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1、第二十章第二十章 圆圆 （一）教材分析（一）教材分析 1.1.圆与三角形、四边形等一样，也是基本的平面图形，也是“图形与几何”中的主要学习内容，是人们生活中常见的图形。本章将在前面学习的些基本的直线形（三角形、四边形）的基础上，进步研究一个基本曲线形圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。2.2. 本章教学时间大约需要 1720 课时，具体安排（供参考）20.1 圆 5 课时20.2 与圆有关的位置关系 6 课时20.3 正多边形和圆 2 课时20.4 弧长和扇形的面积 3 课时小结 检测 4 课时3 3 本章知识结构框图本章知识结
2、构框图 学习目标学习目标 1知道圆及其相关概念，了解圆的对称性，知道弧、弦、圆心角的关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征.2. 探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，了解切线的概念，知道切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.4.了解正多边形的概念及用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积.三角形的外接圆三角形的内切圆圆切线、切线长与圆有关 的位置关 系 圆与圆的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的
3、位置关系圆的基本 性 质圆周角与及其同弧上圆心角的关系圆的对称性弧、弦、圆心角的关系有关圆的 计 算弧长和扇形面积圆锥的侧面积和全面积等分圆周、计算正多边形和圆5.结合圆基本性质及相关知识的探索与证明，进一步提高合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，初步掌握分类归纳等基本的数学思想和方法；通过对本章的学习，应用数学知识的意识和运用知识解决问题的能力得到提高.6. 在探索圆相关性质的形成与应用的过程中，进一步认识和理解研究图形性质的方法.4.4.重点难点重点难点 本章内容的重点重点是圆的有关性质，圆中有关的角，直线与圆、圆与圆的位置关系，以及与圆有关的计算问题.其中，圆的有关性质，
4、是全章的基础，也是学好本章的关键.利用圆的基本性质来研究线段、角度之间的关系，利用直线与圆、圆与圆的位置关系的判定与性质解决实际问题，既要用到圆的有关性质又要用到前面学过的直线形图形的有关的性质，要求学生有较强的理解能力与转化能力，综合程度较高，学生会因对以前的知识掌握不牢，圆的有关性质多容易混淆造成学习困难，这是学习本章的难点难点.对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加深对圆性质的认识，是克服这一难点的关键关键5.5.课标课标要求要求理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆
5、的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征。了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积。结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。课标对圆的性质的教学建议是：使学生经历探索圆的性质即通过实例去探索，以达到理解的目的比如， 通过探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三
6、点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想 通过折纸，让学生探索圆的对称性，并在此基础上，让学生再通过折纸探索出圆的有关性质（垂径定理）等有关内容 利用圆的旋转不变性探索圆中弧、弦、圆心角之间的关系而在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系 利用“合作学习”“做一做”等让学生自己探索有关的结论，比如通过学生自己合作，把圆锥沿母线剪开、铺平，并探索出圆锥侧面积和全面积的计算公式等等6.6.编写特点编写特点.突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合；
7、 轴对称性：垂径定理及其推论；旋转对称性：弧、弦、圆心角之间的关系；观察、度量： 圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系；直观操作： 点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系；观察、操作、探究：证明；. .注意联系实际注意联系实际 联系学生的生活实际和认知实际引入概念、定理， 注意相关性质在实际应用。 . .重视渗透数学思想方法重视渗透数学思想方法 转化的思想：正多边形的有关计算直角三角形，正多边形的画图等分圆周；分类的方法：对圆周角定理的讨论，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，辩证的观点：圆的内切与外接，圆与其他图形之间量变与质变，一般与特殊。7 7、几个值得关注的问题、几个值得关注的问题.新
8、旧教材的变化新旧教材的变化课时：53 课时减为 17 课时课程结构变动调整：点和圆、直线和圆、圆和圆、正多边形和圆（弧长、扇形、展开图）调整为：圆圆的概念和性质、与圆有关的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形的面积。减少概念：圆的集合定义，等弧，同心圆，弦心距，弧的度数，圆内接四边形，弦切角，公切线等；减少定理：垂径定理推论只留 1 个，去掉了弦心距与弧、弦、圆心角之间的关系及推论，圆心角与圆周角、圆周角之间关系性质合并，只留 1 个直径性质推论，圆内接四边形性质，切线性质推论，弦切角性质及推论，相交弦定理及推论，切割线定理及推论，只保留圆与圆的数量关系，其它全删掉了，特别注意没有了两圆的公切线
9、的内容。一些概念改为用图形说明形式（优弧、视角） ，会识别，减少死记；一些定理作为了思考题，教学中注意把握，不随意扩充，对多数学生没必要把删去的内容再放到课堂内讲。. .进一步培养推理论证能力进一步培养推理论证能力 初三阶段是学生在初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固提高的阶段，不仅要求学生能熟练地用综合法规范证明命题，熟悉探索法的推理过程，而且要求了解反证法。这部分内容所涉及的图形很多是圆和直线形的组合。题比以前相对较复杂，教学时应帮助学生复习有关直线形知识，做到以新带旧，新旧结合。要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在定条件下可以转化的思想。. .注意把
10、握好教学要求注意把握好教学要求 本章教学内容与以往教材内容相比，删减幅度比较大，教学时要注意把握好教学要求。教学内容应当限制在课标和教材所出现的范围，按照课标要求删减的内容，教学中不要再拣回，以免影响学生对基础知识的学习。对于推理论证的要求，课程标准对本章没有明确规定。教科书中是按照整套教科书对于推理证明的要求来处理的。在本章，要求学生对于一些圆的有关性质进行证明，并利用这些性质去证明些相关的结沦。但要注意，这里的证明也要控制难度，对于一般学生，控制在教科书“综合应用”的题目难度内，对于学有余力的学生，可以要求他们完成“拓广探索”栏目的习题。书中一些性质应用了圆的对称性证明，要求重视对称性，
11、但不要求用对称性进行严格证明。.教学方式与学习方式的转变学方式与学习方式的转变教学方式与学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比， “空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情教材注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式” 本章在“观察” 、 “探究”、 “思考”等栏目中安排了大量的数学活动题材，其中一些重要的数学概念及数学方法，都是需要学生通过数
12、学活动获得例如，圆的定义、圆的对称性、圆锥的侧面积等等学生在亲身体验和探索中认识数学解决问题，理解和掌握数学知识和方法并通过与他人的合作，学会表达自己的观点，学会质疑，学会倾听这种“过程”会改变数学学习的过程和结果，对促进学生的发展具有非常重要的意义另外，通过这些“探究点” 、 “思考点” ，帮助学生认识图形，丰富直观，提升空间想象能力 （二）单元分析（二）单元分析20201 1 圆圆圆的概念和性质圆的概念和性质1.1 圆及其相关的概念 发生法圆的概念 ，圆心、半径、弦、直径、弧、半圆。 1.2 轴对称性，垂径定理 （直径、垂直结论，直径、平分结论。 ） 1.3 中心对称性，弧、弦、圆心角 关
13、系 1.4 圆周角及圆周角定理 完全归纳法证明圆周角定理重点：垂径定理、弧弦圆心角的关系、 圆周角定理难点：垂径定理、圆周角定理关系：垂径定理 位置关系；圆心角、圆周角 等量关系 ；说明：1. 垂径定理有五个要素: 经过圆心； 垂直于弦； 平分弦； 平分弦所对的一条弧； 平分弦所对另一条弧.对于圆和一条直线来说以其中的两个要素为条件，都可以得到另外三个结论.在解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，使之符合垂径定理的条件.实际上，一般只需从圆心作一条与弦垂直的线段.如图中的于，ODABD结合勾股定理，得到圆的半径，圆心到弦的距离，rd弦长一半之间的关系式：. 2a222)2
14、(adr2.圆心角、圆周角、弦、直径都与所对应的弧相关，在运用这些定理时从弧入手探寻圆心角、圆周角、弦之间的内在联系，会使相关问题得以顺利求解.3.在运用定理和推论解决有关角的度数问题时，若借用弧的度数与圆心角、圆周角度数的关系，对开阔思维、拓展解题思路有所帮助.20202 2 与有关的位置关系圆与有关的位置关系圆1 1点和圆的位置关系点和圆的位置关系（1）点与圆的三种位置关系点和圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系是互相对应的，是“数”与“形”的结合，即知道位置关系可以确定数量关系，知道数量关系可以确定位置关系.（2）确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆不在同一条直线上的三个点确
15、定一个圆. .这里的“确定”是指不仅能作圆，而且只能作一个圆，即“有且只有”的意思.了解反证法.（3）三角形的外接圆三角形外心的位置与三角形的形状有关：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形.2. . 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（1）直线与圆的三种位置关系如图，三种位置反映在数量关系上是圆心到直线的距离与圆的半径之间大小的比较.dr注意这里的是圆心到直线的距离，与点和直线位置关系中的表示的含义是不同的.dd直线和圆的位置相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离与半径的关系dr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无圆心角圆周角弦弦心距弧OABC D由位置关系可以得到与之间的关系式，由与之间的关系式也可以确定直线与圆的drdr位置关系.（2）切线的判定和性质切线性质定理： 切线判定定理：一般判定切线有三种方法：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理和性质定理容易混淆，要分清判定定理和性质定理的题设和结论，什么情况下用切线的判定定理，什么情况下用切线的性质定理.（3）切线长定理切线长定理。注意定理的二级结论：应熟知基本图形中的一些等量关系和位置关系，这些关系为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，是本章的重点内
