransformation, then the closed loop with negative feedback is stable if and only if the characteristic graphs of KG s surround th
8、e point 1,0 P times in a counter- clockwise direction, assuming that there was no cancellations of instabilities.由函数 nyqmimo(G) （代码见附录（代码见附录2） 可求出此 MIMO 的 Nyquist 曲线-5051015202530-15-10-5051015图三图三 MIMOMIMO 系统的系统的 NyquistNyquist 曲线曲线可知系统是闭环稳定的4 4，MIMOMIMO 系统开环、闭环及用系统开环、闭环及用 DMCDMC 控制的仿真控制的仿真4.14.1 按
9、离散相似法进行开环仿真按离散相似法进行开环仿真4.1.14.1.1 仿真条件仿真条件水槽 1 和水槽 2 的容量分别为 500L 和 200L；截面积分别为 0.5和2m0.2。每个水槽的流量与其液位成比例；比例常数为；水槽2m2 120.1/ms2 中 40%的水返回水槽 1，也就是220.04/ ,0.06/msms过程的初始稳态条件如下：液位：120.7 ,0.5sshm hm入口流量：33 120.05/ ,0.05/ssFms Fms（1） 当水槽当水槽 1 的流量由的流量由 0.05 变化到 0.065 时：3/ms3/ms由理论计算可知：0.10.6 10.10.6 20.70.
10、25(1 0.960.04)0.50.25(1 1.20.2)ttttheehee可知 h1 和 h2 应当成指数增长，而且即使只有水槽 1 的入口流量变化， 两个水槽的液位都有影响（2） 当水槽当水槽 2 的流量由的流量由 0.05 变化到 0.065 时：3/ms3/ms由理论计算可知：0.10.6 10.10.6 20.70.10(1 1.20.2)0.50.25(1 0.60.4)ttttheehee可见 F2 对 h1 的影响比 F1 对 h2 的影响小4.1.24.1.2 仿真过程仿真过程 已知系统的线性部分的状态方程为 XAXBuyCX%截断时间 Ts=2;%采样时间 P=30;
11、M=15;%预测时域，控制时域 Q1=eye(P);Q2=eye(P);R=1*eye(2*M);%误差加权矩阵，控制作用加权矩阵（1）当水槽 1 的流量由 0.05 变化到 0.065 时：3/ms3/ms相当于 u1=0.015,u2=0,图中上面两图分别表示水槽 1,2 中的水位 下面两图表示两个控制量，以下同05010000.0050.010.0150.02050100-5051015x 10-50501001234x 10-3050100-2-1.5-1-0.5x 10-3图图 8 8 阶跃响应曲线（上面两图分别表示水槽阶跃响应曲线（上面两图分别表示水槽 1,21,2 中的水位下面两
12、图表示两个控制量）中的水位下面两图表示两个控制量）（2）当水槽）当水槽 2 的流量由的流量由 0.05 变化到 0.065 时：3/ms3/ms050100-5051015x 10-505010000.0050.010.0150.02050100-8-6-4-2x 10-405010011.522.5x 10-3图图 9 9 阶跃响应曲线（上面两图分别表示水槽阶跃响应曲线（上面两图分别表示水槽 1,21,2 中的水位下面两图表示两个控制量）中的水位下面两图表示两个控制量）（3）当水槽）当水槽 1 的流量由的流量由 0.05 按 0.015 的斜率做线性增加时：3/ms05010000.0050
13、.010.0150.02050100-2-1.5-1-0.50x 10-405010012345x 10-3050100-2-1.5-1-0.5x 10-3图图 1010 速度响应曲线（上面两图分别表示水槽速度响应曲线（上面两图分别表示水槽 1,21,2 中的水位下面两图表示两个控制量）中的水位下面两图表示两个控制量）（4）当水槽）当水槽 2 的流量由的流量由 0.05 按 0.015 的斜率做线性增加时：3/ms050100-2-1.5-1-0.50x 10-405010000.0050.010.0150.02050100-8-6-4-2x 10-40501001.522.5x 10-3图图
14、 1111 速度响应曲线（上面两图分别表示水槽速度响应曲线（上面两图分别表示水槽 1,21,2 中的水位下面两图表示两个控制量）中的水位下面两图表示两个控制量）（5）当两水槽的流量由）当两水槽的流量由 0.05 按 0.015 的斜率做线性增加时：3/ms05010000.0050.010.0150.0205010000.0050.010.0150.0205010012345x 10-3050100-5051015x 10-4图图 1212 速度响应曲线（上面两图分别表示水槽速度响应曲线（上面两图分别表示水槽 1,21,2 中的水位下面两图表示两个控制量）中的水位下面两图表示两个控制量）由以上
15、看出，使用 DMC 算法控制此 MIMO 系统可以做到： 对于阶跃响应可以稳态无静差 对于速度信号可以达到稳定5 5，仿真结论，仿真结论（1） 此双水槽的 MIMO 系统开环稳定，对于阶跃输入有静差 （2） 此双水槽的 MIMO 系统闭环稳定，对于阶跃输入稳定有静差 （3） （3）用 DMC 算法控制时：对于阶跃响应可以稳态无静差 对于速度信号可以达到稳定6 6，matlabmatlab 代码附录代码附录附录附录 1 1：相对增益矩阵（：相对增益矩阵（RGARGA）的计算代码）的计算代码 function A,cond = rga(a,b,c,d,w)ni=nargin;no=nargout;switch nicase 1%Transfer Function Syntax without frequencyw=0;switch class(a)case tf%Numeric T
