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1、摘摘 要要随着全球金融市场的迅猛发展，期权也越来越受到很多人的关注，有必要对期权进行更加深入的研究。本文对欧式期权的定价的讨论主要其理论知识和进行实例分析，并得出简单的结论。本文主要包括以下几个方面。第一：讨论期权的基础知识，了解期权损益和定价界限；第二：研究二项式模型，由浅入深的分别给出股价运动一期和二期的欧式期权定价公式；第三：研究 Black-Scholes 模型，通过求解 Black-Scholes 方程得到 Black-Scholes公式，并探讨 Black-Scholes 模型和二项式模型的联系，() 12( , )()()r T tC S tSN dXeN d即得到波动率，就可以
2、求出与之相匹配的二项式模型中的，和；第四：进行实udq例分析进行应用，并用计算机语言把数学内容表示出来，实现数学知识与计算机语言的结合。第五：通过以上的内容得出一些结论。本文的重心是基于对期权定价的模型的探讨和分析，加以实例辅助突出其应用性，不足之处在于理论的突破性不大。关键词 欧式期权定价 二项式模型 Black-Scholes 模型 二叉树图目 录1 对期权的相关知识和期权定价的性质 .11.1 期权基本理论 .11.1.1 期权的相关术语 .11.2 期权的损益与期权价格的界限 .11.2.1 期权的损益 .11.2.2 欧式期权价格的界限 .22 二项式模型 .42.1 二项期权定价模
3、型介绍 .42.2 欧式期权定价模型 .62.3 一期模型的欧式看涨期权定价 .72.4 二期模型的欧式看涨期权定价 .73 Black-Scholes 模型.83.1 股票价格的行为模式 .93.2 Black-Scholes 方程.103.3 Black-Scholes 公式(欧式看涨期权的定价).123.4 二项式模型和 Black-Scholes 的模型的关系.134 实例分析 .145 总结 .175.1 本文结论 .17参 考 文 献 .20附 录 .2111 对期权的相关知识和期权定价的性质1.1 期权基本理论1.1.1 期权的相关术语定义 1.1：期权(Options)，又称选
4、择权，是一份合约，持有合约的一方有权(但没有义务)向另一方在合约中事先指定的时刻(或此时刻之前)以合约中指定的价格购买或出售某种指定数量的特殊物品。这些物品大多为战略物资，如石油、小麦、有色金属等，也可以是某公司股票，可提前兑换的债权等。期权有两种基本类型，看涨期权(call options)和看跌期权(put options)。定义 2.2：看涨期权指期权合约中，一方有购买的权利，另一方有出售的义务，简称 call。定义 2.3：看跌期权指期权合约中，一方有出售的权利，另一方有购买的义务，简称 put。定义 2.4：执行价格(exercise price)，又称敲定价格就是期权合约规定的买卖
5、基础资产的价格。根据期权的执行方式不同，期权又分为欧式期权(European Options)和美式期权(American Options)。定义 2.5：欧式期权指只能在到期日那一天执行的期权。定义 2.6：美式期权指可在到期日之前(包括到期日)任何时刻执行的期权。定义 2.7：期权价格是指有购买(或出售)一单位基础资产权利的期权的价格，是由买期权者支付给卖期权者(也称写期权者)的。定义 2.8：一个期权是否执行依赖于对期权持有者有利的机会是否出现，故也称期权为相机权益。在任何一个时刻 ,对一个 call，如果当时的股票价格，则称 call 为价内的(in ttSXthe money)；如果
6、，称为平价的(at the money)；如果，称为价外的(out the tSXtSXmoney)。对 put 正好把不等式反过来，即如果，则称此时的 put 为价内的；如果tSX，称它为平价的；如果，则称它为价外的。tSXtSX1.2 期权的损益与期权价格的界限1.2.1 期权的损益2在期权交易市场上，有人买进期权(称为期权持有者)，相应地必须有人出售这个期权(称为写期权者)，一个欧式看涨期权的持有者希望价格看涨，写期权者希望价格看跌，二者的利益是完全对立的。任何时候，一方面获益必是另一方面的损失。一个以价格购进一个欧式看涨期权的持有者，在到期日，如果股票价格，CTTSX则他就执行权力，以
7、购进，以出售，从而获利；如果，则他选XTS()TSCXTSX择不执行买的权力，从而损失初始投资。因此，有如下命题。C命题 2.1：在到期日的“利润”或损益为T(),T TSCXyCTTSXSX(2.1)max(,0)TSXC命题 2.2：写期权者在到期日的损益为(),T TCXSyC TTSX SX (2.2)max(,0)TCSX同理，当一个人以价格购进一个欧式看跌期权，则在到期日，有如下命题。PT命题 2.3：持有者的利润函数为(),T TXSPyPTTSX SX (2.3)max(,0)TXSP命题 2.4：写期权者的利润函数为(),T TPXSyP TTSX SX (2.4)max(,
8、0)TPXS1.2.2 欧式期权价格的界限我们先考虑欧式期权的评价问题。以欧式看涨期权为例， ，讨论一个期权“合理”价格应该是多少。一个欧式看涨期权，如果在到期日，股票价格，则行使权利的期权的价为TTSX，如果，不行使权利则期权价值为零。()TSXTSX因此，期权在时的价值：T(2.5)max(,0)TTCSX3在当前(时)，是一个随机变量。如果 ST不是随机变量，而是确定性知道的，0t TS为了不存在套利机会，时期权价格 C0应满足0t ，0max(,0) 11TTffCSXCrr其中为年无风险利率，事实上，若实际期权价，则在时借元并购买期frT0CC0t C权，从而在时，行使权利得。这就是无风险套利，反之，T0(1)(1)TffSXCrCr若,则在时，卖期权并把得来的钱贷出即可无风险套利。0CC0t 当为随机变量时，自然把时的“合理”价格定义为TS0t (2.6) 0EE max(,0)11TTffCSXCrr:此处数学期望是以某个适当的概率分布计算的。故用表示这个数学期望。E :由此看出，写在一个标的资产上的期权的价值依赖于标的资产的价格，故把标的资产称为基础证券，把像期权这类(价值依赖于基础资产价格的)证券称为衍生证券。一般说来，人们并不知道这个概率分布，只能
