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1、函数图象的对称性函数图象的对称性最具挑战性的挑战莫过于提升自我。迈克尔斯特利 函数奇偶性推广的教学位育中学 周宇高一数学在学习了函数奇偶性后，对学有余力的学生进行函数奇偶性推广的教学，即函数图象对称性的研究，是非常有益的。通过对函数图象对称性的数量特征的探讨，加深对数量特征与图象特征之间关系的理解。函数解析式与函数的图象，是函数的两种表现形式，解析表示精确但抽象，图象表示直观而易于理解。这两者有机结合，相辅相成，就函数解析式与其对应的图象来说，解析式具有的特点，图象上必有所表现；图象上具有的特点，解析式中也必有所反映。因此，我认为，对函数图象对称性的研究的教学，能培养学生的数学素养，提高学生理
2、性思维的能力。下面设计如何进行函数图象对称性的教学。一、函数奇偶性推广到函数图像的对称性我们知道，偶函数 f(x)的图象是关于 y 轴对称图形，f(x)是偶函数 ? f(?x)=f(x)；奇函数的图象是关于原点中心对称图形，f(x)是奇函数 ? f(?x)=?f(x)如果函数 f(x)既不是偶函数，又不是奇函数，f(x)的图象是否可能是对称图形？我们先来看几个熟悉的函数例 1、判断下列函数的图象是否是对称图形，如果是，请指出对称轴或对称中心(1) y=2x?1 (2) y=x2+2x?3(3) (4) (5) y=|x?1|解：(1) 函数 y=2x?1 的图象是直线，既是轴对称图形又是中心对
3、称图形，对称轴是与直线垂直的任意一条直线，直线上任意一点是对称中心例如点(1,1)注：我们主要研究对称轴平行于 y 轴的情况(2) 函数 y=x2+2x?3 的图象是抛物线，是轴对称图形，对称轴为 x=?1(3) 函数的图象是双曲线，是中心对称图形，对称中心是点(2,1)注：双曲线也是轴对称图形，此双曲线的两条对称轴方程分别是 x?y?1?0 和 x?y?3?0，我们以后将在解析几何中作进一步的研究。(4) 函数的图象是双曲线，是中心对称图形，对称中心是点(1,2)(5) 函数 y=|x?1|的图象是折线，是轴对称图形，对称轴是x=1就函数解析式与其对应的图象来说，解析式具有的特点，图象上必有
4、所表现；图象上具有的特点，解析式中也必有所反映，你能用数量关系来说明上述对称性吗？这里，我们仅对第(2)和(3)两题加以证明(2) 在函数 y=x2+2x?3 的图象上任取一点 M(a,a2+2a?3)，则点M 关于直线 x=?1 的对称点 N 的坐标(?2?a, a2+2a?3)也是函数y=x2+2x?3 的一组对应值，所以点 N 也在函数 y=x2+2x?3 的图象上，从而函数 y=x2+2x?3 的图象关于直线 x=?1 轴对称(3) 在函数的图象上任取一点，则点 M 关于点(2,1)的对称点 N的坐标也是函数的一组对应值，所以点 N 也在函数的图象上，从而函数的图象关于点(2,1)中心
5、对称这是根据对称图形的定义进行的证明，能否通过平移图象所得的函数具有奇偶性来说明？(2) 将函数 y=x2+2x?3 的图象向右平移 1 个单位，得函数 y=x2?4的图象，因为函数 y=x2?4 是偶函数，图象关于 y 轴对称，所以函数y=x2+2x?3 的图象是轴对称图形，对称轴是 x=?1(3)将函数的图象向左平移 2 个单位，向下平移 1 个单位，得函数的图象，因为函数是奇函数，图象关于原点对称，所以函数的图象是中心对称图形，对称中心是(2,1)(1)、(4)、(5)三题留给同学们练习评析：函数图象对称性的证明方法：根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上其一般步骤是：图
6、象上任取一点求对称点证明对称点也在图象上；证明通过平移后的函数具有奇偶性二、数量特征的探索问题：函数的图象是对称图形吗？三次函数y=ax3?bx2+cx?d(a0)的图象是对称图形吗？如果是，对称轴或对称中心是什么？为此，我们共同来探索函数 y=f(x)的图像具有对称性的数量特征，直接的判定方法如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称，在函数 y=f(x)的图象上任取一点 M(x,f(x)，则点 M 关于直线 x=a 的对称点 N 的坐标(2a?x,f(x)也是函数 y=f(x)的一组对应值，所以 f(x)=f(2a?x)，也可写成 f(a+x)=f(a?x)这也就证明了函数 f(x
7、)的图象关于直线x=a 对称的必要条件是 f(a+x)=f(a?x)是否是充分条件呢？在函数 y=f(x)的图象上任取一点 M(a+x,f(a+x)，则点 M 关于直线 x=a 的对称点 N 的坐标为(a?x,f(a+x)，因为 f(a+x)=f(a?x)，所以 N 的坐标(a?x,f(a?x)也是函数 y=f(x)的一组对应值，因此点N 也在函数 y=f(x)的图象上，从而函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称这也就证明了函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充分条件是f(a+x)=f(a?x)例 2、(1) 函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是f(a+x)=f(
8、a?x)；(2) 函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是什么？请加以证明答：函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是 f(a+x)+f(a?x)=2b请同学们作为练习加以证明评析：设函数 f(x)的定义域关于点(a,0)对称，从函数的奇偶性来理解：f(a+x)=f(a?x) ? 函数 f(a+x)是偶函数，再通过平移图象，知函数y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称；f(a+x)+f(a?x)=2b ? 函数 f(a+x)?b 是奇函数，再通过平移图象，知函数 y=f(x)的图象关于点(a,b)对称三、应用例 3、函数是轴对称图形吗？如果是，请写出对称轴方程解：假设
9、函数 f(x)是轴对称图形，设对称轴方程是 x=a，则 f(a+x)=f(a?x)即恒成立化简得，4(a+1)x=0 恒成立，所以 a=?1f(x)是轴对称图形，对称轴方程为 x=?1评析：存在性问题，一般先假设存在，然后在存在的条件下推导，如果得出矛盾，说明不存在此题也可通过图象变换来探索，是偶函数下面我们探索三次函数 y=ax3?bx2+cx?d(a0)图象的对称性先看一个具体的三次函数：例 4、三次函数 y=x3?3x2?2 的图象是对称图形吗？解：(1) 假设函数 y=x3?3x2?2 的图象是轴对称图形，设对称轴为 x=a，则 f(a+x)=f(a?x)即(a+x)3?(a+x)2?
10、2=(a?x)3?(a?x)2?2 恒成立化简得，x3+3a(a-2)x=0 恒成立，但不存在这样的常数 a函数 y=x3?3x2?2 的图象不是轴对称图形(2) 假设函数 y=x3?3x2?2 的图象是中心对称图形，设对称中心为(a,b)，则 f(a+x)+f(a?x)=2b即(a+x)3?(a+x)2?2+(a?x)3?(a?x)2?2=2b 恒成立化简得，3(a?1)x2+a3?3a2?b?2=0 恒成立? 解得 a=1，b=?4函数 y=x3?3x2?2 的图象是中心对称图形，对称中心是(1,?4)能否通过图象平移得到奇函数来找对称中心？我们来看下列一组三次函数：例 4、下列三次函数的
11、图象都是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心(1) y=x3(2) y=x3?1(3) y=(x?1)3(4) y=x3+3x(5) y=x3+3x?2 (6) y=x3?3x2+3x?2 (7) y=x3?3x2?2(8) y=ax3?bx2+cx?d(a0)答：都是中心对称图形对称中心为(1) (0,0)，(2) (0,?1)，(3) (1,0)，(4) (0,0)，(5) (0,?2)，(6) y=(x?1)3?1 对称中心为 (1,?1)，(7) y=(x?1)3?3(x?1)?4对称中心为 (1,?4)，(8) 对称中心为评析：通过配立方，转化成 f(x)=a(x?b)3+c(x-
12、b)+d 的形式，再平移得奇函数 g(x)=f(x?b)?d=ax3+cx，从而求出三次函数 f(x)图象的对称中心四、小结1函数图象对称性的证明方法：根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上其一般步骤是：图象上任取一点求对称点证明对称点也在图象上；证明通过平移后的函数具有奇偶性2函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是 f(a+x)=f(a?x)；函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是 f(a+x)+f(a?x)=2b3函数图象的对称性是函数奇偶性的推广，函数奇偶性是函数图象对称性的特例。位育中学 周宇2005 年 4 月第 1 页，共 4 页最具挑战性的挑战莫过于提升自我。迈克尔斯特利
